如何快速拯救一個溺水者
救生員的抉擇
假設你是一名救生員，正在巡邏，突然看到有人溺水，作為一名合格的救生員，你想要以最快的速度將溺水的人救上來，那麼你該如何選擇一條最快速的路徑？這裡所討論的路徑只考慮純物理，不考慮潮汐、海浪以及救生員的經驗水平等因素。
現在有三條路徑可供選擇，假設無論選擇那條路徑，你的速度都是一樣的。路徑A為你和溺水者之間的連線，路徑B為你先跑到溺水者與沙灘垂直的焦點，再游過去，路徑C介於二者之間。
我猜你的第一反應應該是兩點之間線段最短，沿著你倆的連線徑直跑過去會是最快的，從而選擇路徑A。但別忘了，沙灘上的奔跑速度和海里的游泳速度可不相同，游泳的速度會比奔跑速度慢。而且，這條路徑的游泳路程是最長的，所以在水裡會花更多的時間。那麼路徑B呢？路徑B中，因為溺水者與沙灘的連線垂直於沙灘，是從他到沙灘的最短距離，所以游泳的路程最短，但是這條路徑在沙灘上的這段距離是三者中最長的，所以會在沙灘上花更多的時間。路徑C才是最佳選擇。正如美國理論物理學家理查德·費曼所說：「最短的路徑水路太長，水路最短的路徑陸路太長，綜合二者考慮，耗時最短的路徑應該介於兩者之間。」所以當三條路徑擺在你面前，你應該選擇路徑C。
光的折射
看著路徑C，你是否想起了光的折射？拿一支激光筆照進水中，可以看到光發生了折射。光在空氣中時，傳播速度極快，當它進入水中，不斷地撞擊水分子，速度會降低並發生折射。實際上，有一個定律叫做斯涅爾定律，當光從一種物質射入另一種物質時，其折射的角度與物質的折射率有關。根據這個定律，只要知道了物質的折射率，是可以算出光的折射角的。但是，你知道了確切的折射角，卻不知道為什麼光會選擇這樣的路徑。
那麼光為什麼會以這樣的路徑傳播呢？1662年，法國科學家皮埃爾·費馬對此作出了解釋：當光從一個地方傳播到另一個地方時，總會走用時最短的路徑。這就是最初的費馬原理。他猜想，光會自主選擇，選擇出最快的路徑傳播出去。這看起來有點奇怪，光難道有自主意識？後來，在量子力學發展後，人們發現，並不是光有意識，而是所有的路徑光子都會走，只不過發生了干涉，綜合的結果就是光走了用時最短的那條路徑。
人類經過長期的經驗積累以及實驗之後發現的這一原理，而動物們似乎天生就知道。
動物也懂最優化
美國一位數學教授蒂姆·彭寧斯養了一條柯基犬，名為艾維斯。教授喜歡帶著艾維斯到密歇根湖畔嬉戲。艾維斯最喜歡的玩具是網球，每當教授將球扔遠，艾維斯都會快速跑過去將球撿回來。
這天在湖邊，教授將網球扔到湖中，讓艾維斯去撿球。奇怪的是，艾維斯並不是直接跳入水中，沿直線將球撿回，而是沿著岸邊跑了一段距離再跳入水中。蒂姆教授很疑惑，為什麼艾維斯會這麼做？它的選擇是不是最快的路徑？他決定做實驗試試。
他花了一天和艾維斯做著同樣的遊戲，做上記號，測量了網球到岸邊的垂直距離（X）以及艾維斯跳入水中的位置到垂直點的距離（Y）。他收集了35組數據，並根據這些數據繪製出了圖像。
從圖像上可以看出，艾維斯所選擇的路徑都在最優路徑附近。但是最優路徑沒有考慮到水流，並假設海岸是直線、艾維斯恆速跑步、恆速游泳而不感到疲倦，所以實際上，艾維斯的路徑可能才是最優的。
艾維斯並不是唯一一隻懂得選擇最優路徑的狗，法國的兩位數學家和一條拉布拉多犬，重複了這個實驗，結果證明艾維斯並不是特例。
難道數學家的狗格外聰明？但是，會做這種選擇的可不止有狗。螞蟻也會同樣的方法。
螞蟻通過留下信息素給夥伴「導航」，如果有螞蟻找到食物，漸漸地，越來越多的螞蟻聚集，會形成一條從食物到巢穴的軌跡。如果螞蟻需要從一個較光滑的平面到一個較粗糙的平面搬運食物，它們會怎麼選擇呢？是選擇距離最短的路徑還是最快的路徑。
為了找到答案，研究者們將玻璃和一塊粗糙的綠色表面組合在一起，將食物放在粗糙的表面里，將螞蟻的巢穴放在玻璃的一側，等待螞蟻搬運軌跡的成形。結果發現，軌跡並不是一條直線，而是類似於光入水的折線，就像狗狗，在距離與時間的抉擇之間，它們選擇了耗時最短的路徑。
動物是如何做到時間最優的呢？科學家認為，不需要對此驚訝，因為進化是最好的優化器，經過進化的洗禮，大自然會選擇最高效的策略保留下來。而人類，顯然沒有享受到這樣的饋贈，但我們可以通過計算，得到最佳救人路線。一般人在陸上奔跑的速度是水中游泳速度的六倍左右，這樣根據各自的位置，就可求出最佳救人路線，這在初中數學中就學過。只不過在救人性命的關鍵時刻，這種計算方法雖然準確，但比較啰嗦。還不如憑經驗和直覺，直接找一個自己認為最佳的路線還來得快。
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