如果說中國的漢朝的時候，已經懂得微積分，會不會嚇到你了

知識 05-08

從漢代的數學家劉微和祖沖之等人引用《周髀算經》的內容以及標註的內容來看。

至少《周髀算經》是在漢代往前的數學著作，這點是沒有疑義的。

我們今天要講的這本古代著作，流傳更加廣泛，自從漢朝起，歷代的科學大V，數學大V，天文學大V，必修之課，

它就是《九章算術》，其作者已不可考。一般認為它是經歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。最後成書最遲在東漢前期，現今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年（263年），劉徽為《九章》所作的注本。

甚至，唐朝的李淳風也給此書做詳細批註，對，就是那個寫了一本預言網紅教材《推背圖》的作者之一，李淳風的另外一本經典著作《乙巳占》採用了大量的演算法來自《九章算術》，不是突然感覺到很親切，感情這些歷史大V都是用九章算術中的演算法在推算未來，我們小學都讀了，好不好。

你確定讀的是李淳風的同款《九章算術》？

《九章算術》是中國古代第一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一種，成於公元一世紀左右。該書內容十分豐富，系統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。同時，《九章算術》在數學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題，《方程》章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運演算法則。它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標誌中國古代數學形成了完整的體系。

我們現在不是在糾結這本偉大的數學著作到底是什麼年代成書的，我們好奇的是其中的內容，負數，求乘方根什麼的，都是小意思了，但是，居然有微積分的知識在裡面。

有沒有搞錯？大寫加粗！

我們先上一段原文吧，然後詳細說，請看上圖，敲黑板：

這段話，文言文不好的人，估計還是看不懂，我們翻譯一下，對一個圓形來說，周長的一半和半徑的乘積，等於這個圓的面積。

圓周的一半X半徑=圓的面積。

好像有什麼不對吧？

我們學習的圓的面積公式是什麼來著，π什麼啥的。好好回憶一下。

對頭，就是這個公式。

那麼問題就來了，你知道π是怎麼來的，你能夠用數學原理推出π值來嗎？

如果沒有π值，是不是就不會算了啊？

別著急，古代的數學家也是採用了很多辦法。

漢朝，注意，是漢朝的牛人劉微，發現圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差，用有限次數的分割、拼補，是無法證明《九章算術》的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。

他從圓內接正六邊形開始割圓，「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。」也就是說將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差就越來越小，而當邊數不能再加的時候，圓內接正多邊形的面積的極限就是圓面積。劉徽考察了內接多邊形的面積，也就是它的「冪」，同時提出了「差冪」的概念。「差冪」是後一次與前一次割圓的差值，可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。同時，它與兩個小黃三角形的面積和相等。劉徽指出，在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段余徑。以余徑乘正多邊形的邊長，即2倍的「差冪」，加到這個正多邊形上，其面積則大於圓面積。這是圓面積的一個上界序列。劉徽認為，當圓內接正多邊形與圓是合體的極限狀態時，「則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。」就是說，余徑消失了，余徑的長方形也就不存在了。因而，圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積。於是內外兩側序列都趨向於同一數值，即，圓面積。