數學史話之中國整部科學史上最卓越的人沈括
在賈憲之後，中國科學史上終於迎來了一個上古大神級的人物，他在數學、物理、化學、天文、地理、水利、醫藥、經濟、軍事、藝術等方面都頗有建樹。在這點上這個人跟科普君之前說到的萊布尼茨、牛頓等人有點類似，什麼都會，還什麼都做得很不錯。這個人就是北宋著名的科學家--沈括。
沈括
沈括於1031年（宋仁宗天聖九年）出生在浙江錢塘（現在的杭州），沈括自幼好學，據說他14歲的時候就已經把家裡的藏書都讀完了（不知道沈家的藏書是多少），後來跟隨當官的父親四處遊歷，開拓了眼界，增長了見識，在這個過程中，沈括對大自然表現出了強烈的興趣和敏銳的觀察力。沈括從小身體不是太好，所以他需要經常服食藥物調理，而正好錢塘沈氏在醫學上又頗有建樹，還有家傳醫書《博濟方》，因此沈括也開始研究醫方。
沈括在數學方面的貢獻主要有兩個：隙積術和會圓術。隙積術是高階等差數列的求和法，會圓術是關於弓形的計算方法。
沈括在他的著作《夢溪筆談·技藝》中說到：算術求積尺之法，如芻萌、芻童……之類，物形備矣，獨未有"隙積"一術。……隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及酒家積罌之類。在這裡沈括說的很明白，他認為過去算體積的方法，比如"芻萌"、"芻童"之類的，都是形體是沒有空隙的，都是實心的，所以可以用這些方法。但是如果碰到像把缸、瓮、罌之類的堆積成長方台（芻童）時，由於中間有空隙，所以就不能用芻童的方法來求它的總數了。實際上，沈括的"隙積術"和後來的"堆垛術"以及西方的"積彈法"是一個意思，就是把許多同樣大小的彈丸堆積起來，各層都是矩形，每一層都要比上一層長、寬多一個，然後求其總數。我們可以設第一層（最上層）長b個，寬a個，則第二層的長、寬分別為b+1，a+1個，第n層則為b+n-1，a+n-1。所以總數就應該是：S=ab+(a+1)(b+1)+……(a+n-1)(b+n-1)=nab+[1+2+……(n-1)](a+b)+[1^2+2^2+……+(n-1)^2]，這樣這個等式就變成了求n個自然數的和以及n個自然數平方的和，前者是等差數列的求和，非常簡單，但是後者在沈括之前從來沒有人提到過。沈括在書中給出了當a=b=2,n=11時的總數，但是他沒有用自然數的平方和公式來計算，而是通過他自己發明的隙積術公式來計算的，問題的他自己發明的隙積術公式似乎只能計算a=b=2,n=11時的情況，所以沈括的公式雖然是正確的，但是似乎並不能推廣到所有的情況當中去。但是不管怎麼說，隙積術為後面的跺積術開闢了道路，影響十分深遠。
隙積術示意圖
"會圓術"是沈括的另一個在數學史上的貢獻。所謂的"會圓術"實際上是指由弦求弧的方法，它的主要思路是局部以直代曲，對圓的弧矢關係給出一個比較實用的近似公式。在《夢溪筆談》中沈括只給出了利用圓的直徑、弓形的高和弓形所對弦的長來計算弓形所對弧形的長的公式：
其中h為弓形的高，d為弓形所在圓的直徑，b為弓形所對弦的長度。沈括並沒有給出這個公式的來源，也沒有給出這個公式的推理過程，所以我們並不清楚沈括是如何得到這個公式的。但不管怎麼說，他是第一個利用弦、矢求出了孤長的近似值。這一方法的創立，不僅促進了平面幾何的發展，而且在天文計算中也起了重要的作用，為中國球面三角學的發展作出了重要貢獻。這一公式為元代郭守敬創製《授時歷》提供了直接的數學依據。
會圓術
沈括在宋哲宗紹聖二年（1095年）去世，他一生致志於科學研究，在眾多學科領域都有很深的造詣和卓越的成就，被譽為"中國整部科學史中最卓越的人物"。他的代表作《夢溪筆談》，內容豐富，集前代科學成就之大成，在世界文化史上有著重要的地位，被稱為"中國科學史上的里程碑"。1979年，為紀念沈括，中科院紫金山天文台將1964年發現的一顆小行星2027命名為沈括星。
