如何用圖示來優雅地解釋複數的意義？

知識 05-16

複數

有意義嗎？

複數不僅有意義，而且可以用圖示來優雅地解釋。

1、實函數與數軸變換

大家都認識，對於這樣的初等函數，我們從小就學會使用直角坐標系來刻畫它們：

它們的特點都大同小異：把實數軸對應到實數軸。然而，既然是一維函數，用二維圖像來描述未免太過奢侈。如果我們把數軸塗上不同顏色，再把一條新數軸上對應的函數值塗上相應顏色，就可以清晰地用數軸-數軸對應來展示函數這一關係：

可以發現每個函數的作用無非是在有些地方把數軸往中間壓了壓，在有些地方又把數軸往兩邊扯了扯（觀察圖中小棒棒之間的間距是變窄還是變寬）：

e^x 越往左越擠壓數軸，越往右越拉伸數軸

x2 離0越遠，對數軸的拉伸越厲害（在圖上左半邊圖像和右半邊圖像重疊在了一起）。如果有一個小球在實數軸上向右滑行，那麼它的像則先向左滑行到0，然後再向右滑行。

x3 離0越遠，對數軸的拉伸比樓上更厲害，但是不同的是，向右滑行的小球的像也一直向右滑行。

是擠壓還是拉伸，就看函數在那一點的導數的絕對值是小於1還是大於1。因此導數大小的意義就是局部小區間在變換下的伸縮倍數。導數正負符號的意義是小區間是否反向，比如第二個函數x2在x小於0時導數也小於零，那麼指向右方的數軸負數部分經過變換指向了左方。

2. 複數與平面變換

既然可以用上面的數軸-數軸對應來描述一維函數，那麼類似地，就可以用平面-平面對應來描述二維函數。我們用一個複數表示平面上的點，用字母i區分縱坐標，就可以來研究複數函數的性質，其中。假設我們已經默認了複數的運算：

加法：

乘法：

極坐標分解：，其中 r是複數代表的平面向量到原點的距離，θ是和橫軸正方向的夾角。

拿出一個塗色的平面網格（從左上開始逆時針依次塗成紅黃藍綠色），把每個網點的像算出來，按順序連起來，就可以來研究複函數了。

2.1. 複數的加法：

從圖中可知，加法就是平面的平移，平移量恰好是那個複數對應的平面向量。

2.2 複數的乘法：

根據上面的運演算法則很容易得到函數的二維對應關係是，畫在圖上就是：

仔細看可以發現，各點乘以 i 的效果是平面逆時針旋轉了90度，也就是π/2弧度。

各點乘以的後果是平面逆時針旋轉 θ 弧度，這裡是30度。

乘以一個一般的複數，就是把整個平面按它對應的角度旋轉θ弧度，再均勻放大r倍。

因此，複數的加法就是自變數對應的平面整體平移，複數的乘法就是平面整體旋轉和伸縮，旋轉量和放大縮小量恰好是這個複數對應向量的夾角和長度。二維平移和縮放是一維左右平移伸縮的擴展，旋轉是一個至少要二維才能明顯的特徵，限制在一維上，只剩下旋轉0度或者旋轉180度，對應於一維導數正負值（小線段是否反向）。

3. 複變函數與伸縮旋轉

如果在每一個點處的旋轉、放縮和平移量都不同（導數不同），就可以得到比較複雜的複數函數，舉個例子：

3.1.

，從上一小節的知識可知，的作用就是把平面上每個點按自己對應的坐標放大倍、旋轉y弧度。我們立即可以猜測這個函數在x較大的地方放大的倍數更多，因為放大率更大；在x軸上只伸縮不旋轉，因為沒有旋轉分量；在y軸上只旋轉不伸縮，因為沒有放縮分量：

請看左圖中的橫向中軸，它在右圖中的像也是橫向中軸，只不過左邊壓縮，右邊擴展，這正是我們一開始就提到的一維指數函數。而這個圖，恰好就是一開始那個數軸-數軸對應朝兩邊擴展形成平面-平面對應的結果。

再請看左圖中的豎直中軸，它在右圖發生了彎曲，貼在了單位圓周上，因此變成了一系列純旋轉的複數乘子。這一點在一維中可完全沒有類似物，請謹慎類比。

其他點介於純粹旋轉和純縮放之間。最後，請你回過頭再仔細看看這幅圖，你會發現這幾段話也適用於圖中的每個小正方形。小正方形變換前後的旋轉和伸縮比例對應於函數的導數，本例中函數的導數就是原函數自己。

3.2.

加10就是整體向右平移10個單位，可以最後再看。

咱們來看，令，可以得到：，這說明單位圓以內(r1)函數拉伸，離原點越遠拉伸越厲害，正方形網格應該越來越大。

原正方形的四個彩色頂點的角度是135、225、315和45度，分別乘以3再取餘360到[0,360]度之間變成45、315、225、135。因此正方形的像從左上逆時針看顏色從紅黃藍綠變成了綠藍黃紅。

圖像也和上面的分析完全吻合：

舉上面兩個例子是想向大家展示伸縮和旋轉是優雅地解釋複數的有力工具。

4. 複變函數和小正方形

接著我們隨便看幾個複數函數對應的平面變換圖像：

漂亮吧，但是且慢！為什麼第二個函數圖像比較丑？因為二維函數很複雜，有一小類二維函數的變數之間具有一定關係，導致的結果是雖然整體變換多姿多彩，但是如果只觀察局部，這些函數一定把足夠小的小正方形變成小正方形，不會壓扁它或拆散它，只不過平面不同地方小正方形放縮和旋轉程度不同。第二個函數就不屬於這種特殊的函數類。

這種性質很好，圖像很美的函數稱為解析函數，它的變數之間的聯繫稱為柯西黎曼方程，局部小正方形的放縮和旋轉幅度恰好等於這個複函數在那一點的導數值（和第一段一維函數的原理極其類似，在那裡一維導數用來刻畫伸縮和左右方向）。簡單的一維函數，可以唯一地向兩邊擴展成為對應的復解析函數。

如果把初始的正方形網格用極坐標進行參數化，解析函數仍然把小正方形變換為小正方形，與上圖對應的圖像為：