對比的再認識
什麼是比?或者說比表示什麼?
此處不討論文獻與專家的說法,就教材而言。
現行主要教材對比的意義,有這樣兩種說法:
說法一:兩個數相除,又叫做兩個數的比。
說法二:兩個數的比表示兩個數相除。
人教版教材在最新修訂前,用了說法一,修訂後,用了說法二。
之前反覆琢磨,覺得兩種說法沒什麼太大區別,無非換了個順序,都是將比和除法建立聯繫。
近期再次教學《認識比》,讓我對這兩句話有了全新的認識,這種認識,源於課進入的視角,更源於學生的理解。
課堂上,先引導學生理解「麵粉和水的質量比是2∶1」(如下圖)。
讓學生自己選擇麵粉和水的重量,要求符合2∶1。學生出現不同的方法(如下)。
然後問學生:為什麼這些重量都符合2∶1?
學生回答:麵粉都是水的2倍。
此處,自然將比與相除建立聯繫:兩個數相比,表示這兩個數相除。
注意:表示兩個數相除,而不是表示除法。
然後進一步明確:麵粉和水的質量比是2∶1,這個比表示一種倍數關係,可以有不同的具體量來表示。
此後有3份辨析材料,其中1份是比分(如下圖)。
在有了上述對麵粉和水的比的初步認識之後,學生對比分的認識會開始發生變化。思考之後學生普遍認為這個比分中的比是有點不一樣的。其中較為深刻的認識如下:
生1:這個比分是有倍數關係的,但不能變化。
生2:我覺得這裡的2∶1雖然也可以算出2倍,但這個倍數不能變化。
生3:我覺得這裡算倍數沒有實際意義,這裡的2∶1應該表示2-1,就一個隊比另一個隊多了1個球。
學生還有很多精彩的回答,但是這裡三位學生的回答足以說明數學上的比該如何理解了。
至此,也就對「比→相除」還是「相除→比」有了自己新的理解。
當我們看到2∶1時,可以有這樣的理解:
2∶1表示2+1;
2∶1表示2-1;
2∶1表示2×1;
2∶1表示2÷1。
也就是說,先有比的一種狀態,再有對比中兩個量關係的理解(倍數關係),而這種關係,是與相除關係一致的。
由此我理解:兩個數的比表示兩個數相除,更符合數學本意。
以上,僅從教材上的兩種說法為例進行理解。
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