數學之美：兩點之間最快的路徑是什麼？能看到最後的都是學霸

知識 05-11

厲害了，

17世紀的學霸們！

今天我們一起來觀賞一下數學之騷美。

這事兒和17世紀的一道謎題有關，直到後來微積分被建立起來以後才得正解。雖然問題不難，但結果驚艷。

我先來問一個比較「二」的問題：兩點之間最短的路徑是什麼？

喏，別猜疑我是在逗你們，或拿非歐幾何抖機靈，真心希望你們兩手一攤就說是一條直線。

鐵線上的珠子

現在我們來看一下這次節目我們要探討的問題：如果AB兩點是在空間中垂直放置的，那麼這兩點之間的最快路徑是什麼？

舉幾個圖，如果我們將兩點之間用鐵線連接，上面穿一顆圓潤的珠子，那麼以下哪種姿勢的路徑可以讓珠子以最快的速度從A點滑降到B點？

注意，此問題中要加上重力加速度(但是不考慮摩擦力和空氣阻力)的情況下，考察那條鐵線上的珠子最快降落到B點，給你兩分鐘時間……

會不會是第一種直線的方式呢？無論如何，我們都知道這是兩點之間最短的路徑。所以珠子需要移動的距離是最短的，而且珠子不需要改變運行方向跑偏，嚴格按照起始的方向埋頭滑到底。

會不會是第二種拋物線形式的路徑最快？拋物線是種水平位移與垂直運動成平方關係的運動路徑，更符合物體在自然界重力作用下的墜落軌跡(事實上，那些訛你錢讓你吐一地的「失重體驗」飛行，飛的就是這種路徑。)

還有第三種跳台滑雪式的路徑，它會是最快的一個么？走這種路徑有個優勢，就是在一開始會獲得較高的加速度，當加速度達到最大的時候，把這種優勢轉化為較短的時間滑過後半程的水平位移上。

是不是還有種可能，實際上對於下墜來說，其實路徑根本就無所謂？你看，反正是能量守恆的事情，同等高度的情況下，珠子具有的勢能也是一樣的，那麼最後獲得的動能也是一樣的，那麼我們能不能說其實路徑的選擇對速度是沒有影響的？

最後，會不會這些路徑都不是最快的？其實還有其他的可能？比如一個完美的圓弧？

誒？聽上去貌似都有點道理！您覺得呢？滑鼠別撒手，跟我繼續看下去……

牛頓、貝努里、惠更斯、萊布尼茨、欽豪申、羅比達(反正都是些遠古學霸)

在17世紀末，扎堆出現了一大批傑出的數學家：牛頓、貝努里、惠更斯、萊布尼茨、欽豪申、羅比達……他們都在做這道題，出題的人是雅各布·伯努利他弟，約翰·伯努利：

「我，約翰·伯努利，想找到世界上最棒的數學家。沒有比出道難題更為難人，更能公平公正地爽到我了，能解決這個問題的人必能揚名立萬，千古流芳。成為能與帕斯卡，費馬等牛人齊名的大V。請允許我代表整個數學界提出這個尤其能在今天考驗大家的數學技巧和思維耐力的問題。如果有人能把答案遞交與我，我會將其公開，並授予其應得的獎賞。」

這個約翰·伯努利是誰？好像口氣很吊的樣子，反正你們就當他是知乎的黃繼新就行了，要不是他，牛頓的萬有引力還能早些獲得承認，他們一家人都是大學霸，兄弟，父子之間還互相瞧不上眼。

史載是牛頓第一個找到了正確解法和答案。伽利略幾十年前已經給出了自己的結論，但由於手裡沒有微積分，得出了錯誤的答案，所以咱也別自慚愧，不知道也很正常。

最速曲線 (Brachistochrone Curve)

這個問題存在一個最優解，這條曲線有一個拗口的名字，叫 Brachistonchrone 曲線(詞源來自希臘語，brachistos是最短的意思，chronos 意思是時間)。這的確念起來累舌頭，但先別皺眉，萊布尼茨還想更佶屈聱牙地叫它 Tachystopote ……

最速曲線的形狀接近那個「跳台滑雪」(上圖第三個)，起始近乎的垂直加速讓珠子獲得了快速通過後半程水平位移的能力，平均速度最快。上圖的動畫里，紅色的就是那條「最速曲線」。(伽利略的結論錯在認為完美的圓弧才是最快的路徑。)

關於變數的計算

在這裡要得到的最優解的計算，不是要將一個函數里的某個變數最小化，而是需要一個函數來把其他變數最小化。這就是「變分法」。關於變分法的介紹很多，所以我在這裡就快速展示一下這個過程，反正 @sein也不按字數發糧票……

計算的基本思路是「能量守恆」。墜落的珠子把勢能變成動能。如果我們把這條彎曲的路徑長度記做s，每一段無線小的路徑記做ds，得：

不同的路徑都會有不同的函數，在這裡，我們的目標是找到那個最小的y的函數表達式。

我們知道路徑是連續的(沒有坑窪和突然的起伏)，而且我們知道只有一個變數就是加速度，所以得到一個二階導數 d2y/dx2，而且我們知道起點和終點的值。

抄個近道直接給你們答案吧，下面是關於夾角θ切線的參數方程

等式中K是一個保證曲線經過終點(xB，yB)的係數。

擺線(Cycloid)

上式所得到的圖像，就是下圖我們所看到的「擺線」，美不勝收……

所謂擺線，描述的是某個圓上的一點，在圓沿直線運動時候的滑過的軌跡。

想像你的車跑在這樣形狀的一個坡上，軲轆就是那個黑點，那它運動速度最快的區間就是在這條擺線的 0≤θ≤π 的範圍里，從垂直下降到回歸水平位置的這段路徑上(見下圖)。

這到底有毛用？

最速曲線對於建造過山車有巨大的指導意義，那些造過山車的工程師總要絞盡腦汁在有限的垂降距離里，儘快達到最高速爽到你。如我們剛才所證的，「最速曲線(Brachistochrone Curve)」是兩點之間最快的路徑。

這在競技體育上也大有用處。如果你是一個滑雪運動員，目標是最短時間衝線，你根本就不在乎兩點間的最短路徑，而是最快路徑。如果你沿著最速曲線的路徑下滑，你會獲得更多的加速度優勢。

能看到這裡的都是好同學

這事兒還能更帶勁。

在均一力場的框架下，「最速曲線(Brachistochrone Curve)」有時候也被稱之為「等時曲線(tautochrone)」(依舊感謝希臘人，taut的意思是「相等」)。

你可以把物體放在「等時曲線」的任何位置上，它們都將以相同的時間滑落到同一個位置。

位置越高的物體，將以更快的速度，和位置較低的物體一起通過最低點。(具體時長是π乘以圓弧的半徑除以g的平方根)。

你可以在威武的Wolfram 上玩到更精彩的例子

我們回憶一下高中的物理知識，老師講過鐘擺的運動周期取決於擺臂的長度，但這個說法只是理想狀態下的近似結果。當鐘擺真甩起來的時候，其實擺臂的長度是有細微微的變化的：

當擺臂很長，而擺幅很小的時候，這個誤差也很小，但這個誤差是躲不掉的。最早發現這個問題的是數學家惠更斯，他用一個叫做「翻轉擺線的漸開線( involute of an inverted cycloid)」的特別方法糾正了這個誤差(後面講到)，製造出了完美的鐘擺(惠更斯鐘擺)，他是歷史上第一個研究鐘擺在擺線頂端出現誤差的人。

如果擺臂的長度是擺線周長的一半，那麼鍾錘運行的軌跡是沿著一條擺線以固定的時長運動，且時長與擺動的高點位置無關。漸開線指的是一條描述擺臂上一動點沿著曲線運動，與所選切線上的交點的軌跡。(如果每個字都認識，這真不是我的錯……，下圖藍色那段就是所謂「漸開線」)。