技術：從鑽戒到物理量的數字化

知識 04-05

圖源：Pixabay.com

撰文 | 吳進遠（美國費米國家加速器實驗室）

責編 | 陳曉雪

知識分子為更好的智趣生活ID：The-Intellectual

「模擬量的數字化聽上去非常高大上，可相關的概念卻存在很久了」。我剛講了這麼半句話，一位年輕同學舉手了：「老師，現在顧不上這個了，您講點實用的吧。我馬上要向女朋友求婚，想買個鑽戒，我想知道買多少克拉的合適，克拉又是怎麼回事。」

克拉來源於一種豆角樹的豆子，它們的重量非常均勻，因此被商人們用來衡量寶石的重量。你看，重量本來是模擬量，但是可以通過和豆子比較，變成一個數字量，而模數轉換中的一個靈魂性的要素就是比較。當然啦，買戒指可千萬不要和別人比較，還是要量力而行，只要你們兩人都喜歡，大小無所謂。你放心，不是有句話說學琴的孩子不變壞嗎，同理，每天讀《知識分子》的同學也不俗氣。

只是你自己，別把「克拉」的「拉」字給拉掉了。一克拉是200毫克，少個「拉」字，重量增加5倍，一般人很難買得起。好啦，你去買鑽戒吧，今天不求婚的同學繼續上課。

我們今天要講的，就是物理量的數字化。

科學研究離不開科學觀測，科學觀測的目標可以是自然現象，也可以是受控制的實驗現象。

在計算機沒有出現的時代，人們將被觀測現象呈現的物理量用儀器測定下來，記錄到工作日誌本上，有時，會拍一些照片，洗印出來，貼到本子里。現在，這些工作大部分都可以由計算機完成了。

要想將物理量的數值，以及它們的變化傳輸到計算機內，必不可少的一種「神器」就是數字化器件。

實際上，不僅是科研工作，我們平時打電話，拍照片，都離不開數字化器件。語音或光強信息本來都是模擬量，它們必須通過數字化器件才能變成數字量，從而進入手機被處理存儲與傳輸。

數字化器件包含兩大類，第一類是模數轉換器（analog to digital converter, ADC），另一類是時數轉換器（Time to digital converter, TDC）。

ADC的功能是將輸入電壓幅度或者在一段時間內累計的電荷量變換成為數字量，圖1 是ADC工作原理的示意圖。

圖1：ADC工作原理示意圖

近代主流的ADC器件的轉換過程包括採樣以及數字化兩個主要步驟。

首先，ADC器件將連續變化的輸入電壓的瞬間幅度通過模擬開關器件採樣紀錄到一個電容上，使之在短時間內維持採樣瞬間得到的電壓值。接著，ADC器件利用比較器陣列等電路將採樣電壓的幅度轉換成為由一組0與1兩種邏輯電平組成的二進位數字，最終輸出到後級的微處理器等邏輯電路做進一步處理。這類ADC通常由一個時鐘脈衝信號驅動，每隔一段時間就會進行新的採樣並生產新的數據。

TDC的功能是將輸入信號的到達時間轉換成為數字量，其工作原理如圖2所示。

圖2：TDC工作原理示意圖

在很多情況下，TDC與一個比較器電路配合使用。比較器將輸入電壓與一個固定的閾值電壓相比較，當輸入電壓高於或低於閾值電壓時，分別輸出高或低兩種不同的邏輯電平。這樣一個邏輯脈衝被送到TDC器件，在器件中將邏輯脈衝的到達時刻通過一個計時器測量下來，變成一組數字信號輸出出來。

當然，時間也是一種模擬量，所以，嚴格來說，TDC也是一種ADC。只不過由於時間測量的特殊性，我們把這兩種數字化器件歸納為兩個不同的種類。

由於大多數物理量，比如力、壓強、溫度、光亮度等等都可以通過轉換器件轉變為電壓來模擬，文章的第一部分將著重討論ADC的性質。而TDC在各種物理學實驗當中也有不少特殊的應用，同時更加容易通過邏輯電子電路來實現，我們也將在文章的第二部分做出介紹。

01 模數轉換

模擬量的數字化，主要參數體現在橫豎兩個方向。

在豎的方向，是指將滿度電壓（通常是1V或2V）分割成許多份。如果一個ADC是8比特的，這表示輸入電壓的高低最終會被轉換成為一個8比特的數。也就是說，滿度電壓會被分割成為256份左右。同理，9比特分割成512份， 10比特分割成1024份等等。ADC的比特數直接影響其測量精度。

在橫的方向，ADC的採樣速率是一個重要的指標。

對於一些變化比較慢的物理量，比如房間里空氣的溫度、濕度、壓強等，每秒1個採樣點乃至十分鐘一個採樣點就夠了。

我們手機中通常都裝備了加速度、角速度、磁場強度等感測器，由於有了加速度感測器，當我們把手機橫過來時，手機會把顯示的照片或文字自動橫過來。由於有了角速度感測器，我們的手機可以輕鬆變身為虛擬現實顯示器。而有了磁場感測器，我們的手機上可以安裝羅盤，這樣出門可以找到北。這些感測器的採樣率大約是每秒10到100點，如圖3所示。

圖3：手機中的一部分感測器及相應的採樣速率

數字相機在拍攝視頻的時候，每個像素的採樣率通常是每秒30點，拍攝慢動作鏡頭時，是每秒採樣120或240點。

在手機或其它數字語音傳輸系統中，其採樣速度至少是每秒8000點。

而在很多科學實驗當中，我們需要更快的採樣速度。比如在自由電子激光的成像系統中，每個像素的採樣速度需要達到5MSPS量級（MSPS是每秒100萬採樣點的意思）。

實驗室中通常使用的數字式示波器，採樣速率大多在1-10GSPS範圍內（GSPS是每秒10億採樣點的意思）。

這裡特別提醒，ADC所產生的原始數據數量非常大。比如當我們的示波器用1 GSPS採樣，每個採樣點生成8比特數據，則每秒可以產生1 GB的數據，如果不對數據進行壓縮，只需要8秒就能填滿一個8 GB的存儲卡。（當然，大多數存儲卡的寫入速度壓根就沒有這麼快。）因此，在大多數應用當中，ADC所生成的數據往往需要利用另外的觸發電路，僅將有用的數據截取出來。另一個比較常用的解決方案是將ADC的數據進行壓縮，這種壓縮可以是有損的也可以是無損的。經過壓縮，全部信號當中變化比較緩慢，包含信息較少時間段里的數據只需要比較少的比特數就可以表達，因而所佔用的存儲空間會相應減少，

02 時數轉換

時數轉換（TDC）的功能是把一個脈衝信號的到達時刻或者兩個脈衝信號之間的時間間隔轉換為數字。

我們這裡舉一個例子來說明時數轉換的應用。如圖4所示，當一個高能粒子依次飛過若干個探測器單元HA，HB，HC 與 HD時，這些探測器單元會產生一組脈衝。這些脈衝信號之間的時間間隔，反映了粒子的飛行速度。

圖4：帶電粒子飛過探測器不同探測單元示意圖

比如粒子擊中HA的時刻為TA，擊中HD的時刻為TD。根據粒子在探測單元上所擊中的位置，我們可以算出粒子徑跡的長度。有了長度和時間差，我們就可以算出粒子的速度。

當粒子的動量固定時，質量越大的的粒子飛行的速度越慢。粒子的動量可以根據粒子飛過磁鐵M偏轉時的曲率半徑算出來。在已知動量的情況下，根據帶電粒子的速度，可以計算出它的靜止質量。得到靜止質量後，再與已知粒子的靜止質量相比較，我們就可以知道飛過的帶電粒子是什麼了。這有點類似阿基米德測定出皇冠的比重，再與已知材料的比重相對照，就可以知道皇冠是不是純金製做的了。

時數轉換適合於使用純粹的高速數字邏輯電路器件來實現，尤其是用現場可編程門電路陣列（FPGA）來做，並且可以和數據採集與傳輸的其它功能集成到一個晶元當中，使用非常方便。

TDC由於實現起來非常方便，往往可以用來替代採樣速率不太高的ADC。比如圖5中，VIN是待數字化的輸入信號，需要的採樣頻率為2MSPS，VR是我們生成的一個鋸齒波參考信號，其周期是500納秒長。

圖5：用TDC測定電壓幅度的原理示意圖

當VR穿過VIN時，用一個比較器電路可以得到一個邏輯電平的跳躍。在穩定工作狀態下，參考電壓的上升坡度或斜率是已知的，比如為（2V/400 ns）。只要我們用TDC測量得到比較器輸出跳躍的時間T1，T2等，就可以知道VIN在這一時刻的高度V1，V2等。比如當我們測出T1=150ns，我們就可以算出，V1 = 150*（2/400）= 0.75 （V）。

03 容易誤入的陷阱誤區

我們設計實驗裝置的時候，往往會把注意力放在ADC器件本身，然而，一個萬萬不可忽視的地方，是在ADC之前。也就是說，我們要把一個什麼樣的信號送入ADC，這是設計出一個好系統的重要前提條件。

送入ADC的信號通常要用一個放大器來放大。對於放大電路，我們直覺上總希望它的速度快一些，雜訊低一些。然而在實際應用上，卻不是速度越快，雜訊越低越好。這就需要我們從時間軸和電壓軸這橫豎兩個方向處理輸入信號。

在時間軸上，前面談到了，ADC每隔一段時間採樣一次。因此，我們就不可能知道電壓的整體變化情況。好在根據採樣定律，如果輸入的信號帶寬有限，假設沒有超過f的頻率成分，則只要採樣頻率高於2f，我們就可以根據採樣獲得的離散數值，完全重建原始信號。

反過來，當ADC的採樣頻率選定為f時，前級放大電路必須將信號的帶寬限制在f/2以內。如果前級的帶寬太寬，反而會增加數據中包含的雜訊。

採樣定律對於前級放大器帶寬的限制，在我們常用的數字示波器參數上就可以體現出來。我們在示波器的面板上，往往可以看到如圖6所示的兩個數據。這兩個數據中5GS/s 是採樣率，另一個 500 MHz 是放大器的帶寬。顯然帶寬小於採樣率的一半。

圖6：示波器面板的標註

在電壓軸上，與我們通常的直覺相反，在輸入信號中要存在一定的雜訊，ADC才能達到最佳的運行特性。這種前期處理叫做dithering，作者認為可以翻譯成「加顫」（當這種前期處理被用於二維圖像時，通常被稱為「抖動顯示」）。

在很多包含機械傳動機構的儀錶當中，比如如圖7所示的氣壓表，當輸入的物理量緩慢變化時，傳動機構會被「澀住」。為了獲得正確的讀數，可以輕輕地敲打一下，在穩定的輸入變化量當中加上一點顫抖。這個例子說明，外界的雜訊有時可以幫助我們獲得更精確的測量結果。

圖7：機械加顫示意圖

對於電學測量，我們通過一個例子討論ADC輸入信號的加顫。考慮一個高性能的ADC，假如當輸入電壓在51.5到52.5毫伏之間時，輸出數字量52，而當輸入電壓在52.5到53.5毫伏之間時，輸出數字量53。當一個輸入電壓穩定緩慢地變化時，我們得到52和53兩個數字輸出，輸出的數字量如圖8中淺藍色曲線所示。