一位數學家的傳統節日

【來源】演算法與數學之美（許興華數學/選編）

一

1976年冬天，基層的某計算機工廠來了一位客人。

「我們這是計算機廠，計算機，就是搞計算的——包括數值計算和邏輯計算。程序讓它幹什麼他就幹什麼。這有一個好處，你讓人干一個什麼事情，人可能會馬虎出錯，或者故意給你偷工減料，但是計算機不會，這玩意能進行一些邏輯上的判斷，靠譜著呢 。走，我先帶您老轉轉。」

粉碎「四人幫」之後，科研工作再一次走上了正軌。事實上，1972年科研工作開始部分恢復，同時中美數學家開始交流，特別是陳省身等華裔數學家回國，帶來國際上的許多新情況。

「這是什麼？」吳先生停下來問道。

「這就是計算機。不過可能跟您想像不一樣，這是微型計算機，叫『長城203』。」

吳先生拿起它來仔細端詳。

上世紀七十年代的計算機跟現在還大不相同，計算速度自然是比不上，很多還是軟盤+紙帶編程。長城203是中國第一款微型計算機，現在看來，是一款配置相當低的計算機。

「長城203。」吳先生喃喃自語。

「是。這同樣可以進行高速計算，通過軟盤實現存儲記憶功能。這是先進的，比較小。王選老師研究激光排照的紙帶機要比這個大很多，時不常的動不了還得踢一腳；咱這個新產品，小巧玲瓏。」

「你之前介紹說，計算機會按照設定的程序、演算法一絲不苟的執行驗證計算。」

「是的。」

「那能不能用計算機證明數學定理呢？」

「不清楚，我沒想過這件事。」

「這樣，咱們來研究一下，你來教我怎麼用計算機。」

「可……可您這年紀……」

「那有什麼的？」

二

「吳老師，您找我？」

「快春節了，不回家嗎？」

「我在廠里值班，今年就不回去了，我是革命一塊磚嘛。」

「哈哈，那就陪我說說話——對於用計算機證明定理，你有什麼想法？」

「用計算機證明定理聽起來很玄乎，因為數學證明當中有很多構造性的東西，如果想要『以算代證』還需要找到比較好的演算法。」

「如果從比較簡單初等的東西里入手，比如平面幾何呢？」

「嗯……」

「笛卡爾和《九章算術》先前給了我許多靈感，我們可以嘗試把幾何問題代數化求解。」

「那麼我們就要引進一個合理的數系、坐標系把各種幾何關係用代數方程來描述。」

「對。假設我們在適當選取坐標系之後得到的方程組為【H】：p1=0，p2=0,...pr=0，幾何定理的結論由C：g=0來表示，其中fi都是關於變元x1...xn的多項式，那麼問題會變成什麼呢？」

「所以實現數學機械化證明的關鍵應該是【H】和g的零點集進行描述，和求解方程時的消元。但是每一步消元未必行得通，即使行得通是否現實可行也是問題。」

屋內兩個人繼續交談著，屋外颳起了獨屬於臘月的凜凜寒風。

三

「這一天，我們還在慶祝新春，期盼著粉碎四人幫之後新的一年能有一個新的氣象。出門看到吳先生歡天喜地的跑來找我，跟我說了一些並不能聽太懂的話。

「比如說，吳先生說，「設 CS ＝ 為多項式方程組 [H] 的特徵列。如果多項式 g 對 [H] 的特徵列 CS 的余式 R=0, 則在條件 I i ≠ 0, i=1,2,…,k 之下 , 可從 [H]=0 推出 g =0 。條件 I i ≠ 0, i=1,2,…,k 稱為數學定理成立的非退化條件。這組非退化條件是在計算特徵列過程中自動產生的。」非退化條件大概是伍先生首創的，我並沒有聽說過。他還說了「用他的演算法，判定一個命題 , 要分三步進行 : 第一步是把所給命題化為代數形式，即判定一組多項式的公共零點集是否被包含於另一多項式的零點集的問題 ; 第二步是整序，即把刻劃命題條件的多項式組 [H] 經整序化為升列 AS ；第三步是求余，即將刻劃命題結論的多項式 g 對於升列 AS 約化求取余式 R 。 若 R=0 ，即可斷定命題在非退化條件 I i ≠ 0, i=1,2,…,k 之下成立，或者說命題一般成立，其中 I 1, I 2,…, I k 是升列 AS 中各多項式的初式。若 R 不為 0, 則當 AS 為不可約升列時 , 可斷定命題不真。」

「總之是一些雲里霧裡的東西吧。按照吳先生的說法，好像是是提出了一套完整的演算法，使得代數方程組通過機械步驟消元變成一個代數方程；並且解代數方程組可擴大為解帶微分的代數方程組，從而大大擴張研究問題的範圍？我不明白。真是搞不懂他們學數學的。

「不過，這種方法貌似還能自己發現定理。這大概是其他演算法不能比擬的吧？據他講，一個什麼西姆松定理被他用長城203證明了，那玩意不是用四點共圓的嘛。接下來，事情一定會越來越有意思了。」

四

「過完年以後，吳先生就回去了。再聽說吳先生的事情是報紙上幾年以後了。聽說他把證明從平面幾何推廣到了仿射幾何、非歐幾何和微分幾何，並且還發現了雙曲幾何的一些定理，還對代數幾何有一定貢獻。據說還把Ritt定理和零點分解定理推廣到微分多項式組。我不知道他是如何完成的。感覺跟幾何比起來他做的方程求解的工作要更有意義一些。既然如此，春節時順便證明了一些不等式也就是不足為奇的。

「只是一個去法國留學受了什麼布爾巴基學派熏陶的人，後來很喜歡中國數學史，迷上《九章算術》研究起了演算法，確乎比較怪。許是『所之既倦，情隨事遷，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之間已為陳跡』。不過想到自己能在工廠里和他有一面之緣，聊上那麼兩句，這倒是一段值得珍惜的回憶吧。」

跋

吳文俊，1919年5月12日生於上海，中科院院士，中國科學院數學與系統科學研究院研究員，系統科學研究所名譽所長。對拓撲和數學機械化有一定貢獻。

1940年畢業於上海交通大學數學系。

1947—1951年公費在法國斯特拉斯堡及巴黎留學，期間因國民黨腐敗而拒絕了國民政府的經濟補助。歸國後先後在北京大學、中科院工作。

1966年注意到他對示嵌類的研究可用於印刷電路的布線問題，並於１９７３年完全解決。他的方法完全是可以演算法化的，與以前在布爾巴基影響下的純理論的方向完全不同。大約從這時開始，他完成自己數學思想上一次根本性的改變。

1972年科研工作開始部分恢復，同時中美數學家開始交流。

1973年數學所拓撲組開始討論有理同倫論，據此提出Ｉ＊函子理論，其顯著特點之一也是「可計算性」。

1974年，吳文俊轉向中國數學史，用演算法及可計算性的觀點來分析中國古代數學，發現其與由古希臘延續下來的近現代西方數學傳統的重要區別，在許多方面產生獨到的見解。

1976年粉碎「四人幫」之後，科學研究開始走上正軌。年近花甲的吳文俊更加煥發出青春活力。他在中國古算研究的基礎上，分析了西方Ｒ．笛卡兒（的思想，深入探討Ｄ．希爾伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）《幾何基礎》一書中隱藏的構造性思想，開拓機械化數學的嶄新領域。

1977年 平面幾何定理的機械化證明取得成功。

1978年 微分幾何的定理機械化證明成功。

1979年任普林斯頓大學高等研究院研究員，並與關肇直、許國志等人籌建中科院系統科學研究所，次年該所正式成立，任副所長兼基礎數學室室主任、學術委員會主任，１９８３年後任名譽所長。

1982年更在國際機器證明會議上詳細報告吳方法，受國際矚目。

2001年獲國家最高科學技術獎。

謹以此文向數學家們致敬。

∑編輯|Gemini

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！