從《易經》中的四象特徵，來分析地圖四色問題

首先，我們知道易經中有，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦生六十四卦。

原話出自《易傳·繫辭上傳》的第11章，原文為：「是故，易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大業。」

今天我們不是用卦辭來定吉凶，是用來構建數學模型的。

原模型如下圖（從下往上看）：

我們整理如下：

無極：0；（是宇宙虛空，原始物質）

太極：1；（混沌不分，包含陰陽在裡面，陰陽未分）

兩儀：1,-1；（陽用1表示，陰用-1表示）

四象：太陰（-1，-1）；少陰（-1,1）；少陽（1,-1）；太陽（1,1）；註明：按照爻位從下往上看；

八卦：乾卦（1，1，1）；兌卦（1，1，-1）；離卦（1，-1，1）；震卦（1，-1，-1）；巽卦（-1，1，1）；坎卦（-1，1，-1）；艮卦（-1，-1，1）；坤卦（-1，-1，-1）；註明：按照爻位從下往上的順序，這裡只用到四象模型。

以上，把八卦做一個數理模型的變換，先放在這裡，等下要用到。註明：變換範式可以按照需求構造，等價就行。

我們在看看著名的地圖四色問題，也叫四色定理，現在通過計算機配合，基本完成證明，有解的世界難題。

四色定理（世界近代三大數學難題之一），又稱四色猜想、四色問題，是世界三大數學猜想之一。

地圖四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。

四色問題的內容是「任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。」

也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。

首先我們要把一般情況的地圖做拓撲處理，我們看到的地圖一般情況是這樣的，如下圖：

把這些國家當做一個有一個的點，相鄰的國家有連線，不相鄰的國家沒有連線，那麼地圖上的國家就變成以下的情形了。

把這些點，進行連線，是很複雜的工程。下圖不知道有沒有遺漏，

在證明平面上，一般情形之前，要先證明球體上有四個國家的特例，還有五個國家的特例。

（1）地球上有且只有四個國家，且兩兩相連，無須證明，每個國家單獨上一種顏色就可以使相鄰的國家顏色不同；

（2）地球上有且只有五個國家，

這種情形，有多種證明方法，假設這五個國家各自兩兩相連，那麼有一個國家會跑到地球外部，或者跑到地球內部去了，顯然不合命題的條件。

現在開始證明普遍情形的地圖平面上的國家情形，國家個數至少大於等於6個。

我們把上面的國家相鄰情況的地圖，進一步做拓撲，如下：

我們固定住任意一個指定的國家，按照太極生兩儀的法則，把國家的狀態進行二分，

令指定國家A狀態為：（固定，固定）；

考慮到拓撲平面上，只有兩個維度，所以，拓撲平面上的點（x，y）是最簡形式，不可再約；

那麼在作拓撲變換後的地圖，我們定義一種演算法，就是相鄰的國家，狀態變換1次，其數值增加1，

相對A（固定，固定），地圖上的任一國家的狀態值為：（變n，變m）；其中，n，m∈0和正整數集的並集；

只有且僅有在國家狀態值為（變0，變0）時候，這個國家為A本身。

說明：地圖上所有國家的狀態，只能通過與國家A的相隔位置來體現；

那麼，與國家A相鄰的國家只能是以下的情形：

第一種情形：國家狀態B（變1，變1）；

第二種情形：國家狀態C（變1，變n）；

第三種情形：國家狀態D（變m，變1）；

如果出現國家狀態E（變2，變2）；國家狀態F（變2，變s）；國家狀態G（變t，變2）時，其中n，m，s，t≥2，

可以證明國家E、F、G與目標國家A不相鄰，因為根據特徵變數，相鄰特徵，

國家狀態E、F、G的特徵值裡面，至少有一個變數是變1，才合乎相鄰的特徵，

同理，可以證明X（變k1，變k2）；Y（變k3，變k4）；Z（變k5，變k6），其中k1，k2，k3，k4，k5，k6≥2，

目標A點與點X，點Y，點Z，至少相隔一個點，也就是說A與X、Y、Z都不相鄰。

我們把點A（x，y）與三大類相鄰點進行分析，初步看，點B是一個點，點C、點D可能包括了無數個點；

我們把點B（變1，變1）；點C（變1，變n）；點D（變m，變1），進行變換，並且做窮盡列舉，如下：

在點A（固定,固定）的狀態下，有點B（變1，變1）；點C（變1，變n）；點D（變m，變1），n，m∈Z+，0和正整數的並集。

這樣看起來，點C和點D有無限多種可能。

根據正整數的特徵，我們繼續做變換。

令：

A（偶數,偶數），那麼點B（奇數，奇數）；點C（奇數，偶數+n）；點D（偶數+m，奇數），n，m∈Z+，0和正整數的並集。

經過變換後，其實點C和點D各自有且只有兩種情況，如下：

點C（奇數，奇數）和（奇數，偶數）；

點D（奇數，奇數）和（偶數，奇數）；

包括點B（奇數，奇數）；

點B、C、D，一共有五種情況，其實是可約的，最後剩下三種情況：B（奇數，奇數）；點C中的一種情況（奇數，偶數），點D中的一種情況（偶數，奇數）；

情況已經逐步明朗，為了直觀，我們進一步做變換，如下：

令奇數=a，偶數=b；那麼，點A、B、C、D四點狀態特徵如下：

（a，a）；（b，b）；（a，b）；（b，a），

我們可以吧這個問題等價於四象：少陰，少陽，老陰，老陽。其中：太陰（-1，-1）；少陰（-1,1）；少陽（1,-1）；太陽（1,1）；

所以，也叫做是四色定理的四象證明法。

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別光說不練，我們就演示一個複雜的四色著色過程，定其中一點是（a，a），然後開始開練。

以下圖為例，是比較複雜的情形：

很快速就定位出來四種不同的狀態，如下圖：

四色定理的推論，在立體三維空間，可以給子空間著色，只需要八種顏色，就可以使他們相鄰的子空間，顏色不同。

其實，可以推論到n維度空間，已經不神秘了，

就是n維空間的子空間上色定理，只需要2的n次方就可以了。

用易經來證明四色定理，關鍵在於利用拓撲變幻，還要把一個元素按照所在平面（空間）做矢量分解，這樣就可以把複雜的問題，降維到簡單的問題來看待。

把二維的問題，拆分成獨立的兩個一維矢量的組合問題。

關於四色的推論到n維空間的情形，在晶元設計，多層線路板設計，有廣泛的應用。

本文由隱士申子源原創，歡迎關注，帶你一起長知識！

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