哲學視野下的極限概念
一、極限的精確定義
極限的描述性定義是建立在幾何直觀上的語言描述，簡單明白，易於理解，但不夠嚴密。「如果當x無限接近於x時，f(x)無限地接近於常數A，那麼就說f(x)以A為極限。」這種描述性語言，人們容易接受，現代一些初等的微積分讀物中還經常採用這種定義。
但是，這種定義沒有定量的給出兩個「無限過程」如何「無限接近」，更沒有給出兩個「無限過程」之間的聯繫，不能作為科學論證的邏輯基礎。直到十九世紀，法國數學家柯西及維爾斯脫拉斯提出了極限的靜態的精確定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。
「如果對於給定的任意小的正數ε，總存在正數δ，使得對於適合不等式0｜＜δ的一切x，對應的函數f(x)都滿足不等式｜f（x）－A｜時的極限。」
極限的精確定義，藉助不等式，通過ε和δ之間的關係，定量地、具體地刻划了兩個「無限過程」之間的聯繫，用靜態的定義刻划了變數的動態變化趨勢。由於極限的精確定義來得簡練而確切，致使他建立的微積分也來得簡練明快，沒有繁瑣之感，以致整個微積分方法之容易掌握和應用被科技界公認為「算術化」了的方法。
要準確把握極限的精確定義，理解微積分的本質，需要從哲學高度認識極限思想。
二、極限概念的哲學內涵
極限的一般定義，用自然語言描述，形成「概念的初級形態」，但這種「初級形態」已經不是事物的現象，不是事物的各個片段，不是它的外部聯繫，而是抓住了事物的本質、事物的全體，事物的內部聯繫了。為滿足科學思維的需要，必須使概念進一步明朗化，精確化，符號化，完成概念的「精確定義」。「精確定義」是對概念進行數學加工階段，經過加工和提高是概念發展成為理論思維的科學概念。
歷經滄桑得到的極限的精確定義，其精闢、簡潔、優美的語言簡直象一首美麗的詩。寥寥數語把大千世界許多量的變化趨勢刻畫得惟妙惟肖，是豐富的微積分學理論有了堅實的根基。極限的精確定義，充分展示了數學概念從「初級」到「精確」的形成過程。微積分是應用極限研究函數的學科，是人類思維的卓越成果。其準確、清晰、精練的語言充分體現了數學的嚴肅性、正確性、簡潔性。這些概念是豐富多彩的物質世界變化規律的反映和概括，它們的簡潔美正是宇宙萬物的多樣統一，令人情不自禁地神往和深思。
極限概念中，「對於給定的任意小的正數ε」，由於ε是給定的，問題就有了「有限」與「靜止」的特點，這樣就便於研究問題了。又由於對ε的選定是任意小的，於是又退回到原來的「無限」過程和「運動」狀態下。
極限精確定義中，「對於給定的任意小的正數ε，總存在正數δ，……」給出了「x→x」和「f(x)→A」兩個無限過程的聯繫，對每一個給定的ε，存在對應的δ，對每一個任意小的ε，也存在對應的正數δ，說明無論靜態還是動態，「兩個無限過程」都聯繫在了一起，通過靜態的聯繫，可以觀察動態的聯繫。這種描述類似於「定格」放一段錄像，定格時是靜止的畫面，便於觀察，便於分析，所有定格畫面聯接起來，又是運動過程。要真實反映事物本質，必須動態觀察。
「靜」與「動」反映了事物相對靜止與運動變化兩種不同狀態，但它們在一定條件下又可相互轉化。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在於這時速度是變數。為此，人們先在小範圍內用勻速代替變速，並求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限，就是藉助極限法，從「靜」認識「動」，從「近似」認識「精確」。
量變和質變既有區別又有聯繫，兩者之間有著辨證關係，量變能引起質變，質和量的互變規律是辯證法的基本規律之一，在數學研究工作中起重要作用。對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍後，得到的還是內接正多邊形，是量變，不是質變。但是不斷的讓邊數加倍，經過無限過程之後，多邊形就「變」成圓，多邊形周長的極限就變為圓的周長，多邊形面積的極限就變為圓的面積。藉助極限，實現了「量變」到「質變」的轉化。
在哲學視野下把握極限概念、應用極限思想，巧妙地通過有限情形的「趨勢」分析，直接獲得無窮過程的終極值，可以培養人們做事目標的明確性，思維的條理性，過程的規範性和方法的創新性，是高等數學教育的靈魂。該思想方法是人們在長期實踐中積累的正確方法，具有普通性，可推而廣之解決其它類似實際問題。如，轉動靜止的膠片，可得到運動的畫面，單位時間內拍出的靜止膠片越多，運動的畫面越逼真。
這就是以「靜」代「動」問題；又如，鉗工可用平銼銼出圓形的工件，銼的方向變化越快，銼出的圓形工件越標準；同樣，建築工人可用直線型的方磚砌出曲線型的建築，方磚越小，砌出的曲線越標準。這就是以「直」代「曲」問題。
極限思想充滿了辯證法思想，為辯證法提供了實證。在哲學視野下思考極限概念，可以在解決實際問題中，充分把握其理論本質，體現其思想內涵，展示其應用價值。
