隨機性的數學：對稱性和普遍性

探索 05-07

從賭場里的賭博機器到下周天氣的預測，我們周圍的世界都受到看似隨機的事件影響。那麼，數學家是如何理解隨機事件的？對隨機事物的「預測」又意味著什麼？

在《數學家是如何描述生活中的隨機事件的？》一文中，我們提到了隨機性是一個我們熟悉、卻又難以給出正式定義的概念；但我們有一套用概率論在數學上描述隨機性的明確方法。而今天我們要探討的是，在理解概率時的兩個指導原則：對稱性和普遍性。

對稱性

對稱性在概率論中能起到以下作用：如果不同的結果是等價的，那它們應該具有相同的概率。這兩個結果可能看起來並不一樣（比如硬幣是正面著陸還是背面著陸），但產生結果的過程（硬幣旋轉的機制）絲毫不關心哪一面落地的問題。

這種對稱性讓我們可以判斷出硬幣正面著陸的概率應該與背面著陸的概率相同——都為1/2。與之相似的還有骰子，投擲出骰子上六個數字中的任何一個的概率都應相同，即得到每個數字的概率皆為1/6。

對稱性是概率論中的一個強有力的指導原則，如同它在數學中的許多領域一樣。但是，在將它應用於現實世界中的概率時，就需要更加謹慎了，即便是在簡單的情況下。

雙信封悖論

例如，想像你有兩個信封。它們各自包含了一張支票，其中一張的金額比另一張高出兩倍。你選擇其中一個信封，並將其打開，得知了裡面所含的金額。現在你有一次機會決定是否保留這些錢，又或者換另成一個信封。你會怎麼做？

我們先假設你選中的信封中所含金額數為x，那麼這意味著另一個信封中裝的金額要麼是2x，要麼是x/2，這兩種金額的概率都是1/2。所以如果換掉信封的話，你所得金額的期望值為

由於這個結果比一開始的x更大，所以應該換。但如果你在看信封之前就被要求做出選擇呢？你就會發現自己會不斷地改變想法，最終被困在一個無限循環的交換過程中。這就是概率論中著名的雙信封悖論（詳見：《雙信封悖論：換，還是不換？》）。

一旦你意識到不同的結果是不對稱的，你就會發現這並不是什麼悖論。如果在你的第一個信封中的支票是10萬，那麼你就會選擇保留，因為冒著失去5萬的代價太大。但如果你看到的是5塊錢，那你就會很樂意賭一把。

更重要的是，你還需要將對提供這兩個信封的人願意給出多少金錢的先驗概率考慮在內。對稱性表明，所有可能的數額都具有相同的可能性——這不僅完全不現實，還會造成不適定（ill-posed）的概率模型。上述情況沒有足夠的信息來構建完整的模型。

這個例子闡明了一個非常重要的論點——即盲目地遵循對稱性原則可能導致錯誤的數學模型的使用，或者誘使你錯誤地認為你有足夠的信息來創建一個這樣的模型。而使用錯誤的數學模型可能會造成非常嚴重的後果。

缺陷統計導致的危險

1999年，Sally Clark 被控謀殺了她的兩個孩子並被法庭審判。辯方的辯詞為，兩名孩童都死於嬰兒猝死綜合症（SIDS）。而檢方的一位專家證人認為，兩個孩子都死於SIDS的概率是一個孩子發生猝死事件概率的平方，也就是說在一個家庭中出現兩個SIDS事件的概率為7千3百萬分之一。但是，這個論點基於的是假定這兩次死亡事件是各自獨立的，卻忽視了未知的環境或遺傳因素可能導致一個家庭更易患上SIDS，使二次死亡的幾率變大。

這種不正確的數學模型，連同呈上的統計證據里的基本錯誤，導致 Clark 被判監禁。雖然她的罪名最終在上訴中被推翻，但卻給 Clark 和她的家人帶來了難以承受的可怕經歷。而這個事件也是使用有缺陷的統計論證之所以危險的一個示例。在將概率應用於現實世界中的情況時，我們必須非常小心謹慎，無論情況看上去有多麼簡單。

但是概率論確實可以讓我們在不具有完整知識的條件下對情況進行分析和描述。將這些數學與真實事件聯繫起來可能會造成問題，但試圖了解這種現實世界的情況刺激著數學的發展。隨機性的數學描述能讓我們更深入地了解周圍的世界。

普遍性

普遍性是理解概率的第二個指導原則，它比對稱性更為微妙。普遍性的思路是，如果一個結果是由許多不同隨機來源造成的，那麼根本機制的細節應該不重要。

在更大的尺度範圍內

這個概念來自於理論物理。例如，流體有著大致相同的行為，即使組成它們的分子有著非常不同的形狀和特性。如果用顯微鏡觀察兩種不同流體中的分子，就會發現它們看起來很不同。但是，如果只是在宏觀尺度下觀察這兩種不同的流體，就會看到非常相似的行為。所有流體的行為都可以用一個相同的數學模型——納維-斯托克斯方程——來描述，它只涉及到少數的幾個參數。

概率論也是這樣一個相似的故事。在宏觀尺度下，信息被匯總、聚集，並且在有的時候，相同的數學可用來描述有著不同基礎過程的結果。在數學中，中心極限定理就是能體現這一概念的一個例子。它說的是，如果將許多隨機量混合在一起，那麼結果將始終遵循「鐘形曲線」——即正態分布的形狀。

中心極限定理是具有普遍性的。它描述的是，測量某一性質的大量平均值會遵循正態分布，即便這一性質本身的分布並非正態。例如，多次拋擲硬幣的分布是均勻的——正面朝上與背面朝上的次數幾乎各佔一半。但是如果將硬幣拋擲100次，正面朝上記為0，反面朝上記為1，取其平均值；再擲一100次硬幣，並再取其平均值，循環往複，直到得到很多平均值……那麼這些平均值將呈正態分布，且它們的均值為0.5。與流體動力學的情況類似，基本屬性分布的微觀細節可以忽略不計，因為平均分布的宏觀景象總是正態的。

布朗運動

布朗運動的發現是普遍性中最著名、也最令人驚喜的例子。1827年，蘇格蘭植物學家羅伯特·布朗（Robert Brown）在顯微鏡下觀察懸浮在水中的花粉粒。他觀察到花粉粒所釋放的微觀粒子表現出高度不規則的運動，使他非常困惑。在巨大的好奇心被激發之後，他繼續進行了多項實驗，排除了周圍環境或實驗設置中任何能導致這種抖動的外部因素，以及因為粒子是有機的這種內部原因。（他在無機顆粒——煤塵中也觀察到了同樣的運動。）

布朗運動的一個可能路徑。| 圖片來源：Plus

到了1905年，愛因斯坦和 Marian Smoluchowski 分別獨立的對這種抖動的運動作出了解釋：流體中振動的流體分子會對微觀粒子施加微小的作用力，因而這許多的獨立的微小作用力積聚起來與微觀粒子對抗。

由此而產生的布朗運動是隨機的，你無法確切地預測其中一顆微粒從某一時刻到另一時刻的位置變化。但是你可以指定一個描述粒子可能移動到哪個位置的概率分布。愛因斯坦和 Smoluchowski 意識到，用來描述這種概率分布隨著時間推移而發生變化的數學，與描述熱量流經物體的數學（即熱傳導方程式）是一樣的。

1908年，讓·佩蘭（Jean Perrin）通過實驗驗證對這一理論進行了定量預測，這不僅證實了布朗運動的描述，並且解決了當時對於原子存在的爭論。

更大的繪景

布朗運動是普遍的。無論所涉及的粒子和流體分子有著怎樣的特定形狀、以及基礎細節，我們在許多微粒的隨機運動中都能觀察到布朗運動。但這種普遍性能進一步延伸。其實早在1900年，法國數學家路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）在研究金融系統時，就首次用數學描述了布朗運動。Bachelier 將股票價格的演變描述為由於無數交易的發生導致的價格微小波動的積累。與花粉微粒的運動一樣，股票價格的演變不可能被準確的預測。但是，卻可以用一個概率分布來描述股票價格在價值上的變化，並且描述這個概率分布演變的還是熱傳導方程，這是一個奠定了金融數學基礎的發現。