價格悖論與攤還分析
經濟學裡可能見到過類似這樣的案例：
買一本40元的書，為了得到20元的優惠，可能願意辛辛苦苦跑半個城市去特價書店買；可買一部4000元的手機，同樣的20元優惠，往往連下樓的衝動也沒有。
《經濟學原理（第6版）》原書
基於人們評估相對價格的趨勢，或者心理賬戶理論（行為經濟學），再忽略掉互聯網的因素……這大概成立的。
但，究竟是為什麼呢？
這是否就是「短視」的表現呢？
換句話，貪小便宜究竟理不理性？
……
回答是：這反而是適當的做法。
我們從攤還分析（又稱，分攤分析）的角度來看。
首先，在演算法中，攤還分析是用來評價程序中的一個操作序列的平均代價，有時可能某個操作的代價特別高，但總體上來看也並非那麼糟糕；可以形象的理解為把高代價的操作「分攤」到其他操作上去了，要求的就是均勻分攤後的平均代價。
當這個操作序列趨向於無窮時，攤還的平均代價往往漸進於一個函數，由此還可以引出攤還複雜度的概念。
下圖為一個攤還分析的簡單示例：
某連續操作f(t)在某區間上的攤還
面向對象的程序設計中，比較典型的例子是：對於向量（即，數組）溢出時的擴容操作，採用加倍擴容策略而不是追加常量的空間。加倍擴容的平均分攤複雜度遠小於常量擴容。下圖取自鄧神的《數據結構（C++語言版）》。
向量擴充圖解
加倍擴容法的實現及細節可參考書中的P34~36。
《數據結構（C++語言版）》原書
好了，我們來分析最開始的問題。
比如，將「消費40元」當做一個操作，它的代價是「20元優惠」，顯然，這可以被視為一種「正」的代價。相對的，對於4000元的手機，對應「消費40元」的100次操作，它的代價仍然是「20元優惠」。
也就是說，對於長時間的平均分攤代價，同樣的20元優惠，買書比買手機高了100倍！而由於優惠是「正」的代價，這導致優惠買書的預期收益非常高。
可以看出，人們對收益的權衡，會潛意識地使用攤還分析，考慮長期效應。即，攤還分析是一種自然的策略。
進一步，哪些商品適合於攤還分析呢？
自然是長期使用品，即「必需品」。
但怎麼區分「必需品」和「非必需品（奢侈品）」呢？
傳統的經濟學通常以市場上該商品的需求價格彈性（可視為，價格對需求的偏導數）作為區分的指標。
但是，僅僅以市場定義的範圍來作區分，如冰淇淋市場和香草冰淇淋市場，而不區分面向張三的冰淇淋市場和面向李四的冰淇淋市場，對個人偏好的體現是遠遠不足的。現代由於數據挖掘的深入，這種面向對象的趨勢就更為明顯。
比如，假設有一個修過手機屏6次的頻繁吃土青年，外屏4次、內屏1次、屏幕總成1次。而且由於對手機不愛護的生活習慣，今後也可能繼續修手機233。
那麼，修手機的消費，對該青年來說就更傾向於長期使用品，於是需要攤還分析；而對於粉底、女裝一類的商品，則更傾向於奢侈品（需求量小趨於0，加上價格不敏感），可能就用不上攤還分析。
那麼，問題是：在不考慮時間成本的情況下，是否應該購置一台新手機？
對於普通安卓手機，更換外屏的花費在90元左右，更換內屏/總成的花費在200元左右。假設該青年半年摔一次手機（？），則平均分攤花費可估計為（X*1000/3/360 + 90*80%/360/2 + 200*20%/360/2=）X+0.15元/天。
假設此時更換新手機，選擇價位Y千元檔，生命周期T假設為3年，且前1年不摔（？）。則分攤花費為（Y*1000/3/360 + 0.31*2/3=）Y+0.20元/天。
於是結論是：（僅考慮當前攤還分析）若Y比X便宜500元，那麼購置新手機就是明（ji）智的選擇。
當然，深入研究分攤費用隨時間的變化趨勢，綜合考慮個人偏好，可以得出更精準的策略。但重點是，要敢於量化指標，而不僅僅停留於對客觀事物的定性狀態。如下圖示例的一個粗略的模擬演算：
攤還分析實例：手機問題
其中，藍色粗線為標準曲線（X=2，T=3），其它為對照組（Y任取，T=0）。橫軸單位為半年，縱軸為攤還費用的對數值。
可以看出。
定量，往往能更好地定性。考慮長期，可能做出不同選擇。
但，不僅僅可以在時間上進行攤還，還可以在空間上進行攤還。
比如，下面考慮一個標準正態分布。
簡單提一下正態分布的歷史。正態分布的實質認識源於最小二乘法的發現，最小二乘法源於對自然規律的猜測——最大概然估計。因此，正態分布實際是反映最可能的現實。
考慮標準正態分布在整個實數軸上的分攤，容易得到分攤值為0。這是一個退化的情況，我們主要考慮非退化（即，具有一般性）的情況。
比如，取定區間[-δ，δ]，δ為方差，此處顯然為1，即[-1,1]。只考慮標準正態分布在[-1,1]內的分攤。
正態分布在[-1,1]上的攤還
如上圖。此時，將極限定義為：固定[-1,1]區間不變，標準差δ不斷趨於0，則分攤極限值趨於1/2=0.5。
注意到，當δ不斷趨於0，該正態分布趨於一個「單位脈衝」（又稱，Dirac函數，當然，這裡還需要一個適當的比例放縮變換，放縮係數為2:1），波峰形狀變得集中而陡峭。這說明，對於特定點趨於極限的脈衝式效應，有時可以通過區間分攤來獲得有限值。
現在嘗試考慮數學物理中著名的齊次化原理（Duhamel原理）。它是物理學上的一種簡化手段，其作用如下圖所示：
齊次化原理圖解
可以看出，齊次化原理的主要目的將原本連續的函數，當成間斷的脈衝的無窮疊加（這種無窮疊加表現為脈衝的連續化，最後成為一個積分）。它是將無窮小區間上的一個分攤的量，收束成集中點上的脈衝，類似於攤還分析的逆過程。
再考慮傅里葉變換。Fourier變換是將時域信號轉換為頻域信號，Fourier解析是將頻域信號轉換為時域信號。對於任意的一個正/餘弦周期時域信號基，都對應唯一的頻域值。如下圖所示（摘自知乎）：
從Fourier（離散）級數到（連續）變換
從頻域到時域，正像是攤還分析，將每個脈衝對應分攤到整個時間維度上；從時域到頻域，也像是攤還分析的逆過程，將時域上連續的信號收束為頻域上的一組脈衝。當時域上的周期性越差（周期越長），頻域上的脈衝更加密集，最終得到一般的連續函數。
它與齊次化原理的本質相異之處，僅僅在於選擇的收束基不同而已。而且，這組基選的非常巧妙，導致部分揭示了周期現象的本質。（相對而言，齊次化原理的基就比較平凡；另外，如果選擇有限多個平凡基，再推廣，很容易聯想到數值積分中經典的手法「插值」；甚至，結合矩陣理論，這些都可看做是一種空間到空間的變換，只不過在某些空間中看同一個問題的形式更加簡潔罷了。這裡就不展開敘述。）
下面我們再分析一個湍流的例子。並從時空攤還的角度進一步理解攤還分析。
考慮（均勻各向同性）湍流的長期效應。
不妨先簡單提一下，各向同性湍流的歷史。1935年，G.I. Taylor在風洞實驗的均勻氣流中設置一排或者幾排規則的格柵，均勻氣流垂直流過格柵時產生不規則擾動。這種不規則擾動向下游運動過程中，由於沒有外界干擾，逐漸演化為各項同性湍流。發展了各項同性理論。
先說湍流，湍流的流動一般分解為時均運動（穩態分量）和脈動運動（隨機分量）。其中，任一時刻的時均運動都是該時刻湍流的無規則運動在空間上的攤還。
由於湍流的耗散作用（含內部和邊界），儘管可能存在間歇的波動，一個不受干擾後的湍流最終將趨於穩態（如考慮管道流動，其脈動將衰弱至0，接著時均也將隨後衰弱至0）。
即，一個長期的湍流運動，可以描述為在空間上、時間上的攤還。
……
從以上幾個簡單的實例中，讀者應該能夠漸漸體會到攤還更深層的意義：攤還，就是將任意維上短暫的（脈衝）效應儘可能分散到維的全域上，對任何維度都是成立的；無論時、空，或者更抽象的維度。（進一步，如何考慮非整數的維度，即「分形」對象呢？）
價格在時間上的攤還分析，指導著消費者的購買行為；成本在空間上的攤還分析，指導著生產者的產業發展（規模效應）；甚至，思考發達國家的污染排放在歷史和全球上的攤還（溫室效應）；衝量在作用面上的攤還；脈衝星在宇宙空間視差上的攤還……
當然，重點不是應用，而是，在面對一個問題或處境時，能自然而然地想到攤還的思路。（在面對不同的問題的時候，多數的思路往往是一致的。如何構建新思路，也是一個非常值得探討的問題。）
甚至，動態規劃，數值逼近……所做的無非就是某種合理的簡化。簡化到什麼程度才叫合適呢？我們究竟需要多少知識才能做出好的決定？那麼，資訊理論的雛形就躍然紙上了……所謂觸類旁通。
那，極好了。
……
借季羨林先生《留德十年》的一段話做結尾:
我只是一個人在夜深人靜時，伏在枕上，讓逝去的生命一幕一幕地斷斷續續地在我眼前重演一遍，自己彷彿也成了一個旁觀者，顧而樂之。
願生命的一分一秒都充滿平和與喜悅、
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