如何優雅地和女神同吃一個三明治？

會平分三明治

女神如期而至

今天，超模君來講一個聽起來很好吃的定理——火腿三明治定理（Ham Sandwich Theorem）。

首先我們要把三明治想像成只有一塊長方形火腿片和一塊長方形麵包片。

麵包片（長方形ABCD）上面平鋪著一塊小火腿片（長方形EFGH），現在我們來動刀子了，怎麼樣才能一刀（一條直線）切下去，使得麵包片和火腿片剛好完全平分。

先不看下面的講解，我們來思考一下。。。

其實，平分長方形面積的方法有很多，但是每一種方法都離不開它的——中心點。我們連接麵包片和火腿片的對角線，找到了中心點I和J。

接下來是見證奇蹟的時刻：我們連接I、J兩點成為一線段，然後延長它們成為一直線（也就是所謂的一刀切），現在我們先來量一下小火腿片被切開後的兩部分大小是否完全一樣，然後再量一下大火腿片的（有圖有真相）：

Surprise！這樣一刀下來就平分了。。。

那如果我們嘗試移動小火腿片的位置，仍然是連接中心點的那一刀，切完後各部分的面積會發生改變嗎？

我們試一下：

是的，還是老樣子！

動圖的av畫質

實驗證明，無論小火腿片怎麼逃，這一刀下去了，註定被分成兩半~

?我們再來看看一種特殊的情況：

考慮一塊中間挖去一個四邊形的三明治，如何切一刀使得剩下兩部分面積相等？

我們來做做實驗，觀察下面動圖的藍色區域和黃色區域的面積變化：

?

J點的百米衝刺

放慢速度，Surprise！就在J點的橫坐標為6.59的那一刻，藍色區域和黃色區域的面積相等了！

這就叫做火腿三明治定理：

任意給定一個火腿三明治，總有一刀能把它切開，使得火腿、雞蛋和麵包片恰好都被分成兩等份。

1931年，數學家烏拉姆（Ulam）提出一個猜想：如果一個球面連續地映射到平面上的一個集合中，那麼至少存在兩個對映點有相同的像，即它們映射到平面中相同的點。兩年之後，這個猜想在被博蘇克（Borsuk）證明，並推廣到n維情形。在代數拓撲中我們稱這個定理為Ulam-Borsuk定理。

為了使數學形象化，聰明的數學家斯坦豪斯（Hugo Steinhaus）給出Ulam-Borsuk定理的一個通俗解釋：任何時候，地球表面上都有兩個點，它們的溫度和氣壓相同。

後來，他又在蘇格蘭咖啡廳的筆記本《The Scottish Book》上寫下這樣一個問題：是否總存在一張適當的平面，它平分三個任意擺放的固體？（也就是上面的火腿三明治定理）

《The Scottish Book》的一部分

不久之後，數學家巴納赫（Stefan Banach）就利用Ulam-Borsuk定理證明了斯坦豪斯的問題，且在1942年由數學家亞瑟斯通（Arthur Stone）和約翰圖基（John Tukey）推廣並證明了n維情形，它在測度論中有著非常重要的意義。

火腿三明治定理推廣到n維如下：

（1）如果在n維空間中有n個物體，那麼總存在一個n-1維的超平面，它能把每個物體都分成「體積」相等的兩份。

（2）這些物體可以是任何形狀，還可以是不連通的，甚至可以是一些奇形怪狀的點集，只要滿足點集可測就行了。

最後我們回到火腿三明治來。一塊三明治中一般都有麵包片、火腿和雞蛋。我們用黑色、紅色和黃色區域分別表示麵包片、火腿和雞蛋。根據第二個例子，我們找到三條平行直線（不唯一），分別等分麵包片、火腿和雞蛋。

但是它們並不共線（也就是說這一刀不共面），這時候利用火腿三明治定理可以知道，存在三條直線，它們共線，並且分割麵包片、火腿、雞蛋為面積相等的兩部分。

另外還可以考慮斜切的情況，這時候必須要求三條直線從左到右（或從右到左）的排列順序與切割順序一致。如上圖中必須MLK或KLM排列。

不說了，超模君都餓了，趕緊去約女神出來一起吃個三明治先。

部分資料來源於網路

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