當豎式謎遇見數論

薈思

豎式謎有一些常規的分析方法和思路，可以幫助我們求解大部分豎式謎問題。有些難度大的豎式謎，其難度體現在求解過程更繁瑣，更考驗解題者對相關知識的運用熟練程度，但在方法和思路上並沒有跳出原來的圈子。相對而言，能夠體現新的方法和思路的豎式謎有更獨特的價值。

雖然因為特殊原因，今年的「希望杯」未能如期舉行，但因為是臨考前才取消，所以試題都已經準備好了。今年四年級的第一試題目中，第20題是一道乘法豎式謎。這是一個挺特別的豎式謎。

之所以說它特別，是因為用基本的豎式謎解法很難把它解出來。先來看看題目。

解豎式謎的第一步，是把能根據簡單關係直接填出來的數字先填上。多知道一個數字，就多一條分析線索。在這個豎式謎中，只有一個數字3能夠很容易確定下來。

求解豎式謎的關鍵步驟是尋找突破口。通常第一個突破口找到以後，就能順勢找到更多的突破口。這個豎式謎的一個難點是兩個乘數完全未知，沒有提供任何一個位上的數字。包含最多信息的是最後的乘積「2018*」，只有個位數字空缺。但它除了幫助我們找到了一個數字3以外，似乎暫時也無法提供更多的信息了。除此以外，還包含已知信息的就是兩個部分乘積「33**」和「16**」。這就是我們可以利用的突破口。

找到這個突破口需要利用乘法豎式的規則：兩個部分乘積分別是第一個乘數和第二個乘數的個位和十位數字的乘積。換句話說，它們都是第一個乘數的倍數。不過，如果直接利用這個性質，需要嘗試的可能性還是非常多。這裡的巧妙之處是，根據這兩個四位數的千位和百位數字，「33**」很可能是「16**」的2倍。當然，兩個部分乘積不一定有倍數關係，但假如「33**」不恰好是「16**」的2倍，它也一定非常接近「16**」的2倍。再結合剛才提到的乘法豎式規則，不難發現兩者只能是恰好2倍的關係。

現在，我們得到了一個非常有用的信息——第二個乘數的個位數字是十位數字的2倍。由此可直接推出第二個乘數只能是以下幾個數之一：12,24,36,48。如果不怕麻煩，接下來就可以逐一枚舉，使用常規的豎式謎推理完成求解。

然而這個結論實際上包含了更豐富的信息。因為我們可以確定第二個乘數一定是6的倍數，所以最後的乘積「2018*」也一定是6的倍數。根據3的倍數的性質，個位數字只能是1,4,7中的一個，再根據偶數的性質，個位數字就只能選擇4了。於是，最後的乘積完全確定下來，就是20184。

既然知道了乘積和其中一個乘數，另一個乘數就可以用除法算出來。首先，20184÷12=1682。其次，因為1682既不是3的倍數，也不是4的倍數，所以可以推斷20184肯定不能被36和48整除。同時，因為1682是四位數，不符合豎式謎的條件，所以第二個乘數只能是24，而第一個乘數則是1682÷2=841。

我們通常接觸的豎式謎題目，求解過程用到的都是豎式運算的基本性質。這些練習雖然有助於我們更深刻理解豎式運算，但也容易固化對這類問題的印象，形成套路模式。這個豎式謎如果使用常規方法求解，雖然並非不可能成功，但分析過程將會非常曲折。上面的解法適當地引入了數論的基本知識，從而製造了第一個關鍵的突破口。隨後的求解既可以使用常規的方法，也可以再結合數論知識，而後者相對更簡潔直接。

這個豎式謎是非常有啟發性的問題，其解法能夠刷新我們對豎式謎問題的認知。數學之妙，就在於概念和方法能恰到好處地用在最合適的地方，最大限度地揭示問題的本質。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！