題目越短難度越大？

以上是去年北方數學奧林匹克的第五題 。人們常說新聞內容越短問題越嚴重，這話也同樣適用於數學問題。很多困擾了人類幾百年的數學問題往往只有寥寥幾十個字的描述，比如「任何不小於4的偶數，都可以是兩個質數之和」或者「任何一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色」。上題的題干在競賽的幾何題中算是比較簡練的，難度確實不小。

標準答案是這麼寫的，即便精簡了部分運算過程依然顯得很麻煩。這麼「圓滿」的圖形就真的沒有「圓滿」的證明方法么？

從欲證的結論出發，兩條邊相乘第一時間我們就會聯想到相似比的對角相乘。為了弄出AM·AN只能努力構造兩個相似三角形，讓AM和AN分別屬於它們的兩條非對應邊。注意到∠MAN = 60°=∠BAD，所以∠MAB =∠DAN 。在AB的延長線上找一點P使得∠AMP=60°，事實上由於M在BC間運動，所以∠AMB＜180°- ∠ABC =60°，也就是說這樣的P點一定是能找到的。通過上述構造很容易發現△AMP∽△ADN，因此AM·AN=AP·AD。同理可證△BMP∽△DAN，因此BM·DN=BP·AD。所以AM·AN- BM·DN= AP·AD- BP·AD=AB·AD=2a2 。證畢。

溫馨提示

如果你喜歡本文，請分享到朋友圈，想要獲得更多信息，請關注我。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！