雜訊頻譜密度比信噪比更有用，是真的嗎？

大家有木有發現，在比較在不同速度下工作的系統、或者查看軟體定義系統如何處理不同帶寬的信號時，雜訊頻譜密度(NSD)可以說比信噪比(SNR)更為有用。雖然它不能取代其他規格，但會是分析工具箱中的一個有用參數指標。

探索——

我的目標頻段內有多少雜訊？

數據轉換器數據手冊上的SNR表示滿量程信號功率與其他所有頻率的總雜訊功率之比。

現在考慮一個簡單情況來比較SNR和NSD，如圖1所示。假設ADC時鐘頻率為75 MHz。對輸出數據運行快速傅里葉變換(FFT)，圖中顯示的頻譜為從直流到37.5 MHz。本例中，目標信號是唯一的大信號，且碰巧位於2 MHz附近。對於白雜訊（大部分情況下包含量化雜訊和熱雜訊）而言，雜訊均勻分布在轉換器的奈奎斯特頻段內，本例中為直流至37.5 MHz。

圖1. 9 dB調製增益的圖形表示：保留全部信號，丟棄7?8雜訊

由於目標信號在直流與4 MHz之間，故可相對簡單地應用數字後處理以濾除或拋棄一切高於4 MHz的頻率（僅保留紅框中的內容）。這裡將需要丟棄7?8雜訊，保留所有信號能量，從而有效SNR改善9 dB。換句話說，如果知道信號位於頻段的一半中，那麼事實上可以在僅消除雜訊的同時，丟棄另一半頻段。

Tips

一條有用的經驗法則：存在白雜訊時，調製增益可使過採樣信號的SNR額外改善3 dB/倍頻程。在圖1示例中，可將此技巧應用到三個倍頻程中（係數為8），從而使SNR改善9 dB。

當然，如果信號處於直流和4 MHz之間某處，那麼就不需要使用快速75 MSPS ADC來捕捉信號。只需9 MSPS或10 MSPS便能滿足奈奎斯特採樣定理對帶寬的要求。事實上，可以對75 MSPS採樣數據進行1/8抽取，產生9.375 MSPS有效數據速率，同時保留目標頻段內的噪底。

正確進行抽取很重要。如果只是每8個樣本丟棄7個，那麼雜訊會摺疊或混疊回到目標頻段內，這樣將得不到任何SNR改善。必須先濾波再抽取，才能實現調製增益。

即便如此，雖然理想的濾波器會消除一切雜訊，實現理想3 dB/倍頻程的調製增益，但實際濾波器不具備此類特性。在實踐中，所需的濾波器阻帶抑制量與試圖實現多少調製增益成函數關係。另外應注意，「3 dB/倍頻程」的經驗法則是基於白雜訊假設。這是一個合理的假設，但並非適用於一切情況。

一個重要的例外情況是動態範圍受非線性誤差或通帶中的其他雜散交調分量影響。在這些情況下，「濾波並丟棄」方法不一定能濾除雜散分量，可能需要更細緻的頻率演算法。

方法——

將SNR和採樣速率

轉換為雜訊頻譜密度

當頻譜中存在多個信號時，比如FM頻段內有許多電台，情況會變得愈加複雜。若要恢復任一信號，更重要的不是數據轉換器的總雜訊，而是落入目標頻段內的轉換器雜訊量。這就需要通過數字濾波和後處理來消除所有帶外雜訊。

有多種方法可以減少落入紅框內的雜訊量。其中一種是選擇具有更好SNR（雜訊更低）的ADC。或者也可以使用相同SNR的ADC並提供更快的時鐘（比如150 MHz），從而讓雜訊分布在更寬的帶寬內，使紅框內的雜訊更少。

問題——

快速比較轉換器濾除雜訊的性能，

有沒有比SNR更好的規格？

此時就會用到雜訊頻譜密度(NSD)。用頻譜密度（通常以相對於每赫茲帶寬的滿量程的分貝數為單位，即dBFS/Hz）來刻畫雜訊，便可比較不同採樣速率的ADC，從而確定哪個器件在特定應用中可能具有最低雜訊。

表1以一個70 dB SNR的數據轉換器為例，說明隨著採樣速率從100 MHz提高到2 GHz，NSD有何改善。

表1. 改變一個70 dB SNR的ADC的採樣速率

表2顯示了部分極為不同的轉換器的多種SNR和採樣速率組合，但所有組合都具有相同的NSD，因此每一種組合在1 MHz通道內都將具有相同的總雜訊。注意，轉換器的實際解析度可能遠高於有效位數，因為很多轉換器希望具有額外的解析度以確保量化雜訊對NSD的影響可忽略不計。

表2.幾種極為不同的轉換器均在1 MHz帶寬內提供95 dBSNR；SNR計算假定為白噪底（無雜散影響）

在一個傳統的單載波系統中，使用10 GSPS轉換器捕捉1 MHz信號似乎很滑稽，但在多載波軟體定義系統中，那可能是設計人員恰恰會做的事情。一個例子是有線機頂盒，其可能採用2.7 GSPS至3 GSPS全頻調諧器來捕捉包含數百電視頻道的有線信號，每個頻道的帶寬為數MHz。對於數據轉換器而言，雜訊頻譜密度的單位通常為dBFS/Hz，即相對於每Hz滿量程的dB。這是一種相對量度，提供了對雜訊電平的某種「摺合到輸出端」測量。還有採用dBm/Hz甚至dB mV/Hz為單位來提供更為絕對的量度，即對數據轉換器雜訊的「摺合到輸入端」測量。

SNR、滿量程電壓、輸入阻抗和奈奎斯特帶寬也可用來計算ADC的有效雜訊係數，但這涉及到相當複雜的計算，可參見ADI指南《ADC雜訊係數——一個經常被誤解的參數》。

http://www.analog.com/media/cn/training-seminars/tutorials/MT-006_cn.pdf

思考——

過採樣替代方法

在較高的採樣速率下使用ADC通常意味著較高的功耗——無論是ADC自身抑或後續數字處理。表1顯示過採樣對NSD有好處，但問題依然存在：「過採樣真的值得嗎？」

如表2所示，使用雜訊較低的轉換器也能實現更好的NSD。捕捉多載波的系統需要工作在較高採樣速率下，因此會對每個載波進行過採樣。不過，過採樣仍有很多優勢。

簡化抗混疊濾波——過採樣會將較高頻率的信號（和雜訊）混疊到轉換器的奈奎斯特頻段內。所以為了混疊影響,這些信號需要在AD轉換前被濾波器濾除。這意味著過濾器的過渡帶必須位於最高目標捕捉頻率(F_IN)和該頻率的混疊（F_SAMPLE、F_IN）之間。

隨著F_IN越來越接近F_SAMPLE/2，此抗混疊濾波器的過渡帶變得非常窄，需要極高階的濾波器。2至4倍過採樣可大幅減少模擬域中的這個限制，並將負擔置於相對容易處理的數字域中。

即便使用完美的抗混疊濾波器，要最大程度減少轉換器失真產物摺疊的影響也會帶來不足，在ADC中產生雜散和其他失真產物，包括某些極高階諧波。這些諧波還將在採樣頻率內摺疊，可能返回帶內，限制目標頻段內的SNR。在較高的採樣速率下，所需頻段成為奈奎斯特帶寬的一小部分，因而降低了摺疊發生的概率。值得一提的是，過採樣還有助於可能發生帶內摺疊的其他系統雜散（比如器件時鐘源）的頻率規劃。

調製增益對任何白雜訊都有影響，包括熱雜訊和量化雜訊，以及來自某些類型時鐘抖動的雜訊。

隨著速度更高的轉換器和數字處理產品的成熟，系統設計人員更頻繁地使用一定量的過採樣以發揮這些優勢，比如噪底和FFT。

用戶可能很希望通過檢查頻譜曲線以及查看噪底深度來比較轉換器，如圖2所示。進行此類比較時，重要的是需記住頻譜曲線取決於快速傅里葉變換的大小。較大的FFT會將帶寬分成更多的頻率倉，每個頻率倉內累積的雜訊會變少。這種情況下，頻譜曲線會顯示較低的噪底，但這只是一個繪圖偽像。事實上，雜訊頻譜密度並未發生改變（這是改變頻譜分析儀解析度帶寬的信號處理等效情況）。

圖2. 524,288樣本FFT和8192樣本FFT的ADC

最終，如果採樣速率等於FFT大小（或者成適當比例），那麼比較噪底是可以接受的，否則可能產生誤解。這裡，NSD規格可用於直接比較。

特例——

當噪底不平坦時……

到目前為止，關於調製增益和過採樣的討論都假設雜訊在轉換器的奈奎斯特頻帶內是平坦的。這在很多情況下是一個合理的近似，但也有某些情況不適用該假設。

例如，之前已經提到調製增益並不適用於雜散，雖然過採樣系統在頻率規劃和雜散處理方面可能有一些優勢。此外，1/f雜訊和部分類型的振蕩器相位雜訊具有頻譜整形性能，調製增益計算不適用於此類情況。

雜訊不平坦的一個重要情形是使用∑-Δ型轉換器時。

∑-Δ型調製器通過對反饋迴路（量化器輸出）調製,進而實現對量化雜訊整形，從而降低目標頻段內的雜訊，但代價是增加帶外雜訊，如圖3所示。

圖3. 目標頻段和雜訊整形

即使不進行完整分析，也可以看到，對於∑-Δ型調製器，使用NSD作為確定帶內可用動態範圍的規格尤為有效。圖4顯示的是高速帶通∑-Δ型ADC放大後的噪底曲線。在75 MHz目標頻段內（中心頻率為225 MHz），雜訊為-160 dBFS/Hz左右，SNR超過74 dBFS。

圖4. AD6676—噪底

舉例——

具有總結性的範例

為了總結並強化我們已經討論過的內容，現在看圖5所示曲線。本例考慮六款ADC——

• 12位、2.5 GSPS ADC（紫色曲線）；

• 14位、1.25 GSPS ADC，時鐘速度為500 MSPS（紅色曲線）；

• 14位、1.25 GSPS ADC，時鐘速度為1 GSPS（綠色曲線）；

• 14位、3 GSPSADC，時鐘速度為3 GSPS（灰色曲線）；

• 14位、500MSPS ADC，時鐘速度為500 MSPS（藍色曲線）；

• 帶通∑-Δ型ADC。

前五種情況的特徵是具有近乎白色（平坦）的噪底，而∑-Δ型ADC具有浴盆形雜訊頻譜密度，在目標頻段內的雜訊很低，如圖4所示。

在每種情況中，採樣速率保持固定，通過改變數字濾波器（其移除數字化處理後的帶外雜訊）的截止頻率來掃描信號帶寬。由此可得出幾點結論——

• 降低信號帶寬會提高動態範圍。然而，紫色、紅色和綠色直線的斜率始終為3 dB/倍頻程，因為其NSD曲線是平坦的。藍色曲線的斜率（∑-Δ型ADC）則相當陡峭。當在通道的陡坡上掃描抽取濾波器的截止頻率時，上述現象尤其明顯，因為該頻率的每次遞增/遞減都會導致濾除的雜訊功率量迅速變化。

• 各曲線具有不同的垂直偏移，這取決於轉換器的NSD。例如，紅色和綠色曲線對應相同的ADC。但綠色曲線(1 GSPS)高於紅色曲線(500 MSPS)，因為其NSD比其他情況低3 dB/Hz，其時鐘是紅色曲線的兩倍。

圖5顯示了多種不同高速ADC的SNR與信號帶寬的權衡關係：五個斜率遵從平坦噪底的3 dB/倍頻程調製增益，而AD6676由於噪底整形而表現出更陡的調製增益。

圖5. 不同ADC的SNR與信號帶寬的關係

寫在最後

不斷豐富的高速和極高速ADC以及數字處理產品正使過採樣成為寬頻和射頻系統的實用架構方法。半導體技術進步為提升速度以及降低成本做出了諸多貢獻（比如價格、功耗和電路板面積），讓我們得以探索轉換和處理信號的各種方法——無論使用具有平坦雜訊頻譜密度的寬頻轉換器，或是使用在目標頻段內具有高動態範圍的帶限∑-Δ型轉換器。這些技術改變了我們對信號處理的認識，以及我們定義產品規格的方式。

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