物理和數學的共同演化

1912年，當時在蘇黎世的瑞士聯邦理工學院，33歲的理論物理學家阿爾伯特·愛因斯坦正在擴展他的狹義相對論理論。

他用狹義相對論描繪了時空維度之間的關係。七年後的現在，他試圖在他的理論中引入重力的影響。這項壯舉將取代艾薩克牛頓萬有引力定律並導致愛因斯坦廣義相對論的物理學革命，但是它還需要一些新的思想。

幸運的是，愛因斯坦的朋友兼合作者馬塞爾格羅斯曼像一個聖誕老人帶著令人的喜悅禮物——黎曼幾何。

這個數學框架是由德國數學家波恩哈德·黎曼在19世紀中葉開發的，它本身就是一場革命。它代表了數學思維的轉變，將數學形狀視為他們所居住的三維空間的子集，從內在思考其屬性。例如，球體可以被描述為三維空間中的一組點，其正好位於離中心點1個單位的位置。但它也可以被描述為在每個單點具有特定曲率特性的二維物體。這個替代定義對於理解球體本身並不是非常重要，但最終對於更複雜的流形或更高維度的空間非常有用。

在愛因斯坦的時代，這個理論還是新的，還沒有完全滲透到數學中，但恰恰是愛因斯坦所需要的。黎曼幾何給了他制定廣義相對論精確方程所需的基礎，才使得愛因斯坦和格羅斯曼能夠在當年晚些時候發表他們的作品。

哥倫比亞大學數學系理論物理學家彼得沃特說：「很難想像，如果沒有數學家的幫助，他會如何提出相對論。」

廣義相對論的故事可能會發生在數學家的頭上。這裡的數學似乎是一位仁慈的「贊助人」，在恰當的時間以恰到好處的方程式祝福物理學這個「愚蠢」的世界。

當然，數學和物理學之間的相互作用要比這複雜得多。對於大部分有記錄的歷史，甚至都沒有單獨的學科。古希臘、埃及和巴比倫的數學假設我們生活在一個以距離、時間和重力表現的世界中。

「牛頓是第一位物理學家，」布朗大學的物理學家西爾維斯特詹姆斯蓋茨說。「為了達到頂峰，他不得不發明一種被稱為微積分的新數學。」

微積分使一些經典幾何問題更容易解決，但牛頓最主要的目的是用微積分來幫助他分析在物理學中觀察到的運動和變化。在那個故事中，數學可能更像是一個管家，而不是一個救世主，它是被用來幫助保持秩序的。

即使是在物理學和數學開始分開的進化路徑之後，它們也是緊密相連的。「當你走得夠遠的時候，你真的不知道誰是物理學家，誰是數學家，」Woit說。

在兩個領域的歷史中，數學和物理學都為另一個領域提出了重要的想法。數學家Hermann Weyl關於李群的數學對象的工作為理解量子力學的對稱性提供了重要的基礎。他在1930年出版的《量子力學原理》一書中，理論物理學家狄拉克（Paul Dirac）介紹了狄拉克三角函數來幫助描述粒子物理學中一個點狀粒子的概念——任何事物都很小，以至於它將被理想化的情況下的一個點模擬。狄拉克三角函數的圖像看起來像一條水平線，沿著圖的x軸的底部，在x=0處，除了它與y軸相交的地方，在那裡它爆炸成一條直線指向無窮。狄拉克聲稱，這個函數的積分，即它下面的面積的測量，等於1。嚴格地說，沒有這樣的函數存在，但狄拉克使用狄拉克三角函數最終促使數學家Laurent Schwartz發展了分布理論數學嚴謹的方式。

儘管現代研究人員越來越關注他們的工作，物理學和數學之間的界限依然模糊。一位物理學家贏得了菲爾茲獎章，這是數學界最負盛名的獎項之一。數學家Maxim Kontsevich贏得了數學和物理學的新突破獎。人們可以參加有關量子場論、黑洞和弦理論的數學和物理系的研討會。自2011年以來，一年一度的弦數學會議將數學家和物理學家聚集在一起，研究弦理論和量子場理論的交叉領域。

弦理論可能是數學和物理學之間相互作用的最新例子，因為這最終將我們帶回到愛因斯坦和重力問題。

弦理論是一個理論框架，其中狄拉克描述的那些點狀粒子變成了稱為弦的一維物體。這些弦的理論模型的一部分對應於引力子，即承載重力的理論粒子。

大多數人會告訴你，我們認為宇宙具有三個空間維度和一個時間維度。但弦理論自然生活在10個維度。1984年，隨著弦理論研究的物理學家人數激增，包括後來被授予菲爾茲獎的物理學家Edward Witten在內的一批研究人員發現弦理論的額外六個維度需要成為被稱為一個Calabi-Yau流形。

當數學家加入戰爭並試圖找出這些流形可能具有的結構時，物理學家希望只有少數結果。然而，他們發現如此之多的Calabi-Yaus流形，數學家們還沒有完成對他們的分類工作，他們甚至還沒有確定他們的分類是否是有限的。

當數學家和物理學家研究這些空間時，他們發現了Calabi-Yau流形之間的一個有趣的二元性。看起來完全不同的兩個流形最終可能會描述相同的物理，這種被稱為鏡像對稱的想法在數學方面已經開花結果，從而形成了全新的研究途徑。弦理論的框架幾乎已經成為數學家的一個操場，產生了無數新的探索途徑。

加州大學伯克利分校的理論物理學家Mina Aganagic認為，弦理論和相關主題將繼續提供物理學和數學之間的這些聯繫。

「從某種意義上說，我們已經探索了很小一部分的弦理論以及其中很少的預測，」她說。數學家和他們對詳細的嚴格證明的關注給這個領域帶來了一個觀點，物理學家們傾向於把直覺理解放在優先位置。「這就是讓關係如此令人滿意的原因。」

物理學與數學的關係可以追溯到兩個學科的開始，隨著這些領域的進步，這種關係變得越來越糾結。一套精心設計的工具可以幫助物理學家，或者物理學的探索性問題可以激勵數學家創造全新的數學對象或理論。

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