量化投資與機器學習

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作者：Andrea Barletta 和 Paolo Santucci de Magistris，Aarhus 大學

由於場外期權合約的買賣在交易雙方間私下進行而非通過公開市場，因而可能很難確定合約的價格有利於買方還是賣方。為對這些合約進行定價，金融分析師往往依據看漲期權或看跌期權價格估算出風險中性密度 (RND)值。常規做法是根據歷史數據來確定定價模型的參數值，進而 估算RND值。

根據參數定價模型估算 RND 有幾個缺點，如處理時間較長而且可能存在誤差。簡單模型可快速完成調試，但很可能會與金融數據的一些歷史經驗特徵不一致，生成的結果誤差較大；複雜模型能夠提供更精確的結果，但所需調試時間較長 — 如果沒有閉式解（解析解），通常需要長達數小時。即使複雜的模型能夠提供看似合理的結果，也可能由於沒有應用有效的數值分析技術而存在偏差。此外，由於定價模型主要依據歷史數據，由建模人員自行決定需要採納的歷史數據量 — 這種主觀決定會影響結果。

Aarhus大學的研究團隊開發了一款非結構化無模型 RND 估算方法，不依賴參數化模型，而是完全由數據自身決定。這種方法利用當前數據（而非歷史數據）通過正交多項式展開式估算 RND 和期權敏感度指標(Greeks)，這樣能夠比應用模型的方法更快得到結果 — 通常僅需幾秒鐘來估算 RND。

為演示我們的方法，便於學生、分析師和研究人員進行應用，我們將它封裝為 MATLAB? 應用程序（圖 1）。我們在兩篇文章中對該方法進行了詳述 (A Non-Structural Investigation of VIX Risk Neutral Density（估算 RND）和 It Only Takes a Few Moments to Hedge（估算敏感度指標）)，並用Risk-Neutral Density Fitting Tool 應用程序具體實現了該方法。

2篇論文、1個工具的鏈接如下：

1、https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2943964

2、https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3086538

3、https://abarletta.github.io/rndfittool/

圖 1Risk-Neutral Density Fitting Tool 應用程序

我們為什麼選擇 MATLAB

我們決定創建 MATLAB 應用程序估算 RND，因為我們希望研究成果得到廣泛應用，而不是僅限於在量化經濟學領域或是熟悉 MATLAB 編程的金融研究人員使用。

我們發現，MATLAB 大大加快了了開發進度。我們在兩到三個月內完成了大部分開發工作 — 據估算，使用傳統編譯語言大約需要兩年時間。 MATLAB 是一種解釋型語言並基於 JIT 編譯器運行，這令我們避免了繁瑣的「編輯-編譯-測試」周期；相反，我們採用交互形式開發方法，調用 MATLAB 中的函數並反覆檢查結果。不依靠第三方庫，也無需自行編寫線性回歸、主成分分析及其他功能演算法，而是利用Curve Fitting Toolbox?、Financial Toolbox?、Optimization Toolbox? 和 Statistics and Machine Learning Toolbox? 等工具包中經過驗證的函數。使用解釋型語言時，運算性能是我們關注的問題。但是，通過採用 MATLAB 中的向量化運算和優化的函數，其性能與編譯語言基本接近。

除了加快實施我們的 RND 方法之外，MATLAB 還可以輕鬆構建界面並將其與底層代碼封裝成為一款應用程序。我們使用 MATLAB 應用程序開發工具設計窗口、按鈕及界面中的其他控制項。然後，將完整應用程序封裝為單一安裝程序文件，並發布到項目的 GitHub 頁面供用戶下載。https://abarletta.github.io/rndfittool/

通過應用程序估算 RND 並查找敏感度指標

下載並安裝應用程序後，通常先從 OptionMetrics 或 Chicago Board Options Exchange (Cboe)等數據源載入期權價格數據（MATLAB應用程序支持直接調用這兩個數據源）。然後用戶檢查輸入數據對應的價格曲線並根據需要調整行權價格的上下限（看跌或看漲期權最低和最高行權價格）。之後用戶選擇核、展開式階數以及用於估算展開係數的方法（例如，主成分分析）。核指定概率分布,為 RND提供一個初始值；而展開式階數則定義正交多項式數量，「校正」核來估算 RND。

此應用程序包含多個內置核，包括 beta gamma、廣義逆高斯、廣義 Weibull 和對數正態，而且用戶可以通過自己編寫 MATLAB 函數來對內置核進行擴展。展開式階數越高，展開式就越精確，但估算所需的時間也會更長（圖 2）。

圖2隱含波動曲線及使用廣義 Weibull 核、主成分分析和 17階 展開式估算出的 RND值。圖示中使用的數據集包含 2011 年 12 月 21 日在 Cboe Volatility Index? (VIX?) 上的 1 月期看漲期權和看跌期權。

最後，計算敏感性指標 delta、gamma 和 vega，用戶只需單擊應用程序的「查找敏感度指標」按鈕。界面中會顯示這三個指標圖（圖 3）。

圖 3敏感度指標圖：看漲期權 delta、 gamma 和 vega。

所有圖均可另存為 MATLAB 圖像或者 PNG、PDF 或 EPS 文件，所有結果均可導出並保存以便進一步分析。

將來升級的功能

從我們收到的反饋來看，用戶對於該應用程序予以了肯定。基於這些反饋，我們將進一步改進應用程序並規劃對其的升級。例如，我們考慮在分析中添加時間點和到期日，我們將研究使用多變數密度，並應用期權價格的歷史數據來預測整個密度曲線，而非僅在某一個時間點的曲線。

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