「痛則不通，通則不痛」類比由一道題目的課堂探究引發的思考
——由一道題目的課堂探究引發的思考
馬勝利（山西省實驗中學）
摘要：通過對一節習題課中一道題目的課堂探究的回顧，從學生和教師兩個方面反思如何上好一節習題課。要上好一節習題課，教師既要充分的信任學生，放手讓學生對問題進行思考和交流，又要對課堂進行必要的組織，精心地準備習題，恰到好處地引導學生，最終形成自然，流暢，快樂的課堂。
關鍵詞：習題課；課堂實錄；教學反思
一、引言
筆者在教學完人教A版教材必修1第一章之後複習函數的概念和性質，和學生在習題課上研究了這樣一道題目：「定義在R上的函數f(x),對任意x,y∈R,滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0.（1）證明：f(0)=0;(2) 證明：f(x)為奇函數；（3）證明：f(x)為R上的單調減函數。」在課堂上，學生積極思考，主動探究，踴躍發言，達到了很好的教學效果，特整理成文與各位同行共享.
二、課堂實錄
1.風平浪靜，順水推舟
師：請閱讀題目，考慮第(1),(2)問的證明,第(1)問有誰想出來了？請上黑板證明一下.
生1:（1）證明：令x=y=0,得f(0+0)= f(0)+f(0),所以 f(0)=0.
師：很好。第(2)問誰想出來了？請上黑板證明一下.
生2: （2）證明：令y = -x,得f(x-x)= f(x)+f(-x),所以 f(0)= f(x)+f(-x).由(1)知，f(0)=0, 所以 f(-x) =-f(x), 所以f(x)為奇函數.
師:這兩位同學的證明均採用對式子f(x+y)=f(x)+f(y)中的變數賦值的辦法進行,像這樣的抽象函數問題,賦值法是很好的解決辦法,特別是生2,巧妙地利用了第(1)問的證明結論證明了f(-x) =-f(x)。
當筆者點評到這裡時,生3舉起了手,迫不及待地說:「老師，我有一種方法證明第(2)問,不需要用到第(1)問的結論.」
筆者立刻讓生3在黑板上展示了他的證法.
生3: 因為f(x+y)=f(x)+f(y), 所以f(a) =f[(a+b)-b]=f(a+b)+f(-b)=f(a)+f(b)+f(-b)。所以f(-b)=-f(b)。 所以f(x)為奇函數.
師：生3的證明非常好，從條件式子本身直接推出了結論，給了我們不一樣的感覺，體現了他敏銳的觀察和深刻的思維。
至此，第(1),(2)問學生順利證明,並得出第(2)問的一個巧妙證法.
2.暗潮湧動，推波助瀾
證明第(3)問比較難,筆者沒有完全放開讓學生自己去做,而是通過一些思維上的引導，師生共同完成.
師:現在,我們來證明第(3)問.證明函數單調性,我們要根據什麼？一般要經歷哪些步驟？
生4:根據定義證明函數單調性,一般要經過「取點—作差—變形—定號—結論」五個步驟.
師:下面我們根據生4的回答一起分析第(3)問的證明.
所以函數f(x)為R上的單調遞減函數.
到這裡,在師生的共同研究下，順利得出此題的證明.此時,筆者看到下面有學生舉手,便問他有什麼要說,他說有不同的證法,筆者請這位學生說出自己的證明思路之後,又有兩位學生提出了自己不同的證明方法.一下子有三位學生提出自己的思路,只憑口述,很難讓學生清楚比較。於是,筆者請三位學生一起上黑板分別寫出他們的證明過程以供大家分析.
（2）學生對問題的思考進行了充分的展示.
筆者最初是想和學生共同研究出預設的解法之後就結束這道題目的研究,但出乎意料地是學生又主動要求補充三種證明方法,筆者給予學生充分的時間讓他們在黑板上將自己的想法明確展示出來供大家研究,在充分的展示下,學生參與的熱情迅速提高,激發了興趣,激活了思維.
（3）學生對展示的內容進行了充分的討論.
這道題的研究過程中,學生先後多人次發言,將展示的內容進行了充分的討論.在討論的過程中,學生不但使相關知識得到澄清,而且使自己得到了關注.因為充分而主動的參與,學生切實地感到了自己是課堂的主人,感到自己對於全班知識和能力的增加有一份貢獻,所以下課時學生的滿足感不僅在於知識上,而且更多的在於情感上.
（4）學生對討論的結果進行了充分的總結.
最後階段，筆者讓學生對所研究的問題進行反思和總結，這起到了畫龍點睛的作用.通過充分的總結,構建了一個將由部分學生參與得出的研究成果推廣為全班共識的平台，使討論的成果落地生根,使得到的收穫更加明確,使學生體會到了充實的感受.
2.教師層面——上好習題課的「必要」條件
（1）上好習題課,教師選擇好的題目是「必要」的.
生思維不嚴謹等問題。教師通過引導學生思考和討論，將暴露出的錯誤一一進行了糾正，幫助他們正本清源，認清了自己的錯誤認識，對相應的知識的掌握更進一步，糾正了思維上的缺陷，思維能力有了進一步的發展，因此，學生感到自己的知識和思維水平有所提高，自然會感到快樂。
（3）上好一堂習題課,教師對課堂合理、有序地組織是「必要」的.
這節課筆者站在學生的後面,給學生搭建舞台,像導演一樣指導學生上台表演,像主持人一樣對學生的活動進行穿插、銜接和引導.充分相信學生,讓他們盡情展示和討論。專心地傾聽學生的敘述,觀察學生的活動,不失時機地對學生的表現給予評價。引導參與討論的學生清楚地表達,有序地交流，將學生的注意力集中在所要研究的問題上。在教師很好地履行了職責的基礎上, 整節課順暢進行，題目成功解決,錯誤徹底糾正,因此，下課時筆者也對自己的表現很滿意.
四、感悟
中醫有「痛則不通，通則不痛」的說法，與之類比，酣暢淋漓地上一節課對於師生都是一種享受。快樂的課堂是流暢的課堂,快樂的課堂是清澈的課堂,快樂的課堂是如水一般的課堂,雖千轉百回終歸要匯入知識的海洋.以上是筆者由一道題目的課堂探究引發的思考,與各位同行交流,有不當之處，望不吝賜教.
參考文獻：
[1]劉紹學。普通高中課程標準實驗教科書·數學1(必修A版) [M],北京:人民教育出版社，2013。
[2]章建躍，陳向蘭.數學教育之取勢明道優術[J].數學通報,2014(10):7.
