摁住牛頓棺材板，這篇文章送給想了解薛定諤方程的你

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今天我們將送出三套由中信出版集團·科普工作室提供的優質科普「魔鬼物理學」系列叢書。

你以為物理世界只有黑洞、引力波、希格斯玻色子嗎？錯！電動牙刷、導航儀的背後，科幻、超級英雄漫畫的故事裡，同樣隱藏著奇妙的物理學原理。「魔鬼物理學」系列，既可成系列閱讀，也可單本欣賞。物理並不只是抽象的公式和名詞，它更是你日常生活的一部分。觀察生活的點滴、看看科幻、漫畫，就能玩轉物理！

如何才能得到這套「魔鬼物理學」呢？參與的方式非常簡單！只要你認真閱讀下面的這篇文章，思考文末提出的問題，嚴格按照互動：你的答案的格式在評論區留言，就有機會獲得獎品！（PS：格式不符合要求者無效）截止到本周四中午12點，點贊數前三名的朋友將獲得一套「魔鬼物理學」。

【互動問答示例】

互動：這裡就可以自由發揮你的答案啦~

作者：Maranne Freiberger

翻譯：Nothing

審校：山寺小沙彌

有一道經典的練習題是這麼說的：你的車已經沒油了，你需要多大的力才能維持它的速度？

答案可以由牛頓第二定律給出：

F=ma，

其中 ，a是加速度 ，F是力 ，m是質量。這個簡單又精妙的定律使你可以描述任意類型的運動，所以理論上它可以回答物理學家所提出的所有的關於這個世界的問題。

薛定諤方程以薛定諤的名字命名, 1887-1961.

但是它真的可以做到嗎？當人們第一次開始考慮最微小的尺度下的世界時，例如電子繞著原子核的運動，他們意識到事情變得非常詭異而且牛頓運動定律不再適用。要想描述如此細微的世界你需要二十世紀初建立的量子力學的幫助。這套理論中核心的方程，就像牛頓運動定律的第二定律，叫做薛定諤方程。

波和粒子

「在經典力學中我們用位置和動量描述物理體系的狀態」 Bouatta解釋道,Bouatta是哥倫比亞大學的理論物理學家。例如，如果你有一個擺滿撞球的桌子，並且你知道t時刻每個球的位置和動量（質量和速度的乘積）那麼你可以說你知道了t時刻所有你可以知道的信息：每個物體在哪以及它們以多快的速度向哪裡運動。接下來我們要問的問題是：如果我們知道系統初始的狀態，也就是說，我們知道了t0時刻的系統狀態，那麼系統接下來的動力學演化是什麼樣子的？牛頓第二定律將給我們答案。但是如果我們在量子力學中提出相同的問題，答案將有所不同，因為位置和動量不是描述量子系統合適的量。

問題在於量子力學所描述的對象並不總是表現的像是撞球一樣。有時把它們看做是波更加合適。「拿光來舉例子。牛頓除了關注與引力的研究，他對光學也很有興趣」Bouatta說。「根據牛頓的說法，光被描述為粒子。但在很多科學家進行研究之後，包括麥克斯韋所提供的理論支持，我們發現光應該被描述為波。」

但在1905年，愛因斯坦意識到波的圖像也不是完全正確的。為了解釋光電效應你需要把光束看做是粒子束，這種粒子被愛因斯坦稱為光子。光子數量正比於光強，每個光子的能量正比於光的頻率f:

E=hf

其中是普朗克常量，是用馬克思.普朗克的名字命名的小的難以置信的量，普朗克在1900年關於黑體輻射的研究中已經提到了這個公式。「因此我們面臨的情況是有時需要把光描述為波，有時需要把光描述為粒子」Bouatta說。

雙縫干涉實驗：頂部的圖案是通過雙縫的波形成的干涉圖案，中間的圖示你所預期的粒子穿過狹縫後形成的圖案。最後一個圖是電子等粒子穿過狹縫後實際上形成的圖案：你得到了波動所形成的干涉圖案但是電子在到達光屏時被認為是粒子。

愛因斯坦的結果和一個由來已久的目標聯繫起來，這個目標始於17世紀的惠更斯，在19世紀又被哈密頓重新研究：統一光學和力學。受到光的奇異行為的啟發，年輕的法國物理學家德布羅意走出了關鍵的一步：他認定不僅僅是光，包括其他的物體也是波粒二象性的。構成物質的精細單元，例如電子，也在某些環境中表現的像粒子，在其他情況下表現的像波。

德布羅意1920年提出的這個觀點，並不是根據實驗證據，而是出於理論的考慮提出來的。這受到了愛因斯坦的相對論的啟發。但是實驗證據很快就出現了。在十九世紀二十年代晚期粒子被晶體散射的實驗證實了電子也可以表現的像波一樣。

雙縫干涉實驗是展示波粒二象性最著名的實驗之一。在這項實驗中，電子被射向帶有兩個狹縫的屏。屏之後是一個可以探測通過狹縫之後的電子的位置的屏。如果電子錶現的像粒子，接下來你將會看到電子在狹縫後面的兩條直線附近積累起來。但是你在探測屏上實際看到的是干涉圖案：只有電子是波你才能得到這樣的圖案，每一個穿過狹縫的波會在通過狹縫後和自己干涉。但在探測屏上，電子顯示出粒子性，就像你期待的那樣。這是一個非常奇怪的 結果但是它已經被重複檢驗很多次，我們必須接受這就是世界運行的方式。

薛定諤方程

由德布羅意提出的新圖像需要新的物理。如何將粒子性和波動性通過數學聯繫起來？愛因斯坦已經將光子的能量和頻率聯繫起來，反過來就是通過公式將能量和波長聯繫起來，其中c是光速。利用相對論的結論我們可以將光子的動量和能量聯繫起來。將所有這些放在一起我們可以得到以下光子的波長和動量之間的關係：

受此啟發，德布羅意假設粒子的動量和波長之間滿足同樣的關係。

在這裡最好先不要去考慮粒子表現的像波的具體含義，你要做的是跟隨我們的數學推導。

在經典力學中波的演化，例如聲波或者水波，被波動方程所描述：波動方程是一個微分方程，它的解是波函數，波函數可以告訴你任意時刻波的形狀。

例如，假設在沿著x軸延伸的弦上有幾個波，波在x-y平面上振動。為了完整的描述整個波的形狀，你需要知道每個位置每一時刻弦在Y方向上的位移。利用牛頓第二定律可以得出滿足一下公式：

其中v是波速。

某時刻波動的樣子，由cos函數描述。

想要完全解出非常複雜，考慮到弦可以按照任意的方式擺動，並且你需要更多的信息去確定它具體是哪種運動。但是作為例子，下面的公式：

作為類比，應該有一個波動方程掌控著物質波隨時間的演化。它的解是一個波函數，這個波函數告訴我們關於所研究的系統任意時間的所有信息，例如一個粒子在盒子中的運動。奧地利物理學家薛定諤在1926年提出了這樣的方程。對於在三維空間中運動的單粒子，方程寫為：描述了一束沿著x正方向運動角頻率是的波，就像你期待的那樣，它也時波動方程的一個解。

在一些情況中，勢場和時間無關。在這種情況下，我們可以先求解更簡單的不含時的薛定諤方程，波函數只和空間有關，其中V是粒子感受到的勢場，m是粒子能量h是普朗克常量。方程的解釋波動方程

E是總能量。含時薛定諤方程的完整的解答可以寫成：

不確定性

這些方程應用於一個粒子在三維空間中運動，但是它們也可以被推廣到描述任意個粒子的情形中。 除了可以把波函數寫成關於位置和時間的方程，也可以寫成關於動量和時間的方程。

假如我們解出了波函數，那麼波函數究竟意味著什麼？它並不能給出一個粒子在時間t的精確位置，所以它也不能給出粒子隨時間的運動軌跡。它在每一時刻每個位置給出波函數的值。這個值意味著什麼？1926年，物理學家馬克思玻恩建立波函數的概率解釋。他提出波函數的模平方：

代表的是在某處發現粒子的概率密度，也就是說，在某個區域發現粒子的概率可以寫為積分：

海森堡, 1901-1976.

1927年，海森堡發現測量粒子的位置和動量的精度存在一個根本性的極限。你想將其中一個量測量的更加精確就會導致對另外一個量的測量更加不精確。這並不是由於你的測量儀器的限制，這是自然本身所包含的不確定性。這個結果現在被稱為「海森堡不確定性原理」，這個原理經常被用來說明量子力學的奇異性。它意味著在量子力學中我們不能很好地定義一個粒子的位置或軌道。

「如果你相信不確定原理，我們就必須接受對於將要發生的事情的概率性解釋因為我們並沒有關於t0時刻電子在什麼位置的精確答案。」Bouatta 說。換句話說，所有你可以從量子態的數學表述以及波函數中知道的僅僅是一個概率。

關於波函數是否包含物理實質將仍然是一個敏感的問題。「問題是在於，如果我們有一個波函數，但是空間和時間中真的有一個波在傳播嗎？」Buata說「德布羅意，薛定諤和愛因斯坦嘗試證實它是一個實實在在的東西，就像是光波一樣。但是泡利，海森堡和玻爾不同意愛因斯坦的觀點。他們認為波函數僅僅是計算概率的工具。」

薛定諤方程真的有效嗎？

德布羅意, 1892-1987.

我們為什麼要相信這個看似奇特的方案？在這篇文章中我們似乎給出了薛定諤方程的誕生過程，但是它到底從哪裡來？薛定諤是怎麼得到它的？著名的物理學家費恩曼認為這是一個無效的問題，「我們從哪裡得到這個方程？你不可能從你知道的東西中得到它。他是從薛定諤的大腦中走出來的。」

然而，這個公式已經被大量的實驗證實。「它是量子力學中最基本的方程」Bouatta說。「他是我們想要描述的所有的量子系統的起點，包括電子，質子，中子等等。」這個公式最早的成功應用同時也是薛定諤的出發點，是描述氫原子不連續的光譜。按照的盧瑟福原子模型，原子輻射的頻率應該是連續變化的。然而，實驗結果不是這樣的：氫原子只會發出特定頻率的輻射，並且頻率是不連續的。這項發現和傳統觀點相悖，

1913年玻爾建立新的原子模型，電子處於特定的能級上。薛定諤利用他的公式研究氫原子並發現計算結果精確地重現了玻爾引入的能級。「這是一個驚人的結果——也是薛定諤方程取得的第一個重大成果」Bouatta說。

隨著無數實驗在薛定諤方程的指導下取得成功，薛定諤方程在量子力學中獲得了牛頓第二定律在牛頓力學中的地位。

互動問題

【互動問題：牛頓會怎樣看待薛定諤？】

請大家嚴格按照互動：問題答案的格式在評論區留言參與互動，格式不符合要求者無效。

截止到本周四中午12點，點贊數前三名的朋友將獲得我們送出的圖書一本。

編輯：山寺小沙彌

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