神奇的克萊因瓶

圖1：克萊因瓶的三維投影

1849年4月25日是德國數學家克萊因的生日。比起同時代的其他數學家，例如號稱「20世紀幾何學之王」的希爾伯特、以「愛因斯坦數學老師」出名的閔科夫斯基、實力派的「非歐幾何最強王者」黎曼和以「龐加萊猜想」而為公眾所熟知的龐加萊，克萊因可謂是默默無聞。大家可能不太了解克萊因，但一定聽說過克萊因瓶。

那麼，「克萊因瓶」究竟是啥呢？具體的數學描述其實我也不懂，但是大致來說，克萊因瓶是一個」沒有內外之分的封閉瓶子。這種說法不太準確，因為在這裡，「內外」的定義和一般的不太一樣。所以，為了更好地描述克萊因瓶，下面，我們先看看克萊因瓶的類似物「莫比烏斯帶」。

圖2：儘管在我們看來莫比烏斯環和圓環完全不同，但是對行進在上面的二維人來說，兩者卻沒什麼不同。

類似於克萊因瓶，莫比烏斯帶是一個沒有上下之分的曲面。這裡的「上下」和我們日常生活中的直觀理解是一樣的。比方說，一塊餐桌布的上面擺著食物，下面則墊著桌子；校園卡的正面印著東區體育館的畫像，背面印著學號和姓名等信息。類似的例子還有很多很多。然而，與校園卡和桌布不同，對於莫比烏斯環來說，它的「正面（上面）」就是它的「背面（下面）」。在百度上介紹莫比烏斯環時說：「如果一隻螞蟻沿著莫比烏斯環前進，那麼它將走回原點。」這種想法是雖然時正確的，但也是不夠的。因為，沿著圓環面前進的螞蟻也能回到原點。但是，莫比烏斯環顯然和圓環面大相徑庭。作為三維生物的我們能夠直觀的看到這種區別，但是作為二維紙片人想要了解圓環和莫比烏斯環的精妙區別是不可能的——除非他們也懂一點拓撲學知識。在三維生物的看來，構造一個莫比烏斯環相當於在三維空間中扭曲一塊有限大的二維平面，使得這塊平面的正面和背面相連通。其實，這種說法同樣也適用於四維人眼中的三維空間。

圖3：三維空間中比二維平面多的一個方向使得二維平面有了上下之分

在一個四維人的眼中，三維「平面」也具有兩個方向。之所以會發生這種奇怪的事，是因為在四維的空間中，空間具有四個坐標。類似於三維空間比二維空間多一個坐標，四維空間比三維空間多出來的第四個坐標能賦予三維「平面」兩個方向（第四個坐標增大的方向，以及減小的方向），這意味著，四維人也能像我們扭曲二維的有限大且具有一維邊界的平面一樣，扭曲一塊三維的有限大且具有二維邊界「平面」，使得這塊三維平面的「正面」和「背面」相連接。這種操作的產物就是具有二維邊界的克萊因瓶。

圖4：三維空間中圓柱體內部的空間在四維空間中是某種有限大的、具有二維邊界的超平面，四維空間中的第四個額外維度賦予三維平面上下之分

上個自然段就解釋了第二段中「內外」的意思。在我們看來，賦予一塊三維空間「正反」方向是一種瘋狂的想法。這就好像自己的空可樂瓶里圍著的空間在另外一些人（四維人）眼中有一種自己永遠無法參透的性質一樣。但是，無法否認，不論是克萊因還是其他的地球人，如果想要親眼目睹四維空間的勝景，要付出的代價恐怕不僅僅是算算數而已。但同時，這種類比的想法再加上數學工具的使用也的確能讓我們突破自身的物理局限，進而窺探到一絲絲不一樣的風景。

僅以此文緬懷克萊因和他的瓶子。

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