繪畫與透視（西方文化中的數學）
轉自：愛智慧PHILOSOPHIA
哲學園鳴謝
繪畫與透視
西方文化中的數學
莫里斯·克萊因
編者按：
本文摘自莫里斯·克萊因的《西方文化中的數學》第10章「繪畫與透視」。數學和藝術以各種方式相關聯。數學本身被認為是一種由美所激發的藝術。數學通常可以呈現在藝術中為人們所感知，比如音樂、舞蹈、繪畫、建築、雕塑和紡織等。猶如大衛·希爾伯特在1900年的國際數學大會演講中所說：「數學是一切關於自然現象的嚴格知識之基礎」。對於以圖形、構圖及其他美學方法來表達觀念和意義的繪畫藝術而言，其根基依舊離不開數學。
「列奧納多·達·芬奇自信『欣賞我的作品的人，沒有一個人不是數學家。』他堅持認為，繪畫的目的是再現自然界，而繪畫的價值就在於精確地再現。甚至純粹抽象的創造物，如果能在自然中存在，那麼它也必定會出現。因此，繪畫是一門科學，它就像所有其他科學一樣，以數學為基礎，『任何人類的探究活動也不能稱為科學，除非這種活動通過數學表達方式和經過數學證明來開闢自己的道路』。再者，『一個人如果懷疑數學的極端可靠性，就會陷入混亂，他永遠不可能平息科學中的詭辯，只會導致空談和毫無結果的爭論』。」
繪畫與透視大自然這部書，在永恆的意識中
紀錄了大自然的思想；在無所不在的聖殿中
繪出了大自然的真實形象，大自然美麗
的畫卷充斥著巨大的全宇宙。
T·康帕內拉（T. Campanella）
中世紀的繪畫多半是為教堂畫裝飾物，主要是通過描繪的圖像來表現基督教教義和思想。到這個時期快要結束時，畫家們也和歐洲其他思想家一樣，開始對自然界感興趣。受強調人、圍繞著人的宇宙新觀念的鼓舞，文藝復興時期的藝術家們敢於面對自然界，敢於深刻地研究、探索和真實地描繪自然界。畫家們復興了生機盎然的世界中壯麗、令人愉悅的本質，重新描繪出美麗的畫卷，這種美麗的畫卷被證明是物質世界的幸福之所在，是滿足自然需要的不可剝奪的權利，是由大地、空氣、河流、海洋所帶來的歡樂。
在描繪現實世界的問題中，由於幾個方面的原因使得文藝復興時期的畫家們對數學產生了興趣。第一個原因在任何時期都起作用，那就是藝術家們追求逼真的繪畫創造。除去顏色和創作意圖，那麼畫家在畫布上所畫的東西就是位於一定空間的幾何形體了。處理這些理想化物體所使用的語言，它們所擁有的理想的比例，描繪它們位於空間中相互位置的關係，都需要利用歐氏幾何，才能使這幾方面有機地結合起來。藝術家需要的也僅僅是利用這一知識。文藝復興時期的藝術家們轉向數學，不僅是因為他們試圖逼真地再現自然界，而且因為他們受復興的希臘哲學的影響。他們完全熟悉而且滿腦子都充滿了這樣的信念：數學是真實的現實世界的本質，宇宙是有秩序的，而且能按照幾何方式明確地理性化。因此，像希臘哲學家一樣，他們認為要透過現象認識本質，即他們需要在畫布上真實地展示其題材的現實性，他們最後所要解決的問題就必定歸結到與一定的數學內容相關。藝術家試圖發現其作品中數學本質的最有趣的論據，可以在達·芬奇對比例的研究中找到。在這一研究中，他試圖使理想人物的結構適應理想的圖形——正方形和圓（插圖6）。
全然為了精確的繪畫而利用數學，與數學是現實的本質這種哲學觀念，僅僅是文藝復興時期的藝術家尋求利用數學的兩個原因。除此還有另外的原因。中世紀晚期和文藝復興時期的藝術家，也是他們那個時代的建築師和工程師，因此他們必然地愛好數學。商人、世俗王侯、教會人士把所有的建築問題都交給藝術家。藝術家設計、建造教堂、醫院、皇宮、修道院、橋樑、堡壘、水閘、運河、城牆、戰爭器械，在達·芬奇的筆記中，可以找到大量的諸如此類設計的圖紙，他自己曾服務於米蘭城的統治者拉多瓦·斯福爾扎（LodovicoSforza），不僅作為一位建築師、雕刻家、畫家，而且還作為一名工程師、軍事工程建造技師和戰爭武器專家為其服務。藝術家甚至還被人邀請去解決炮兵部隊中炮彈運行的問題，在那個時期，解決這類問題需要有高深的數學知識。文藝復興時期的藝術家是最優秀的實用數學家，而且在15世紀，他們也是最博學、多才多藝的理論數學家，這樣說一點也不誇張。
激發文藝復興時期藝術家數學天才的那些特殊問題，與我們將在這裡討論的問題，就是如何在二維的畫布上描繪現實中的三維景物。通過創立一整套全新的數學透視理論體系，藝術家們解決了這一問題，隨之他們創立了一種全新的繪畫風格。
在整個繪畫史上，為了在石膏模板和畫布上繪製圖案所利用的各種方案——即各種透視體系，可以劃分為兩大類：概念體系和光學體系。概念體系就是按照某種觀念或原則去繪製人物和物體，但是與實際的景物本身卻幾乎沒有什麼關係。例如，埃及的繪畫的浮雕作品大都遵從概念體系，人物的大小經常是依據他們在政治-宗教階層中的重要性而定。法老經常是最重要的人物，所以尺寸就最大，他的妻子則比他小一些，僕人就小得可憐了。同一個人的不同部分，正面、側面甚至同時出現。為了表示成群結隊的一系列人或動物，採用的方法甚至是，稍稍慢慢地移動同一個圖像的位置，使其重複出現。不僅大多數日本畫和中國畫，甚至現代繪畫（插圖27）也遵從概念體系而進行創作。
另一方面，光學透視體系則試圖表達出圖像本身在兩隻眼睛中儘可能相同的映象。儘管希臘和羅馬繪畫主要遵從光學體系，但基督教神秘主義的影響卻使藝術家們回到了概念透視體系，而且這種風格在整個中世紀都很流行。早期基督教藝術家和中世紀的藝術家都滿足於描繪象徵性的內容，也就是說，他們所畫的背景和主題傾向於表現宗教題材，並由此導出宗教情感而不是去表現現實中真實的人和現實世界。人、物的繪畫風格是高度統一的，而且是通過一個平坦的二維空間表現出來的。應該是參差錯落的圖像，經常被分開置放在同一旁或排成上下關係。呆板僵硬、毫無生氣是當時繪畫風格的特徵。畫的背景全是用同一種顏色，通常是金黃色，為的是強調宗教主題與現實世界截然不同、毫無關聯。
早期基督教精心雕就的「亞伯拉罕和天使們在一起」（Abraham With Angels）（插圖7），就是受拜占庭影響的一個典型實例，它表現了古代透視的風格。背景基本上是非彩色的，大地、樹、雜草都呈矯揉造作狀，顯得毫無生氣，為了顧及到畫面的邊緣，樹的形狀顯得千奇百怪。畫面上的物體沒有任何前景或立足的基底。圖像彼此間互不關聯，當然，空間關係也被忽略了，因為尺寸和大小在當時都被認為是無關緊要的。畫面上，所存的只是金色背景和物體的顏色所提供的鬆散的結構。
儘管羅馬人使用光學體系的餘味有時會在中世紀繪畫中出現，但拜占庭風格依然居於統治地位。一個最典型的例子，而且確實被認為是中世紀繪畫的精華，是由西蒙·馬爾蒂尼（Simone Martini，1285—1344）創作的「聖母領報圖」（The Annunciation）（插圖8）。背景是金黃色的，沒有任何視覺的跡象。畫面上表現的內容是從天使到聖母，然後再回到天使。儘管有很美的顏色和外觀，以及豐富多彩、變化多端的線條，但畫面本身卻毫無生氣，而且也不能喚起欣賞者的任何靈感。整體的效果像是經過精雕細刻的。也許，這種作品在有一點上向現實主義邁進了，那就是利用了地面、樓板，從而使這些物體與其他景物、金黃色的背景得以區別開來。
文藝復興影響的典型特徵是，使得藝術家朝寫實主義方向前進，而且在13世紀末數學也開始進入藝術領域。到13世紀時，通過翻譯阿拉伯和希臘著作，亞里士多德學說已經廣泛地為人知曉了。畫家們意識到，中世紀繪畫脫離了現實和生活，應該有意識地修正、克服這一傾向。朝自然主義努力的結果是，利用現實中的人作為宗教題材的主題，慎重地利用直線、多重平面和簡單的幾何形式，嘗試利用非傳統圖形的位置，試圖使畫面富有生機，在描繪帷幔的降落、身體重疊的各部分時，是按實際構圖的，而不是採用中世紀的傳統風格。
中世紀與文藝復興時期藝術的本質區別，是引入了第三維，也就是，在繪畫中處理了空間、距離、體積、質量和視覺印象。三維空間的畫面，只有通過一種光學系統的表達方法才能得到，這方面的成就，是在14世紀初葉，由D·B·杜喬（Duccio，1255—1319）和喬托（Giotto，1276—1336）取得的。在他們的作品中，出現了幾種方法，至少這些方法作為一種數學體系發展過程中的一個步驟，也是值得注意的。杜喬的「莊嚴的聖母」（Madonnain Majesty）（插圖9）有幾個有趣的特徵。首先，作品非常簡單對稱，聖母御座的輪廓線條成對地斂聚收縮，因而使人有一種深度感，御座每一邊的景物都大致位於同一個水平面上，但這些景物又都畫在另外其他幾層景物之上。這種描繪景深的方式，就是眾所周知的梯形透視，這種方法在14世紀非常普遍。帷幔飄拂在聖母的膝前，可以看作是一種自然主義畫法的例證。對堅固的牆體和空間也賦予了一種情感，而且從表面上看也不乏激情。從整體上看，畫面風格依然以拜占庭傳統為主。背景大量利用金黃色，而且在細節上也是如此。畫面依然是精雕細刻的。御座被不適當地按照透視法縮小以暗示景深，聖母並沒有以坐的姿態出現在畫面上。
更加值得注意的作品是杜喬的「最後的晚餐」（The Last Supper）（插圖10）。布景是一個部分封閉的房間，背景採用的是14世紀非常流行的方式，這種方式標誌著從內景向外景的轉變。後景牆和後景天花板線條，也有些縮短了，以暗示襯托出景深。房間的各個部分安排得很恰當。在處理天花板的一些細節上下了很大功夫。中部的線條都聚集在一個區域，這個區域稱為沒影區域（vanishing area），隨後我們將會明白這種稱呼的原因。這一技巧被同時期的許多畫家有意識地用來作為描繪景深的方法。第二，從天花板兩端中每一部分引出的線端，是關於中心對稱的，這兩束線段相交於垂直線上的一點。這種方法也就是眾所周知的垂直透視或軸向透視法，被廣泛地用於刻畫景深。這兩種方法杜喬都沒有系統地使用過，但是後來14世紀的畫家們利用和發展了這兩種方法，現實世界景物的出現，諸如畫在左邊的灌木叢，應該引起注意。
不過，杜喬並沒有用一種統一的觀點處理「最後的晚餐」這幅畫的整個畫面。桌子邊緣的線條面向觀察者，而相反的方向觀察者也能看到。桌子後面似乎比前面更高些，而且桌子上的物體似乎不是平放著。事實上，作品朝畫面的前景方向投射得太長了。然而，它們依然代表著寫實主義風格，在整個畫面的主體特徵上，這一點尤其顯得突出。
可以說，杜喬的作品中明顯地出現了三維的表現方式。畫面的景物有一定的質量和體積，而且彼此相關，整幅畫面構成一個整體。按照某些特殊的方法運用線條，平面被縮小了，光線和陰影也被用來暗示體積。
近代繪畫之父是喬托。他在創作過程中直接利用了視覺印象的空間關係，因此他的作品近似於照相機。他的畫中的景物具有厚度感、空間感和生命力。他選擇田園般的風景，將各種景物均衡地分配在畫面上，以眼觀愉悅為原則進行構圖。
喬托最著名的作品之一，「聖方濟之死」（The Death of St Francis）（插圖11），類似杜喬的「最後的晚餐」，也利用了流行的變換方法——一個部分封閉的房間。對應於插圖11的二維畫面，房間的確暗示了一個位於三維空間中的景物。構圖時物體和景物安排得非常均衡，從而使人一眼看去就覺得和諧、清晰。景物與各部分的關係十分明顯，儘管各部分與背景沒有關係。在這幅畫以及喬托其他的作品中，房間或建築物看上去似乎是立於地面上的。縮距法（foreshortening）被用來表示景深。
喬托並沒有始終一貫地保持自己的風格。在他的「莎樂美之舞」（Salome』s Dance）（插圖12）中，右邊壁龕的兩堵牆並不完全一致，桌子和餐廳的天花板也不一致。但是，這幅畫所表現的三維空間的立體感卻再也不能被人忽視了。最有意義、最令人感興趣的是左邊建築的切斷面。真實的現實世界甚至是以漫不經心的方式引入的。
喬托是光學透視發展中的關鍵人物。儘管他的畫在視角上並不正確，他也沒有引入新的概念，但從整體上來看，他的作品卻顯示了他那個時代最偉大的成就。他自己也意識到了自己所做出的貢獻，因為他經常在畫面上留出一些不必要的部分來展示他的才能。幾乎可以肯定，這就是在他的「莎樂美之舞」中為什麼會有水塔的原因。
技巧和觀念方面的進步，則應歸功於安布羅焦·洛倫采蒂（Ambrogio Lorenzetti，活動時期：1823—1348）。他之所以值得引起注意，是因為他所選擇的題材具有現實性和地方特色；他的線條充滿生機，畫面健康活潑而富有人情味。在「聖母領報圖」（Annunciation）（插圖13）中，明顯的有這些優點。畫面上景物所佔據的地面給人以明確的現實感，而且與後牆明顯地分開了。地面既作為對物體大小的度量，又暗示出空間向後延伸到後牆。第二個進步是，從觀察者角度看樓板線條都向後收縮並交於一點。最後，房屋伸向遠處時越來越縮小了，以至於最後消融在背景中。在處理空間和三維度量的問題方面，總的說來，洛倫采蒂使用的是14世紀人們常用的方法。與杜喬和喬托類似，他也沒有在其作品中將所有這些因素結合起來。在「聖母領報圖」中，牆和樓板並不相關。但是，儘管不是從數學方面，然而他卻以一種直覺的方式把握了空間和景深。
在洛倫采蒂身上，我們已經看到了文藝復興時期的藝術家在引入數學透視體系以前所能達到的最高水平。朝著建立一個令人滿意的光學系統的方向每前進一步，都顯示了藝術家們是如何力圖解決這個問題的。很明顯，這些革新者們為了獲得一個有效的方法，在黑暗中進行了艱苦的探索。
15世紀時藝術家們終於認識到，必須從科學上對透視問題進行研究，而幾何就是解決這一問題的關鍵。這種認識通過研究古代透視方面的著作而得到了強化，古代透視學與希臘和羅馬藝術緊密相連。當然，新方法更為主要的是受到了渴望描述真實世界這一願望的刺激。最為根本的目的，則是把握空間結構和發現自然界的奧秘。這是文藝復興時期哲學的一種信念，數學是探索自然界的最有效的方法，而且終極真理的表達方式就是數學的形式。這些藝術家們在他們的創作中，運用獨特的技藝去展示自然界，他們具有與那些藉助於數學、實驗方法而建立起現代科學的研究者們十分相似的精神氣質和研究態度。事實上，文藝復興時期的藝術，被認為是一種知識和一門科學。它包括4種柏拉圖式的「藝術」形式：算術、幾何、聲學（音樂）以及天文學。人們希望將幾何應用於具有較高層次的知識領域。在科學的透視體系的發展過程中，一個同樣吸引人的目標就是建立繪畫藝術的統一性。
繪畫科學是由布魯內萊斯基（Brunelleschi）創立的，1425年他建立了一個透視體系。多那太羅（Donatello）、馬薩喬（Masaccio）、弗拉·菲利普（FraFilippo）等曾是他的學生。L·B·阿爾貝蒂（LeoneBattistaAlberti）的第一本著作《論繪畫》（dellaPittura）於1435年出版。阿爾貝蒂在這篇關於繪畫的論著中說，做一個合格的畫家，首先要精通幾何學，學習這門藝術要藉助於推理、掌握條理秩序，並且只有通過實踐才能把握它們。就繪畫所關注的問題來說，阿爾貝蒂堅持認為，藉助數學的幫助，自然界將變得更加迷人。為了實現這個目的，他主張利用數學透視體系，也就是眾所周知的聚集體系。
最重要的透視學家，碰巧也可被認為是15世紀最偉大的數學家之一，是彼埃羅·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca）。在《透視繪畫論》（De Prospettiva Pingendi）中，儘管他採用的方法與阿爾貝蒂的稍微有些不同，但卻極大地豐富了阿爾貝蒂的學說。在這本書中，他開始利用透視法來繪畫。在其後半生的20年時間，他寫下了3篇論文，試圖證明利用透視學和立體幾何原理，可見的現實世界就能夠從數學秩序中推演出來。
對透視學做出貢獻最大的藝術家是列奧納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）。通過廣泛而深入地研究解剖學、透視學、幾何學、物理學和化學，他為從事繪畫做好了充分地準備，使他那扣人心弦的作品中的人物，具有難以置信的形體魅力和無可比擬的聰明才智。他對待透視學的態度可以在他的藝術哲學中看出來。他用一句話揭示了他的《繪畫專論》（Trattatodella Pittura）中的思想：「欣賞我的作品的人，沒有一個人不是數學家。」他堅持認為，繪畫的目的是再現自然界，而繪畫的價值就在於精確地再現。甚至純粹抽象的創造物，如果能在自然中存在，那麼它也必定會出現。因此，繪畫是一門科學，它就像所有其他科學一樣，以數學為基礎，「任何人類的探究活動也不能稱為科學，除非這種活動通過數學表達方式和經過數學證明來開闢自己的道路」。再者，「一個人如果懷疑數學的極端可靠性，就會陷入混亂，他永遠不可能平息科學中的詭辯，只會導致空談和毫無結果的爭論」。達·芬奇藐視那些輕視理論而聲稱僅僅依靠實踐也能進行藝術創造的人，認為正確的信念是「實踐總是建立在正確的理論之上」。他將透視學看作是繪畫的「舵輪與準繩」。
在透視學方面最有影響的藝術家是A·丟勒（Albrecht Dürer）。丟勒從義大利大師們那裡學到了透視學原理，然後回到德國繼續進行研究。他最通俗、流傳甚廣的文章是《直尺圓規測量法》（Under weysungder Messungmitdem Zyrkelund Rychtscheyd，1528）。他認為，創作一幅畫的透視基礎不應該是信手塗畫，而應該依據數學原理構圖。實際上，文藝復興時期的畫家們並沒有能完全自覺地應用透視學原理。稍晚一些時間後，著名的數學家B·泰勒（Brook Taylor）和J·H·蘭伯特（Lambert）撰寫了一些關於透視學的權威性著作。
公正地說，15世紀和16世紀早期幾乎所有的繪畫大師，都試圖將他們繪畫中的數學原理與數學和諧、實用透視學的特殊性質和主要目的結合起來。西紐雷利（Signorelli）、布拉曼特（Bramante）、米開朗琪羅（Michelangelo）、拉斐爾（Raphael），以及許多其他人對數學都有著濃厚的興趣，而且力圖將數學應用於藝術。他們精心創作了難度極大、風格迥異的藝術品，利用高超而驚人的技巧發展、掌握了縮距法，甚至將這些技法的處理置於情感和激情的表現之上。所有這些，都是為了在他們的作品中展示科學因素。這些大師們意識到，藝術創作儘管利用的是獨特的想像，但也應受規律制約。
這些藝術家們所發展的數學體系的基本原理，可以通過阿爾貝蒂、達·芬奇、丟勒所使用的術語得到解釋。這些人把藝術家的畫布想像為一塊玻璃屏板，通過它，藝術家能看到所要畫的景物，就如同我們能夠通過窗戶看見戶外的景物一樣。從一隻認為是固定不動的眼睛出發，設想光線能投射到景物中的每一點。這樣的一束光線稱為射影（projection）線。在這些光線穿過玻璃屏板（畫面）之處都標出一個點子。這樣的點集稱為一個截景（或稱截面，section）。這一截景給眼睛的印象，與景物自身產生的效果是一樣的。然後，藝術家們斷言，寫實主義繪畫——作畫逼真的問題，就是將眼睛看景物時投射在插入其間的玻璃屏板上物體的大小、位置及其相互關係，在畫布上表現出來。事實上，阿爾貝蒂就曾明確地宣稱，一幅畫就是投射線的一個截景。
這條原則可以通過丟勒的幾幅木刻作品而得到說明。前兩幅木刻（圖19和圖20）顯示了藝術家在一塊刻有小方格的玻璃屏板或紙上繪畫時，將一隻眼睛固定地看著某處，而從眼睛射向景物的光線則交於屏板（或紙）上的某些點。第三幅木刻（圖21）顯示了，藝術家在即使眼睛與屏板嚴重 偏離的情況下，也能準確地畫出圖像。在這幅木刻中，眼睛牢牢地盯住景物中的一個點，在該點上有一根系在牆上的細繩子。第四幅木刻（圖22）顯示的是如何在屏板之外繪畫。
由於畫布不透明和不可穿透，因此對於一位希望描繪出僅僅在他的想像中才能存在的景物的藝術家來說，他就不能簡單地通過描點的方式來畫出丟勒的「截景」。他必須有指導自己繪畫的規則。這樣，那些專註於研究透視的學者，就從投影線和截景原理中獲得了一系列定理，其中包括聚焦透視體系的大部分內容。這個體系被自文藝復興以來的幾乎所有藝術家採用。
數學透視學的基本定理和規則是什麼呢？假設畫布處於通常的垂直位置。從眼睛到畫布的所有垂線，或者到畫布的延長部分的垂線，都相交於畫布上的一點，該點稱為主沒影點（principal vanishing point）（這就是不久將出現這個術語的原因）。經過主沒影點的水平線稱為地平線，這是因為如果觀察者通過畫布看外面的空間，這條地平線將對應於真正的地平線。這些概念在圖23中可以看到。這幅圖顯示的是一個人所觀察到的大廳過道。這個人的眼睛位於點O（沒畫出），處於與本頁紙垂直且通過點P的垂線上。P點就是主沒影點，而線段D2PD1就是水平線。
第一條基本定理是，景物中所有與畫布所在平面垂直的水平線，在畫布上畫出時都必須相交於主沒影點。這樣，諸如像AA′、EE′、DD′和其他線段（圖23）都相交於P。所有實際上平行的線，應該畫作相交，這看起來似乎是不對的。但是，這卻是人眼觀看平行線的實際情況，如大家所熟知的兩條無限伸長的鐵軌看起來相交在一起的情況就是一例。也許，現在我們清楚了為什麼將P點稱為沒影點。在現實的景物中沒有一個與之相對應的點，因為現實中平行線自身絕不會相交。
一幅畫應該是投影線的一個截景，從這條一般的原理出發，可以推導出另一條定理：任何與畫布所在平面不垂直的平行線束，畫出來時應該與其垂直的平行線相交成一定的角度，以便收斂於地平線上的一點，收斂的點取決於這些平行線與畫布所在平面的角度。在這些水平平行線中，有兩條非常重要。如圖23中的AB′和EK，在實際景象中，它們是平行的，而且與畫布所在平面成45°，相交於點D1，該點稱為對角沒影點（diagonal vanishing point）。PD1的長度必須等於OP的長度——從眼睛到主沒影點的距離。類似地，如BA′和FL這樣的水平平行線，在實際景象中與畫布成135°角，那麼畫出來也必須相交於圖23中的第二個對角點D2，而且PD2必須等於OP。隨著觀察者後退，實際景物中上升或下降的平行線被畫出來時，也必須相交於相應的地平線的上方或下方的點。這個點將位於從眼睛發出的平行於所討論的穿過畫布的那條線上。
從投影線和截景的一般原理出發，可以寫出第三條定理：景物中與畫布所佔平面平行的平行水平線，畫出來時也將是水平平行的，而那些與畫布所在平面垂直的平行線畫出來也應是垂直平行的。用眼睛觀看，所有的平行線都是收斂的，所以這個第三條定理初看起來就與視覺不協調了。隨後我們將討論這種不一致性。
在創立聚焦透視體系很久以前，藝術家們就已經認識到，遠處的物體畫出來時應該縮小。但是，在確定縮小的比例方面，他們面臨著巨大的困難。新體系提供了所需要的定理，這些定理也可以從繪畫是投影線的截景的一般原理中推導出來。在圖23所畫出的正方形樓板的情形中，適當地處理對角線如AB′、BA′、EK和FL，就得到了正確的縮小方法。
對於訓練有素的藝術家來說，如果希望達到聚焦體系的寫實主義境地，那麼他們可以利用許多其他的定理。但是，進一步追求這些特殊的結果將會使我們離題太遠。有一點在討論中已經暗示過了，而且這一點對於外行看一幅根據聚焦體系而創造的畫，也是十分重要的。那就是，藝術家眼睛的位置與畫的創作密不可分。當觀察者的眼睛位於主沒影點的水平線上，而且位於從主沒影點到兩個對角沒影點的等距離點的正前方時，從這樣的位置觀察畫面，則可達到最佳效果。實際上，如果畫能掛在適合於觀察者的高度而又能上下移動的位置上，效果也是很好的。
在我們考察一些按照聚焦透視體系創作出的偉大的繪畫作品之前，應該指出的是，這個體系並不是將眼睛所看到的一切都再現出來。正如所說過的那樣，繪畫就是投影線的截景，這條原理要求，與畫布所在平面平行的水平平行線束，以及與畫布所在平面平行的垂直平行線束，畫出來時都應該平行。但是當用眼睛觀察這些線束時就會發現，它們看起來似乎要相交，就如同另外一些平行線束一樣。因此，至少在這一點上，聚焦體系似乎是不對的。一個更重要的批評意見認為，存在著這樣的事實：眼睛看一條直線不能總是直的。讀者可能自己也會相信這樣的事實，如果想像一下，從一架飛機上俯瞰兩條完全平行、沿水平方向延伸的鐵軌。在每一個方向，鐵軌看起來在遠處的水平線上都相交了。但是，兩條直線僅僅只能在一點相交。因此，明顯地，既然鐵軌相交於水平線上的兩點，因此用眼睛去觀看它們就必定是曲線。希臘人和羅馬人已經認識到，直線，當用眼睛去觀看時就是彎曲的。在歐幾里得的《光學》（Optics）中的確也有這樣的論述。但是，聚焦透視體系忽略了這一顯而易見的事實：這個體系沒有考慮到，我們實際上是用兩隻眼睛去觀察，而且每隻眼睛看到的東西會稍微有些不同。當觀察者看一幅畫時，眼睛並不是固定的而是在移動。聚焦體系同樣也忽略了這樣的事實：光線射在視網膜上呈曲面形狀。視網膜並不是一個攝影底板，觀看景物主要靠大腦反應，而這種反應純粹是一生理過程。
既然指出這個體系有如此多的缺點，那麼為什麼藝術家們又採用它呢？當然，相對於14世紀時那個不成熟的體系來說，這個體系還是大大改進了。對15—16世紀的藝術家們來說，更重要的是這樣的事實：這是一個完全數學化的體系。在探索自然界的過程中，數學的重要性已經給人們留下了深刻的印象，一個完整的數學體系的成就已經使他們心滿意足了，以至於他們對所有這些缺點都熟視無睹。事實上，藝術家們認為這個體系與歐氏幾何一樣真實。
現在，讓我們看看這種幾何與繪畫結合的產物。第一次開始運用由布魯內萊斯基引入的透視學的畫家是馬薩喬（Masaccio，1401—1428？）。儘管後來的繪畫受這門新學科的影響更為明顯，但他的「納稅錢」(1)（插圖14）卻比任何早期的作品更具有寫實主義氣息。G·瓦薩里（Vasari）說，馬薩喬是第一個達到了完全真實地描繪事物的藝術家。這幅特殊的畫寓意深刻，內容廣泛，富有自然主義特色。人物形象厚實魁偉，每個人都佔據著一定的空間，每個人的形體都比喬托的作品更為真實，畫中的人物站立著。馬薩喬也是第一個利用幾何的輔助方法即透視技術的藝術家。通過顏色的濃淡以及背景物體大小的變化，這樣就表示出了距離。事實上，馬薩喬是一位處理光線和暗影的高手。
烏切洛（Uccello，1397—1475）也是對透視學做出過重大貢獻的人物之一，他對這門學科有著十分濃厚的興趣。瓦薩里曾說，烏切洛「為了解決透視學中的沒影點，他曾通宵達旦地進行研究」。他常常是在妻子的再三催促下，才不得不上床休息。他說：「透視學真是一門十分可愛的學問。」他熱衷於探索難題，而且十分熱衷於精確的透視學，以至於他沒將全部精力投入繪畫。繪畫成了他解決問題和施展其在透視學方面造詣的機會。實際上，他並沒有完全成功。他的作品只能算一般水平，他在繪畫方面的造詣並不能令人滿意，在把握深度方面也非盡善盡美。
遺憾的是，烏切洛在透視學方面創造出的最好的作品，隨著時間的流逝而被嚴重毀壞了，今天已不可能再復原。他的創造特徵，我們可以從標有「被玷污的聖餅」（Desecration of the Host）（插圖15）的作品殘骸中窺見一斑。他的「一個酒杯的透視研究」（Perspective Study of a Chalice）（插圖16）顯示了在精確的透視繪畫中所涉及的景物的表面、線條和曲線的複雜性。
使透視學走向成熟的藝術家是彼埃羅·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca1416—1492）。這位造詣極深的畫家對幾何學抱有極大的熱情，而且試圖使他的作品徹底地數學化。每個圖形的位置都事先安排得非常準確，以便保持與其他圖形的正確比例關係，並且使得整個繪畫作品構成一個整體。他甚至對身體的各個部位及其所穿衣服的各個部分都運用了幾何形式，他喜歡光滑彎曲的曲面和完整性。
彼埃羅的「鞭撻」（The Flagellation）（插圖17）是透視學的一幅珍品。主沒影點的選擇和聚焦透視體系的精確運用，與院子前後的人物素描緊密地結合在一起，使得景物全都容納在一個清晰有限的空間內。大理石樓板中黑色鑲體的減少，也經過了精確的計算。彼埃羅在他的論透視學的著作中說，他在繪畫方面下過極大的工夫。同樣，在其他的繪畫中，他也利用空間透視以增強立體感、深度感。整個繪畫設計得精確入微，以至於任何一點小的改動都會破壞整個畫面的效果。
彼埃羅的「耶穌復活」（Resurrection）（插圖18）被評論家們認為是世界繪畫史上的傑作之一。這幅畫幾乎像建築師設計的一樣。在透視學方面具有異乎尋常的意義：有兩個視點，因此就有兩個主沒影點。我們可以明顯地從下面看到躺著的兩個士兵的脖子，因此一個主沒影點就一定在石棺的中部。隨後，我們的眼睛會不由自主地移向第二個主沒影點，這個主沒影點在基督的臉上。兩幅畫，也就是上、下兩部分，為一種自然的邊界——石棺的上部邊緣分開了，所以視覺上的變化一點也沒有引起混亂。通過一座陡然升起的山丘，他在利用上半部自然出現的背景時，同時也將上下兩部分合二為一了。有時人們說，彼埃羅太過分地沉溺於透視學之中了，以致他的畫太數學化了，並且基調冷峻，缺乏人情味。但是，看看基督那憂慮、心事重重、慈祥的面容，就足以表明，彼埃羅能夠表現細膩的情感。
達·芬奇創作了許多精美的透視學作品，這位真正富有科學思想和精巧美術才能的天才，對他的每幅作品都進行過大量精確的研究（插圖19）。他最優秀的傑作和最著名的繪畫，同時也是精密的透視學的極好典範。「最後的晚餐」（The Last Supper）（插圖20），描繪出了真情實感，一眼看去如在真實生活中一樣。觀眾似乎覺得達·芬奇就在畫中的房子里。牆、樓板和天花板上後退的光線不僅清晰地襯托出了景深，而且經仔細選擇的光線集中在基督的頭上，從而使人將注意力集中於基督。附帶地，還應注意到12門徒每3人一組分成4組，對稱地分布在基督的兩邊。基督本身被畫成一等邊三角形；這樣的描繪是試圖表達其感情、思考和身體處於一種平衡狀態。達·芬奇的這幅畫可與杜喬的「最後的晚餐」相媲美。
眾多的繪畫與精密的透視學結合的實例，表明這門新學科得到了廣泛普及和應用。儘管S·波提切利（Botticelli，1444—1510）是因為他的許多繪畫如「春」、「維納斯的誕生」而舉世聞名，在這些作品中，藝術家在圖案、線條和曲線中表達自己的情感，寫實主義並不是目的，但他依然很好地把握了精確的透視學。他大量繪畫中最優秀的作品之一「寓意的誹謗」（The Calumny of Apelles）（插圖21）已經表明他精通這門科學，每個物體都清晰地畫出來了。御座和建築的每個部分都恰如其分，而且所有物體縮小得也很恰當。
在透視學方面顯示出卓越才能的畫家是A·曼特尼亞（Mantegna，1431—1506）。他將解剖學與透視學看作是繪畫中的理想技藝。他選擇困難的問題進行研究，而且利用透視學以實現自己嚴格的寫實主義風格和強烈的進取心。在他的「聖·詹姆斯之死」（St James Led to Execution）（插圖22）中，他有意選擇了一個偏心點。主沒影點就正好位於畫的底端，中心的右邊。由於選擇了這一不同尋常的視點，因此整個畫面處理得極為成功。
16世紀顯示出了現實主義繪畫在偉大的文藝復興時期以來所發展的最高頂峰。這些作品展示了精密的透視學及其表現方式的作用，注重空間和色彩。完美的表現方式受到人們的鐘愛，以至於藝術家對具體內容表現得漠不關心。達·芬奇的傑出學生和米開朗基羅、拉斐爾，創作出了許多若干世紀以前人們一直夢寐以求的理想、標準和成功的光輝典範。拉斐爾（Raphael）的「雅典學院」（School of Athens）（插圖23），以和諧的安排、巧妙的透視、清晰精確的比例描繪了一座神聖莊嚴的建築物。這幅畫的意義，並不僅僅因為它巧奪天工地處理了空間和景深，而且因為這幅畫表達了文藝復興的有識之士對希臘先聖們的崇敬之情。柏拉圖和亞里士多德，一左一右，處於畫的中心。柏拉圖左邊是蘇格拉底。而在左邊地上，是正在著書立說的畢達哥拉斯。右邊地上，則是歐幾里得或阿基米德蹲在那兒在證明定理。畫的右邊，托勒玫手中拿著一個球。整幅畫中，有音樂家、數學家、文法家，群英薈萃。
16世紀威尼斯名畫家們則使線條依附於顏色、光線和陰影。但是，他們也都掌握了透視方法。空間的表示完全是三維的，可以明顯地感覺到畫面富有條理，而且使用了透視方法。J·丁托列托（Tintoretto，1518—1594）是這個畫派的代表。他的「聖馬可的奇蹟」（Transfer of the Body of St Mark）（插圖24）對景深的處理十分得體；前景中圖像的前縮法顯然值得注意。 我們再看一個實例。
我們已經注意到，丟勒作為論述透視學的學者之一，對阿爾卑斯山北部的畫家們產生了極為深遠的影響，他的銅雕刻「聖·哲羅姆在研究」（St Jerome in His Study）（插圖25），表現了丟勒自己對透視學身體力行。畫中的主沒影點位於畫面的右中心，畫面的效果使欣賞者感覺到，他當時就在房間里，離聖·哲羅姆只有幾步之遠。
讀者通過觀摩、揣測威廉·賀加斯（William Hogarth）的題為「錯誤的透視」（插圖26）的鐵板雕刻，會發現其中許多東西是多麼地荒謬，由此，讀者現在能估量一下自己在透視學方面的知識水平了。
像上面這些利用聚焦透視體系的實例不勝枚舉。但是，這些例子已經能夠充分說明，人們是如何利用數學透視方法使繪畫從中世紀繪畫的金黃色背景中解放出來，而自由自在地描繪現實世界的大街小巷、山川河流。這些例子也表明，利用聚焦透視方法的第二個價值，即繪畫風格的統一性問題。我們所著重論述的這一體系的發展狀況也顯示出一些適當的數學定理，以及建立在數學基礎之上的自然哲學，怎樣強有力地決定著西方繪畫的進程。儘管現代繪畫已經明顯地擺脫了對自然界的直接描寫，但是藝術學校依然講授聚焦體系，並且繪畫中仍在廣泛運用。無論何時，透視體系對於達到真實的表達效果來說，仍然十分重要。
註：本文插圖來自wikiart，由Serena.P搜集並按英文原版著作插圖整理、編製
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