或許是你從小就一直在思考的兩個算術問題

你是否很小就注意到了下面這兩個有趣的算術現象？這兩個簡單的算術謎題是否一直都困擾著你？今天，大家終於有機會解開謎團了。

問題一： 2 加 2 等於 4 ， 2 乘 2 也等於 4 。還有其他的整數對，它們的和與積也相等嗎？

我們要求的就是 m + n = mn 的整數解。方程可以變為 mn – m – n + 1 = 1 ，也就是 (m – 1)(n – 1) = 1 。由於 m 、 n 都是整數，因此 m – 1 和 n – 1 也都是整數。兩個整數之積為 1 ，只有兩種情況——這兩個數都是 1，或者這兩個數都是 -1 。前者對應了 m = 2, n = 2 ，後者解出來則是 m = 0, n = 0 。如果把 (0, 0) 看作平凡解（或者如果我們把問題限制在正整數範圍）的話，非平凡解就只有 (2, 2)，沒有其他的了。

三種新的證明方法。這裡，我們統一把問題限制在正整數範圍內。

1、不妨假設 m ≤ n 。如果 m ≥ 3 的話，那麼 mn ≥ 3n > 2n = n + n ≥ m + n = mn ，矛盾。因此， m 只能是 1 或者 2 。但是，如果 m = 1 的話， m + n = mn 就變成了 1 + n = n ，這顯然無解。所以， m 只能等於 2 。原方程變為 2 + n = 2n ，解得 n = 2 。

2、不妨假設 m ≤ n 。由於 m + n = mn ，因而 m = mn / n = (m + n) / n = m / n + 1 。但是，當 m

3、首先注意到， m · (n – 1) 一定是 m 的倍數。但是， m · (n – 1) = m · n – m = m + n – m = n 。這說明， n 一定是 m 的倍數。根據同樣的道理， m 也一定是 n 的倍數。所以， m 和 n 一定是兩個相等的數。因此， m + n = mn 就變成了 2m = m2 ，顯然 m 只能等於 2 。因此， n 也只能等於 2 。

有趣的是，如果三個正整數之和恰好等於它們的乘積，解也只有一個：(1, 2, 3) 。更有趣的是，如果四個正整數之和恰好等於它們的乘積，解仍然是唯一的：(1, 1, 2, 4) 。如果五個數呢？這一回，解就不止一個了，(1, 1, 2, 2, 2) 、 (1, 1, 1, 3, 3) 、 (1, 1, 1, 2, 5) 都是滿足要求的解。

我們自然想問，對於哪些 n，「n 個正整數的和恰好等於它們的積」有唯一解。讓人意想不到的是，這竟然是一個數學未解之謎。目前已經知道，在 n

問題二： 2 的 4 次方等於 16 ， 4 的 2 次方也等於 16 。還有其他的正整數 m 和 n ，使得 m 的 n 次方和 n 的 m 次方也相等嗎？

當然，我們忽略所有 m = n 的平凡解。另外，當 m = 1 時，有，於是 m = n = 1 。因此，下面我們都假設 2 ≤ m

等式兩邊同時除以，有

即

由於等式左邊是一個整數，因此等式右邊也一定是一個整數，可見 n 一定是 m 的整數倍。不妨令 n = k·m ，其中 k 是一個大於等於 2 的整數。於是上式繼續變為：

即

兩邊同時開 m 次方，有

當 k = 2 時，上式化為，於是我們找到一組非平凡解 m = 2, n = 4 。

如果 k = 3 呢？上式將變為 m2= 3。注意到我們的 m 至少等於 2 ，因此 m2至少也是 4 ，是不可能等於 3 的。

如果 k 更大呢？肯定會更大，更不可能等於 k 了。我們用數學歸納法證明這一點。

假設，那麼mk – 1= m · mk – 2> m(k – 1) ；但 m 是大於等於 2 的，因而；但 k 是大於等於 3 的，因此 2(k – 1) = 2k – 2 > k。

因此， (2, 4) 是這個算術問題的唯一一組非平凡解。

來源：

http://www.matrix67.com/blog/archives/4365

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