顛覆直覺的圖形：井蓋與50 便士

大家知道4月23日是什麼日子嗎？

沒錯，就是世界讀書日。於是，小木今天節選了《 數學思考法：解析直覺與謊言》的部分內容和大家一起分享。

本書已獲圖靈授權，十分感謝！

《 數學思考法：解析直覺與謊言》

井蓋與50 便士

翻一翻數學問題集，選一兩個問題研究研究，已經成為我每天必不可少的功課。

今天的問題是：井蓋為什麼是圓形的？

答案毫無疑問，是為了防止井蓋掉落到井裡！

我們日常生活中隨處可見的一些物體，它們之所以採用了現在的形狀，並不是偶然的。就如同井蓋必須是圓的。

我認為，這是因為「在任何角度上寬度（直徑）都為定值的圖形只有圓形」。今天的這個問題對我來說真是小菜一碟。

井蓋只有是圓形才不會掉下去？

「井蓋為何是圓形的」這個問題，有些讀者可能之前就有所耳聞。這道題曾經出現在微軟公司的招聘筆試題目中，一度成為人們熱議的話題。

在回答這個問題時，如果暫時拋開圓形井蓋「易於滾動運輸」「方便加工」等物理因素，那麼答案就是開篇日記中提到的——圓形井蓋不容易掉到井裡。

真的是這樣嗎？其他形狀的井蓋就可能掉下去嗎？

我們先來用正方形試一下。如圖69 所示，很遺憾，正方形的井蓋會掉下去。

對於這樣的事情，大多數人可能都會不假思索地點頭認同，但鮮有人去質疑、深究。不過，現在希望大家能認真思考一下這個問題：「井蓋可以製作成圓形以外的形狀嗎？」

如何，有新的發現嗎？估計會很難吧。因為人一旦將「井蓋只要是圓形的就可以」的觀念植入腦海，就很難將其根除，思維也很難擺脫其影響。

下面，就讓我們一步一步分析，找出真相。

首先，還是以正方形為例，先思考為什麼正方形的井蓋會輕易掉下去。

理由很簡單，正方形井蓋的話，井口也是正方形，如果把正方形井蓋斜過來，就會導致井蓋的邊長小於井口正方形的對角線。

這就是幾何中正方形的性質：「正方形的對角線的長度，大於其邊長。」正方形對角線的長度，大約是其邊長的 √2=1.414 213 56…倍。

那麼，如果把井蓋做成長方形呢？

如圖70 所示，即使換成長方形，結果也是一樣的。長方形對角線的長度，仍然大於其任意邊長。不管換成什麼形狀的長方形，都是這種情況。

下面，我們來試試等邊三角形的情況（圖71）。

等邊三角形中，長度最長的就是邊長，所以情況和四邊形不同。但是，以正三角形的任意頂點向對邊作垂線（三角形的高），垂線的長度都小於正三角形的邊長。這就意味著三角形的井蓋也會掉下去。

我們考察了四邊形和三角形的情況，不過還是不能完全解答井蓋形狀的問題，但是我們已經在逐漸接近真相了。下面，我們來考察正五邊形的情況。

如圖72 所示，通過計算可知，正五邊形的對角線等於其邊長的(1+√5)/2=1.618033 …倍，高等於其邊長的1.538 841…倍。

正五邊形的情況雖然比正三角略微複雜，但正五邊形的高同樣小於其對角線，也就意味著正五邊形的井蓋同樣會掉到井裡去。用同樣的思路考察正七邊形、正九邊形……會發現這些圖形的高都小於對角線。

勒洛多邊形

如果井蓋使用正奇數邊形的話，應該如何改進呢？現在問題的關鍵就在於，圖形的高小於對角線，會導致井蓋在某個角度掉下去。

我們先來看一下正三角形的情況。將圓規的針尖放置在正三角形的一個頂點上，畫出連接另外兩個頂點的扇形。

這樣所得到的圖形的高就等於其對角線（正三角形的情況下，對角線其實就相當於其邊長），都等於這個扇形的半徑。

依次對三個頂點進行上述作圖，就可以得到圖73 這種「胖乎乎」的三角形，這種三角形被稱為「勒洛三角形」。

這種三角形雖然不是圓，但卻具有圓的某種性質，即無論在任何角度上，圖形的寬度都是相等的（圖74）。

這種性質在數學中叫作「等寬性」或「定寬性」。既然圖形的寬度恆定，那麼就可以用來製作井蓋了。

同樣，正五邊形、正七邊形也可以變形為「圓乎乎」的圖形，即勒洛五邊形、勒洛七邊形（圖75）

勒洛多邊形在現實生活中已經有許多實際應用。不知大家是否見過英國流通的20 便士、50 便士硬幣，這兩種硬幣的形狀實際上是勒洛七邊形（圖76）。

仔細看的話，是可以發現這些硬幣的微妙弧度的。英國政府沒有採用單純的正七邊形的設計，而是頗費心思地使用了有弧度的勒洛七邊形。從這小小的細節上，也能讓人感受到昔日英國的榮光。

現在，總算搞清楚了井蓋形狀的問題。不過，問題的解答中也延伸出了另一個疑問：如果可以使圖形的邊具有弧度，那是否可以使角也具有弧度呢？

當然，這個也是可以實現的。以勒洛三角形為例，以該三角形的曲邊上某一點為圓心，畫一個任意半徑的圓。

然後，使這個圓沿著曲邊運動一圈，得出的與此圓相切的曲邊三角形（圖77）就是我們的目標圖形。同時，這也是一條等寬曲線。

其他的勒洛多邊形，也可以採用同樣的方式調整。

此外，除了上文中提到的「等寬性」以外，勒洛多邊形還具備其他一些非常特殊的性質。例如，勒洛三角形的周長，計算如下：

而這個公式，和直徑等於其寬度的圓的周長公式是一致的，如下：

圓周長=直徑（寬）× π

不只是勒洛三角形，勒洛五邊形、勒洛七邊形……不管是幾邊形，有幾個角，結果也是同樣的。這是因為這些圖形的周長都可以用下面的公式計算：

最後還要說明一下的是，勒洛多邊形也可以變化為立體的多面體，且其曲面也具備「等寬性」。

以正四面體為例，類似用圓規畫勒洛三角形的弧邊一樣，可以在正四面體的各個平面上製作出等寬的曲面（圖78）。

這種多面體類似我們常見的栗子，是不是很可愛？可見，具備等寬性的曲面，也不只是球面。

《數學思考法：解析直覺與謊言》

向上滑動閱覽簡介及目錄

作者者：神永正博

譯者者：孫慶媛

出版社：人民郵電出版社圖靈新知

出版年：2018年4月

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本書為講解「數學思考法」的通俗科普讀物，書中通過用數學思維解析實際生活案例、公眾認知中的錯誤直覺、數學經典名題等方式，由淺入深地傳授了分析數據信息價值、辨別謊言、拆解轉化複雜問題、抓住事物本質的思考之法，同時講解了相關的數學知識與理論，可以有效提高理性思維、判斷與解決問題能力，對於理解數學、培養數學興趣亦有有益啟示。

前言 閱讀

第一章　顛覆直覺的數據

比率的魔法棒

「平均」的日本人

貝葉斯定理

齊普夫定律

本福特定律

第二章　顛覆直覺的概率

驚人的「同月同日生」 閱讀

飛鏢遊戲之謎

你不知道的排隊這件事

反正弦理論

蒲豐投針實驗

第三章　顛覆直覺的圖形

井蓋與50 便士 閱讀

魯珀特親王之問

線段的旋轉之舞

托里拆利小號

色彩的難題

第四章　顛覆直覺的定理

空間填充曲線

帕隆多悖論

蒙提·霍爾的陷阱

關於「無限」的故事

連續統假設

後記

章節附註

本文來源於遇見數學

《 數學思考法：解析直覺與謊言》

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