丘成桐：哈佛數學系150年：從三流學繫到世界中心

原標題：丘成桐：哈佛數學系150年：從三流學繫到世界中心

作者：丘成桐

最近我與我的朋友Steve Nadis寫了一本關於哈佛大學數學系歷史的書，由哈佛大學出版社出版。

這個寫作計劃開始時，我還是哈佛數學系主任。我對於這個系偉大先驅者的人生頗感好奇。因為其中有些人藉著他個人的研究甚或透過他們的學生，改變了整個世界數學發展的路徑。

如果其他地方的人，能懂得欣賞這些數學家如何做研究，如何建立起這個優秀的學系，而且在這段過程里，還協助建立了哈佛大學的地位，我認為這會是很棒的事。更何況，這些偉大哈佛數學家的個人軼事，讀來也饒有興味。

我喜歡閱讀數學史，認為好數學家需要知道數學的重要概念如何演進。這些概念的演進充滿了生命力，就像從初生嬰兒慢慢長大成人的過程，這段路可能很戲劇化，而且充滿了興奮與刺激。一旦我們了解數學發展的根源，就更能理解當今數學的發展。我相信，哈佛數學系從一個三流學系成長為世界級領導中心的過程，提供了很值得參考的個案，或許可以協助許多想建立世界級數學系的大學做為借鑒。我非常感謝我的合著者Nadis，他做了十分廣泛的研究，並採訪了許多哈佛的教師與校友。

一、數學系的曙光：Peirce

我們的書是從1825年說起，當時16歲的Benjamin Peirce 剛進哈佛。當他1829年獲得哈佛學士學位時，並沒有機會在美國研究數學，因為當時的美國還沒有學校設置博士班。Peirce因為經濟因素無法前往歐洲深造，結果他 先在預科學校（preparatory school）教了兩年書，然後在 1831 年回到哈佛當導師（tutor）。此後一直到1880 年去世為止，他一直留在哈佛。

Peirce是第一位堅持數學家應該做原創性數學研究的美國數學家，也就是說，數學家應該要證明新定理，解決那些尚無人能解的問題。當時，不論在哈佛或美國其他高等教育機構，這樣的態度絕非主流。

Peirce在23歲時，出版了一項關於完美數（perfect number）的

證明，其中如果一個正整數的所有因數和（包括1在內）等於該數本身，就稱為完美數，例如6 和28。當時所有已知的完美數都是偶數，而Peirce證明了如果存在奇完美數，它必定至少有4個質因數。直到56年之後，英國數學家James Sylvester和法國數學家Cl. Servais才能夠證出相同的結果，但他們不曉得，Peirce早在半個世紀前就完成了這項證明。

然而，當時的哈佛校長Josiah Quincy卻催促Peirce去編寫教科書，Peirce質問哈佛校方，是否真要他從事「如此耗費時間，內容如此基本，對於渴望在科學達成更高成就的人完全沒有價值」的工作。當時做原創數學研究的概念實在太過奇特，在美國幾乎是前所未聞，而且也幾乎沒有人有資格去嘗試。

多年之後，Peirce才在哈佛校長Thomas Hill身上，找到志同道合的盟友。 Hill 說：「我們最好的教授整天被繁重的教學與備課責任所禁錮，以致於根本沒有時間與精力去進行個人研究，提升科學與知識。」

Peirce花了大量時間在天文學研究上，並在1839年哈佛學院天文台的建立過程中扮演關鍵的角色，他對「1843 年大彗星」以及當時新發現 的海王星 的計算 。 James Maxwell 和 Lord Kelvin都對Peirce的成就有高度評價 。 在 61 歲時 ， Peirce以線性結合代數（linear associative algebra）為主題，寫了一篇很長的論 文，被視為美國人第一個在純數學中的重要貢獻。

1848 年 ， Peirce 與他的傑出朋友們 ， 包括Alexander Bache·Louis Aggassiz與Joseph Henry， 一起建立了美國科學促進會(American Association for the Advanced of Sciences)。他們也協助擘建了美國國家科學院(National Academy of Sciences)， 其中Peirce正是最活躍的成員。當1880年Peirce去 世時，《哈佛磚紅報》表示「上周Peirce教授的過 世，意味著本校失去了最閃耀的科學明星，甚至 最卓越的教授。」基於他對數學系的貢獻，哈佛數學系仍稱呼新進教師為Peirce講師。

Peirce的時代， 正是哈佛大 學數學系由教學開始轉往研 究的時代。事實上，1869年就職的Charles Eliot校長─他 也是數學與化學教授─成立了哈佛的數學研究所，並由William Byerly在1873年成為 第一位數學博士。

二、轉變成研究導向的學系

哈佛數學系在Peirce過世之後， 經歷了一段「倒退期」，根據Julian Coolidge的說法：「....科學活動是一落千丈。」需要多年之 後才能破繭重生。不過到了二十 世紀之交，William Fogg Osgood

和Maxime B?cher已經將哈佛建立成分析學領域的熠熠新星，分析學是數學的一支，包括微積分在內。他們將數學研究轉變成數學系的核心任務，而不再是像Peirce這樣特立獨行之士的嗜好。

面對其他大學的強大競爭，哈佛數學系儼然成為當時美國最好的 數學系。

1876年，美國第一個研究型大學約翰霍普金斯大學正式 成立。一年後，他們聘請英國著名數學家Sylvester來領導一個以研究為導向的數學系。依照歐洲模式，約翰霍普 金斯大學堅持教師和學生的研究應儘可能在重要的期刊 上 發 表 。 事 實 上 ， Sylvester 與 William Story · Simon Newcomb·Charles Peirce等人出版了美國第一個重要的數學研究期刊American Journal of Mathematics，其目標在於出版原創數學研究。儘管1883年Sylvester離開約翰霍普金斯，前往牛津大學任教，但他關於訓練研究生與研究的想法被轉移到其他大學，如哈佛·普林斯頓·耶魯等。

當時最受矚目的是芝加哥大學數學系， 由Eliakim H. Moore擔任系主任。1885 年，Moore在耶魯獲得博士學位，併到德國訪問一年。Moore訓練出幾位重要的數學家：George D. Birkhoff· Leonard E. Dickson和Oswald Veblen。這些學生為哈佛·芝加哥·普林斯頓注 入深刻的影響。許多人相信Moore是「主要的驅動力，最後將美國從數學荒原轉變成數學領域的領導者」 （引 自Karen Parshall的專著）。約翰霍普金斯和芝加哥都強調，他們的教授不但做研究，並且也教育學生要做相同的事，這樣的態度導致美國數學界在二十世紀之交的明顯提升。

由於兩位年輕教授Osgood和B?cher的出現，哈佛數學系很快提高了它的國 際聲譽。在1903年前80位美國數學家的排名里， Osgoode和B?cher排在前 四 名 ， 另 兩 位 是 Moore 和 George William Hill（他曾與B. Peirce在麻州劍 橋的航海年鑒局（ Nautical Almanac Office ） 中 共 事 ） 。 有趣的是，當 Osgood和B?cher還是大學部學生時，都曾經到哥廷根去跟Felix Klein學習， 時間分別是兩年與三年。Klein對美國數學的發展有很深的影響。他的學生 Frank Nelson Cole就是Osgood和B?cher 的哈佛導師。（特別的是，Klein有六 位學生，包括Osgood和B?cher，都曾經擔任美國數學學會的主席）。

Osgood在德國埃爾朗根大學，由Max Noether指導得到博士學位，並且做了函數論方面的重要研究，其中包括證明Riemann映射定理。B?cher的論文則是跟Klein做的，他在那兒研究勢論（potential theory），後來並解明Fourier 級數中的Gibbs現象。B?cher培育了許多學生，並且在 1908年到1914年擔任Annals of Mathematics的主編。他同 時也是Transactions of the American Mathematical Society 的創刊人，並且在Moore之後，擔任該刊的第二任主編達五年。B?cher和Osgood留下了足以自豪的成就：他們

為美國數學界打下了分析領域的堅實基礎。經由他們的努力，哈佛數學系不僅是美國最好的數學系之一，即使 與歐洲最佳的數學系相比，也毫不遜色

三、Birkhoff的崛起

George David Birkhoff的大學部是在哈佛念的，在此期間 他深受B?cher的影響。接著他到芝加哥大學，在Moore 的指導下取得博士學位。哈佛在1910年時提供他教職，但他回絕了，選擇去普林斯頓。兩年後，他改變心意， 於1912年回到哈佛任教。

Birkhoff代表了下一代完全在美國受教育的學者。他的數學才能聞名全世界，證明了即使不去歐洲，也可以得到世界級的數學教育。 他和其他一些由美國大學栽培的優秀數學家， 都充分具備了將來能夠領導學術領域和數學系所的能力。美國本土的數學根基已在形成， 從而完成了Peirce生前未能實現的夢 想 。 Birkhoff以及他同時代的數學家，將會證明重要的定理，做出許多卓越的貢獻。

Birkhoff的重大成就多不勝數，首先是他關於有限制條件三體問題的著名研究 。 這是Henri Poincaré在 1912 年去世前想解決的問 題 ， 結果Birkhoff在Poincaré去世後三個月內解決了這個問題，不過， Birkhoff告訴他的學生Marshall Stone，做這個問題，讓他體重減輕了三十磅。這個證明成為將分析學的存在性證明連結到拓樸不動點定理的首例。

麻省理工學院的知名數學家Norbert Wiener，把 Birkhoff比喻為「出現在哈佛數學蒼穹上的璀燦明星。……更獨特的是，Birkhoff的研究全是在美國完成，並未受益於任何國外的訓練。」 Birkhoff標誌了美國數學成熟期的起點。他直到 1926年才造訪歐洲，當時距他開始在哈佛教書 已有14年。

附帶一提，Wiener在1913年從哈佛大學得到博士學位，正是Birkhoff回到哈佛的第二年。Wiener是一位年輕的天才，改變了機率和資訊論的面貌。 但他極不善於待人接物，無法和繫上每個人相處 融洽。他轉到麻省理工或許對數學界是最好的結 果，因為在那裡他能夠更自由的鑽研應用數學， 並且對工程科學的基礎做出巨大貢獻。

Birkhoff的眾多成就使得他成為20世紀 最偉大的數學家之一。他在廣義動力系統的工作為他贏得了首屆的 B?cher 獎。1927年，Birkhoff出版了經典著作《動力系統》(Dynamical Systems)。它把動力系統的架構遠遠擴展到星球軌 道的課題之外。該書包含了許多創見 不過並未包含他在這個主題上最重要 的 貢 獻 ： 遍 歷 性 定 理 （ ergodic theorem）。Wiener稱讚Birkhoff的遍歷 性定理是一項精心力作；「遍歷性假設的正確表述及其定理的證明，是美國數學界·乃至全球數學界，近來的 最 重 要 成 就 之 一 ， 這 兩 者 都 是 由Birkhoff完成的。」這個卓越的定理可 以上溯到Maxwell 和 Ludwig Boltzmann 試圖建構氣體動力論的努力。

Birkhoff是第一位數學家，把變分學的極大極小論證，用在與球面拓樸等價的曲面上，得出不無聊的簡單封閉測地線。 這可以視為是威力強大的Morse理論的起點。創造這個理論 的Marston Morse正是Birkhoff的學生。Birkhoff對廣義相對論 也有重要貢獻，他證明了一個（和黑洞有關的）定理，說愛 因斯坦方程只有一個球對稱的解。他還提供了解決四色問題 的重要工具，這個數學名題在60年後的1976年才由Kenneth Appel和Wolfgang Haken解出。

除了數學成就之外，Birkhoff還指導了46名博士生，迄今為止，出自他門下的數學家已超過7300名。他有四名學生日後成為美國數學會的主 席：Stone·Joseph Walsh·Charles Morrey和Morse。他的學生又再栽培出許多優秀數學家。例如，Walsh在取得博士學位後留在哈佛，帶出了 31名學生，其中包括Lynn Loomis和 Joseph Doob 。 Birkhoff 有三位門生——Morse·Hassler Whitney和Stone─獲得國家科學獎章。他的其他許多 學生都有卓越的數學貢獻，並且在 哈佛或是美國的其他系所成為領導人。

四、分析·代數與拓樸的相遇

Morse·Whitney和Mac Lane·Marston Morse是Birkhoff的博士生，他的論文題目是關於如何建立分析與拓樸的關 聯 ， 這是一個已由 Riemann · Poincaré 和 Birkhoff奠立的傳統。Morse特別感興趣的是函數達到極大值·極小值或某種平穩值 的（臨界）點。這屬於古典變分學的一部分，其歷史可以回溯至Euler，乃至Fermat。Birkhoff已用它來證明與球面同胚的閉曲面 上的封閉測地線的存在性定理。但Morse 更進一步把臨界點的存在性連結到該函數 定義空間的拓樸性質。他的方法在現代拓 樸學有深刻的用途，因此被稱為Morse理論。

在Morse及其追隨者Raoul Bott· Stephen Smale 等人手中 ， Morse理論成為研究微分拓樸 的基本工具。一些重要的方法， 像 Smale 發展出來的柄把空間分解 （ handle-body decomposition ） ， 是根據Morse 理論而來的。 Smale是Bott的 學生 。 四維以上的Poincaré猜想即是用Morse理論解決的。

Hassler Whitney也是Birkhoff的學生， 他發展了把流形浸入歐氏空間的理論。流形上的向量叢，即是由此研究衍生的課題。特別是，Whitney引入了向量叢 的 Stiefel-Whitney 類。這種示性類的想法， 又被Pontryagin 和陳省身進一步發展。

示性類和纖維叢的理論協助奠立了現代幾何和拓樸的礎石。它是規範場論的基礎，規範場論是用 於描述所有粒子基本作用力的理論。在發展示性類理論的過程中， Whitney也引入了上同調理論，這是現代拓樸和代數的基本觀念。（James W. Alexander獨立發明了上同調的觀念。）

我任職普林斯頓高等研究院時遇見Whitney，他那時顯得 相當孤單。他跟我說，他是我在柏克萊的老師Morrey的好友。Morrey也是Birkhoff的學生，他是偏微分方程現代非線性理論的創始人。Morrey的一項知名成果是1949年 時解決Plateau問題─他證明三維空間中的任何閉曲線，如果符合適當條件 ， 就會是某肥皂膜的邊 界 。 受到 Plateau問題的啟發，Morrey向Whitney請教：可以浸入平 面的閉曲線該如何分類？Whitney告訴我，他把Morrey的 問題當成挑戰。Whitney的方法又在Smale手中得到進一步發展。這個理論的最廣義形式現在被Mikhail Gromov稱 為h原理，據他所云，這理論具有廣泛的用途。

Saunders Mac Lane不是哈佛的畢業生，他是在哥廷根受 Hermann Weyl 指導的學生 。 當 William Caspar Graustein當哈佛系主任時，Mac Lane接受了Peirce講師的教職。他在哈佛待到 1947年，然後轉到芝加哥大學。他和Samuel Eilenberg合作，把拓樸和代數這兩門重要的數 學分支融合成一門兩者緊密結合的新學問；他 們一起發展出同調理論的公設化研究理路；建構了在同倫理論計算中非常重要的Eilenberg-MacLane空間。這些想法也引發了代數和群論的重大發展。

五、 複分析與幾何

芬蘭人Lars Ahlfors 1907年出生於赫爾辛基，他是第一個在哈佛數學系獲得終身教職的歐洲數學家。當加入哈佛時，他已經是第一流的國際 明 星 。 他在1936年 ， 與麻省理工的 Jesse Douglas共同獲得第一屆的費爾茲獎。Ahlfors後來還獲得沃爾夫獎

1935年時 ， 在 Constantin Caratheodory 的大力推薦 之下，Graustein提供給他 為期三年的客座講師職。他最後在1946 年加入數 學 系 ， 1977年退休 。Ahlfors是繼19世紀德國數學家Riemann之後，又一個複分析領域（特別是從 幾何角度來探討）的偉大開拓者。

Ahlfors是芬蘭大數學家Rolf Nevanlinna的弟子，後者帶他認識了Denjoy猜想，這是一個關於複平面上全純函數漸近行為的著名猜想。Ahlfors在1930年解決這個問題。約略同時，瑞典數學家Arne Beurling在巴拿馬獵鱷魚時，也獨立 提出他的證明。（Beurling在1948至1949年任教於哈佛， 然後去了普林斯頓的高等研究院。）Ahlfors還曾提到：「我不知道德國數學家Gr?tzsch已經發表了數篇和我想法 類似的論文。」Beurling成為他畢生的摯友和競爭者，而 Ahlfors 也把 Herbert Gr?tzsch 的 一些想法運用到準保角（quasi-conformal）映射的研究上。

Ahlfors創立並且觸及複分析的每一面向，大部分是從幾何的角 度。他在證明Denjoy猜想時，已經研究了保角映射中長度和面 積的扭曲。他廣泛的發展這些幾何想法，然後將成果總結成一 篇 名 為 〈 覆蓋空間的主定理 〉 （ Zur Theorie der überlagerungsfl?chen ）的論文 ， 於1935年發表在Acta Mathematica。這篇論文為他在次年贏得費爾茲獎。關於這面獎牌有個逸聞：1944年，當Ahlfors需要籌集從瑞典到瑞士的旅費，他把獎牌送進了當鋪（後來經由幾位瑞典友人的協助，獎 牌被贖了回來）。在1939至1940年芬蘭冬季戰爭期間，他花了 大量時間躲在防空掩體里， 撰寫一篇名為〈 半純曲線論〉（The Theory of Meromorphic Curves）的專題論文，該文以非常幾何的方式，把Nevanlinna的理論推廣到多維空間中的復曲線。

我的老師陳省身，在Ahlfors這篇論文發表四十年後，曾予以透澈研究。事實上，Ahlfors 透過Riemann面的幾何，給出了Schwarz引理的完美詮釋。它展示出負曲率如何有助於控制全純映射的行為。Ahlfors的這項原理激發了近五十年來高維複分析的發展。Ahlfors在極值長度（extremal length）·準保角映射·Riemann面模空間·Klein群等主題的研究，開啟了現代複分析的新地平線。

六、大戰餘波：Gleason·Mackey以及Hilbert空間

二次大戰時，由於教師參軍或自願投入研發支 援同盟國，哈佛數學系大幅縮減。例如Stone 擔任美國數學學會的戰爭政策委員會主席； Walsh應召入伍進入海軍；Coolidge在七十歲的高齡還從退休重返教職，替正在保衛國家的教授同僚教微積分。

Mac Lane則領導以哥倫比亞大學為本營的應用數學群，專門研究戰爭相關的問題。成員包括哈佛的拓樸學家Whitney；擔任Peirce 講師的Irving Kaplansky，他原來 是Mac Lane的博士生；另外還有哈佛講師George Mackey，他是Stone以前的學生。

Garrett Birkhoff（G. D. Birkhoff的兒子和Loomis以及麻省理工學院的Norman Levinson合作，預測 空中發射魚雷的水底軌跡。他也和Morse與John von Neumann加入一個委員會，分析如何促進防空炮彈的效用，以及穿射坦克裝甲的問題。戰後， Garrett Birkhoff開始探索混合純數與應數的數學問題。G. D. Birkhoff則為哈佛的Howard Aiken尋找資金，建造當時世界上最大·威力最強的計算器─哈佛馬克1號，用來做射擊彈道的計算，後來 也為曼哈頓計畫作計算。

Stanislaw Ulam在1936至1940年成為哈佛學會（Harvard Society of Fellows）的年輕學者與數學系講師。他後來加入曼哈頓計畫負責繁複的數值計算，幫助設計出第一顆原子彈。Ulam後來發明蒙地卡羅法，以統計方法來解決數學問題。他也是發展氫彈的關鍵人物。物理學家 Edward Teller 曾經這樣評價Ulam：在真正危急的時候，數學家仍然勝出，只要他真的很好的話。

Andrew Gleason是耶魯的大學生， 1942年畢業之後旋即加入位於華 盛頓特區的海軍密碼分析小組。 他曾協助破解日軍的密碼，偉大的計算機科學家Turing盛讚他的研究聰穎。 1946 年Gleason離開海軍，先成為哈佛學院的年輕教師，後來成為數學系的教授直到退休。一直到1990年為止，他一 直都是政府情報體系的顧問。他引入了許多分析密碼的重要數學 技術，結合了他的編碼理論研究與龐大的純數學課題研究。

Gleason非常著迷於Ramsey理論，這是一門和數算東西·尋找秩序有關的理論，可以從似乎無 秩序的結構中找出有組織的子結構。 他和Robert Greenwood 算出R(4, 4)等於18，也就是說你必須找到18個人，才能確保其中至少有4個人完全不認識對 方，或是彼此都認識。

不過Gleason最知名的工作是Hilbert第五問題。 這個問題屬於1900年Hilbert在巴黎世界數學家大 會所提出的23個問題。第五問題是局部歐氏群 是否必然是李群。許多偉大的拓樸學家都曾經試 圖解決這個問題但卻都失敗。Gleason為這個問 題做出最關鍵的貢獻，最後才由高等研究院的 Deane Montgomery與紐約城市大學皇后學院的 Leo Zippin聯合解決。

Gleason並沒有博士學位， 他自認 Mackey是他的恩師。Mackey是現代 群表現論的鑄造者，他也在量子物 理基礎上有重要貢獻。Mackey對他 的指導教授Stone與von Neumann所 構築的理論很感興趣，這項理論試圖解釋Heisenberg的測不準原理，也就是一個粒子的位置測量精確度與其動量測量精確度成反比 。 Mackey 可以將 Stone-von Neumann 的理論擺置在一個廣義的數學脈絡 中。Andre Weil隨後注意到Mackey 理論中的特例，和數論中的一些深 刻理論很有關係。

Mackey對於Max Born法則很感興趣，亦即在某時某地找到一 物的機率密度等於其波函數絕 對值的平方。Von Neumann與 Mackey想要從第一原理出發， 說明以單位向量表示狀態是數 學上可證明的 。 由 於 Von Neumann用的一些公設約束性太大，Mackey想要移除它們。 Mackay重新將這個問題用精準 的數學形式來呈現，寫成一個 猜想。Gleason被這個猜想所激 勵，投入研究最後證明它。

Mackey的表現論著重於酉表現（ unitary representation），他以導出表現（induced representation） 為基礎， 發展了所謂的「Mackey 機器」。這個理論在包括量子 物理與數論的幾項主題的發展上有很深刻的影響。

七、歐洲人：Zariski·Brauer與Bott

二次大戰之後，有好幾位一流歐洲數學家加入 哈佛數學系的陣容。除了 Ahlfors(1946)之外， 還有Oscar Zariski (1947)·Richard Brauer (1952) 和Raoul Bott (1959)。每一位都對這個系以及他們的專長領域造成巨大的影響，這些領域主要 分別是代數幾何·群論和拓樸。

雖然Zariski是第一位在哈佛數學系拿到終身教職的猶太人，他在數學上的宏大衝擊和宗教信仰並無關係（事實上他自認是無神論者）。Zariski和Weil重新整頓了代數幾何，將它置於比從前更堅實·也更代數的基礎 之上，他們形塑了代數幾何領域的日後發 展，為未來幾十年的進步奠下基石。

1899年Zariski出生於俄羅斯的科布林，1918年就讀於基輔大學。他在當時的俄國革命中受傷，離開俄羅斯到羅馬薩皮恩札大學讀書，當時這裡是研究代數幾何的世界中心，教師陣容中有三位偉大的代數幾何家：Guido Castelnuovo·Federigo Enriques與Francesco Severi。他們就是（義大利）古典代數幾何的象徵與本尊。代數幾何是一個以各種方式結合代數與幾何的領域，運用代數技巧來解決幾何問題。

Zariski在羅馬待了三年，並深深受到義大利幾何學家的影響。不過Castelnuovo卻告訴他：「你雖然在這兒和我們一起，卻不是我們的一 員。」Castelnuovo此言並非斥責，而是一種敦厚的善意，因為Castelnuovo曾告訴Zariski，義大利學派的方法已經窮竭所有可能，走到盡頭，不適合再往前發展。後來Zariski發現發現義大利學派的代數幾何「基礎搖晃不安。」他需要修正Severi的證明，但Severi卻說：「我們貴族 是不 做證明 的 ， 證明是你們庶民的事 。 」

Zariski將代數幾何基礎的重建視為己任，並在抵達美國之後才完成。

Castelnuovo和Severi鼓勵Zariski去研究Solomon Lefschetz新穎的拓樸研究，他接受這項建議，並透過Lefschetz協助找到工作，1927年成為約翰霍普金 斯的研究員，一年之後就升任副教授 Zariski在約翰霍普金斯任職大約20年後，成為哈佛的一員。

在這段期間，Zariski決定從嶄新的角度探索代數幾何，1935年，他出版《代數曲面》，在二維曲面上實踐他的新觀點。事實 上，Zariski重建了代數幾何的基礎，而他所使用的語言是現代的交換代數 ， 這 是 他1934至1935年在普林斯頓高等研究院，從Emmy Noether那裡學到的。

在1937年，Zariski曾說：「我的研究特性經歷了劇烈的改變，不論是使用的方法或是問題 的敘述方式，其特徵都益發代數取向。」 但 是他也補充說：「純粹形式的代數或形式數學並非我天生的性向，我和真實的生活也有 非常多的接觸，那就是幾何學，幾何才是真實的生活。」

關於這個新的代數取徑 ，Zariski 的博士廣中平佑（Heisuke Hironaka）說，一旦證明是以代數為基礎，嚴格性 就是自然的結果，這也幫忙數學家處理那些無法眼見的高維度形體 。 這個想法對 Weil 和 Zariski發 展以任意體為基之幾何也極為重要，也就是說他們 所處理的代數空間並不只限於實數或複數坐標。其中最奇特的是有限代數解形（variety），事後證明這對現代數論非常重要。

1940年，在Birkhoff的強力推薦下，哈佛準備提供Zariski終身教職，填補剛退 休的Coolidge與1941年初Graustein過世所留下的空缺。於是，該年Zariski到哈 佛訪問一年。不幸的是，由於日本轟 炸珍珠港， 大學當局凍結了教職 ， Zariski只能回約翰霍普金斯大學擔任教學吃重的職務。 不過在這段期間， Zariski證明了他知名的「主定理」以及連通性定理。 根據他的博士生David Mumford所言，他運用代數中的基進概念，並萃取了幾何的內涵。這正是Zariski長久努力為代數幾何奠基研究的 一環。整體而言，Zariski成功撐起代數幾何基礎的成就，也許比他證明的任 一個別定理都還更重要。

Zariski在1947年終於成為哈佛教席的一員，他讓哈佛在接續而來的三十年中，成為代數幾何 的世界中心，就像幾十年前的羅馬大學一樣。 Zariski將頂尖的學者帶進哈佛，他推動關鍵的教席任命，邀請明星級的訪問學者如Jean Pierre Serre與Alexander Grothendieck，並且以他研究的高度與個人魅力，吸引了一批優秀的研究生。

Zariski在四十年代的重要數學成就，是關於代數曲線與代數曲面 奇點的解消（ resolution ）， 這導致數十年後，1964年廣中平佑所有維度奇點解消的偉大定理， 他另一位學 生 Shreeram Abhyankar 在1956年解決了有限體代數流形（不超過二維）的解消問題，約十年後，Abhyankar 又解決了三維的情況。

除了廣中平佑與Abhayankar之外，Zariski所訓練的傑出學生還有Mumford與Michael Artin， Zariski學生的整體成就改變了整個代數幾何的主題。今天關於代數幾何最核心的部分，大多得歸功於這一群數學家。

Richard Brauer在他職業生涯的中期來到哈佛，當時他的整體成就已經令人印象深刻，但是此後他還有更多的成 果。他是Issai Schur在柏林大學的學生， 博士論文的主題是群表現。1933年， 他離開德國，在高等研究院待了一段時間 ， 1934至1935年成為大數學家Weyl的助理，隨後在經歷多倫多大學 與密西根大學的教職後，加入哈佛的教席。在多倫多時，Brauer投入有限群及其群表現的研究，在這個主題里， 他獲得許多優異的成就，並結合成一 個宏大的理論：有限單群的分類，這是所有有限群的基礎。他在1955年的論文〈偶數階的群〉中提出一個分類單群的策略，後來被稱為「Brauer綱領」。

Walter Feit說是Brauer踏出關鍵的第一步，才讓他們有可能證明出知名的Feit-Thompson定理：「所有奇數階有限群都是可解的。」John G. Thompson因為這個定理獲得費爾茲獎。

1972年，Zariski的另一個學生Daniel Gorenstein提出一個16步驟的綱領，試圖證明所有有限單群若不隸屬於18族群，就只屬於例外的26種「異散群」（sporadic groups）。這個綱領的最後一塊拼圖， 是一篇長達1200頁的論文，作者是加州理工學院 的Michael Aschbacher與伊利諾大學芝加哥校區的 Stephen Smith。

1923年，Raoul Bott生於布達佩斯，他畢業於加拿大麥基爾大學，並在Richard J. Duffin的 指導下，在卡內基美崙大學就讀應用數學研 究所。他和Duffin解決了電路網理論中一個 十分有挑戰性的問題，Weyl十分欣賞這項研究，邀請Bott到普林斯頓高等研究院訪問。在那裡Bott結識了Morse，學習Morse的臨界點理論，並將它推廣到臨界點非孤立的情況。

運用這個推廣的Morse理論，Bott進行了計算李群同倫群的卓越研究，還發現人意外的現象：他發現當n很大 時，SO(n)的同倫群竟然出現周期8的現象。而SU(n)的同倫群則出現周期2。 根據Michael Atiyah的說法，Bott這篇1957年的論文是一枚「炸彈」，現在這項定理稱為「Bott周期性定理」。 這個發現影響極大，開始了拓樸與幾何一波接一波的發展，尤其是K理論的進展，這是關於向量叢的研究，肇 始於 Grothendieck · Serre · Atiyah 與 Friedrich Hirzebruch。這是Bott在他還 是密西根大學教授時所完成的工作。

在John Tate的大力推薦下，Bott於1959年來到哈佛就職，系主任Zariski說：「Bott 正是讓他感覺無聊沉悶的系可以再度鮮活起來的最佳人選。」Bott在哈佛一直待到他退休為止。

Bott其他極具影響力的工作包括了1964年的Atiyah-Bott固定點公式，以及他與Atiyah合作的等變上同調理論 （ equivariant cohomology）。

Bott對數學社群與數學系的影響遠超出他所發表的論文。他訓練出好幾位傑出的數學家， 包括在密西根時期的Smale，哈佛時的Daniel Quillen與Robert McPherson。

僱用Ahlfors·Zariski·Brauer·Bott以及隨之而來的其他數學家，哈佛向大洋另一邊的數 學家打開大門，更豐富了數學系·數學領域· 甚至數學文化的發展。

Bott說過他感謝「這個國家，以崇高的心靈與慷慨的胸懷接受這麽多來自不同海岸的人， 不介意我們的口音與其他差異，讓我們能適才適性，竭盡所能。」

八、結論

今天的哈佛數學系和往日一樣優秀，承續著開系先賢的傳統。在2009年的一次晚宴中，Tate宣稱現在是本系的全盛時期。這句話也許略嫌誇張，但是我必須承認，這個系繼承了讓它在過去150年如此偉大的恢弘傳統。

哈佛數學系規模仍然很小，只有18位資深教席。我們依然相信品質是聘任終身教職時最重要的標準，也繼續開放給所有族裔與國籍的傑出數學家，只要他們願意奉獻於研究， 並且為哈佛大學訓練出最好的學生。

Birkhoff於1912年來到哈佛，從那時開始，在世界上最優秀的心智領導之下，數學系已經發展了100年的高階研究。

回顧這段歷史，再比較其他國家還在奮力發 展一流數學研究的大學，我們有下列結論：

1. 20世紀之交正是美國發展高層科學研究的恰當時機，主要的大學如約翰霍普金斯·耶魯·芝加哥·哈佛都戮力於爭取歐洲最好的學者（例如Sylvester），並盡全力培育最好的學生（如Birkhoff·Whitney·Morse…）。這些 努力也受到大學校長（如Eliot）與院長（如 Graustein）的強力支持。他們都有極力成為 世界上最好大學的遠大願景。

2. 在十九世紀下半， 美國的經濟狀況大有改善， 其盛勢持續至今。 私人捐贈者捐獻大量的金錢給大學，例如John D. Rockfeller捐給耶魯與芝加哥 ， Leland Stanford則捐贈他所有的錢財建立了史丹福大學。 他們對高等教育的無私態度， 舉世無匹。 而且這樣的奉獻態度依然保持到今天。

3. 基於大學所提供的良好環境，以及優秀大學彼此之間的良性競爭（相較於某些新發展國家大學的檯面下競爭）， 教授與學生於是能奉獻精力於原創性的研究。

我們也能體認到當時研究者研究數學時的強大自信。例如Birkhoff在無人指導的情況下，竟然敢孤身嘗試解決Poincaré留下來的有限制條件三體問題，顯示了當時數學領導者的自信。

Birkhoff不覺得他有需要前往德國跟隨大師學習，自己就開展了許多新穎的領域，也栽培了具有同等創造力的學生。他之所以能完成這份艱難的工作，部分得歸功於哈佛能夠匯聚一批資賦優異的學生，這些哈佛大學部與研究所學生的總體貢獻讓哈佛成為名校，他們跟隨大師學習，開闢自己的領域與研究子題。

4. 這些領導人心胸開闊，願意嘗試新穎的研究方向。從Birkhoff時期一直到今天，哈佛的 教師與學生在變換新研究方向時從來不畏縮。 因此開拓了很多新領域：現代拓樸學·動力系統·遍歷論·資訊論·非線性偏微分方程·幾何觀點的復變分析·基於代數的代數幾何基礎·群論·數論等等，幾乎包括所有對數 學具有根本重要性的領域。

5. 數學系的氣氛非常友善，因此許多絕對一流的訪問學者都能與我們的教授和學生進行交流。在這樣的環境中，新理論逐一誕 生，並進而刺激年輕學生繼續向前探索。

6. 儘管資深教師的人數很少，但他們都投入大量努力去教導學生。教師和學生愉快的 一起工作，他們以哈佛為榮，願意維護哈佛的崇高名聲。

7. 美國是最大的移民國家，十八世紀前開發東部和南部，獨立戰爭更要聯合法國對付英國在海上的威脅，十九世紀時向西部殖民，充滿冒險開創的作風，影響及於學術。 同時多民族的社會鼔勵良性的學術競爭，開國至今，社會大致上兼容並蓄，這在其 他國家並不多見。

讓哈佛如此偉大的也許還有其他原因，但我相信以上是最關鍵的因素。

這是一套全家人都可以看的書

《第一推動叢書》

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