變態公式之如何算出圓的內部被切割成幾塊？

來來來

趕緊拿紙筆出來一起算

一個單位圓圓周上均勻分布 n 個點，互相連接，這個圓的內部會被分割為多少塊？

答案高能預警：

來，我們來找規律，大家拿出紙和筆。

前三個很簡單，1,2,4，所以猜測？

醒醒，n 條直線劃分最多區域才

所以 an 增速不會超過

接下來四五六，藉助對稱性不難數出 8,16,30

我就說不可能是指數增長

講道理，這種題一般都是多項式，直接擬合四次多項式即可

>>來人，放拉格朗日

我大膽預測

然而，見http://oeis.org/A006533

警告，這不是小學找規律

>>我上面在扯淡...

>>因為不能只有我被坑， 要坑大家一起坑...

PS：我找了好半天規律， GG

這是個世界難題級的找規律，直到1998年才被完全解決

其中，脈衝函數δ的變種。

>>是誰給了我找規律的勇氣??????

WTF， Are you kidding ...... killing me???

這個問題可以發一篇 arXiv:https://arxiv.org/pdf/math/9508209v3.pdf

好像同時要用到圖論，群論，數論，域論，組合論，GG...

試著概括一下就是：

1.奇數時，結論顯然

接下來找偶數的修正項

2.把劃分看成一個圖，那麼有

問題轉化為計算邊和點

3.然後舉了個例子，證了一個幾何學的引理

因為點均分圓(單位根)，所以坐標和就是0。

然後用歐拉公式展開，使用換元：

關係就能寫成：

4.然後考慮了一下單位根的性質

把上面的關係帶進去

接下來用了點群論和域論

用群論約化了一下對稱關係，然後用域論找了下擴張塔

最後得出了表示關係：

5.然後開始分類討論這個關係，解出來一整頁...

6.然後用數論得到了一個重要引理

哇，只要計算這些就行啦，趕緊算一下吧！

7.然後用組合論把這些關係耦合起來...

然後用歐拉公式裝回去...

變成一開始那個變態公式...

各位模友，晚安好夢！

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於醬紫君（知乎）

https://www.zhihu.com/question/67970620/answer/259170402

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