蝴蝶效應和指數發散

「One meteorologistremarked that if the theory were correct, one flap of a sea gull"s wings wouldbe enough to alter the course of the weather forever. The controversy has notyet been settled, but the most recent evidence seems to favor the sea gulls.」

「一個氣象學家這麼評價：如果這個（混沌）理論是正確的，那麼，一隻海鷗忽閃一下翅膀，就足以永久地改變天氣走向。這裡的爭議尚未完全平息，但是最新的證據顯然更加支持這個海鷗」。

-- Lorentz

這句話，就是Lorentz在他混沌理論的開山之作中提到的，它形象地把系統對初始條件極端敏感的現象用大眾熟知的方式類比出來了。後來，在其他的演講當中，他吧海鷗換成了更加富有詩意的蝴蝶。再後來，Philip Merilees 發表了一篇論文，題目叫做「巴西某個蝴蝶閃動一下翅膀會引發德克薩斯的一場颶風嗎？」。至此，人們所熟知的「蝴蝶效應」就正式登入了科學史冊。

很多影響巨大，甚至足以開闢或顛覆一個領域的科學理論，作為一個科學議題，它的知名度卻只是局限於一個非常小的科學家圈子裡，這包括了很多對科學有重大意義的理論。這些理論都是極具顛覆性而且極富爭議的，但是廣大吃瓜群眾對它們毫無所知也毫無興趣。但是如果把它們以一種娛樂形式的類比表達出來，或者是冠以一種富有戲劇性的名號，它就很快吸引到大量的眼球，並迅速普及開來。比較典型的包括薛定諤貓、多世界理論，還有本文的論題拉普拉斯之妖。如果沒有薛定諤貓的論述，人們絕不會對量子力學產生如此巨大的興趣，沒有平行宇宙的話題，多世界理論也不會獲得大家的關注，同樣，沒有拉普拉斯之妖，人們就不會對決定論產生如此濃厚的興趣。蝴蝶效應也是這樣一個典型的例子。如果沒有蝴蝶閃動翅膀引起颶風的論述，人們根本不會知道混沌原理。

但是我不得不說，給科學理論賦予戲劇化，這是一柄雙刃劍，它的確能夠迅速地把一個理論普及開來，同時，普及開來的理論因為被被賦予了太多的戲劇性，因而理論的普及往往伴隨著誤解的擴散，普及開來的理論已經與原本嚴肅的理論大相徑庭了。比如說大家津津樂道的「超光速時可以返回歷史」這類話題，是相對論普及的結果，但是它卻是對相對論赤裸裸的違反。

這裡，我想說的是，大家慣常所理解的蝴蝶效應：蝴蝶閃動一下翅膀導致了一場颶風，是錯誤的。

蝴蝶效應所表達的，並不是說蝴蝶的翅膀，在經過了種種戲劇性的路徑後，最終不可避免地導致一場風暴。蝴蝶的翅膀其實與德克薩斯的風暴沒有任何直接的因果關係。這個類比真正的含義是說，如果我們想精確地預測兩周後的一場風暴，我們現在所需要獲知的的信息，必須要細緻到每一個微小的變化，哪怕是像一個蝴蝶的翅膀這麼細緻。或者說，如果我們有兩個完全相同的世界，其唯一區別在於一個世界裡某隻蝴蝶沒有閃動翅膀，而另一個世界裡蝴蝶閃動了一下翅膀，那麼兩周後，這兩個世界裡氣象的差距將是宏觀的，顛覆性的。

這裡說，是系統演化對初始條件的極端敏感。

我們知道，系統未來的演化路徑是由它現在的狀態（初始條件）決定的。那麼，不同的初始狀態，未來演化路徑不同，我們一般認為，初始狀態越一致的，未來演化路徑就會越接近。兩個非常接近的初始狀態，它們未來的演化路徑會非常接近。但是蝴蝶效應告訴我們，實際上並非總是如此。有時候，兩個非常接近的初始狀態，未來演化卻在很短時間內變得分道揚鑣，完全不同了。比如說我們仍然用撞球作為一個例子，比如說，一個長方形的球桌，一個小球以少許不同的角度開出，經過一段時間以後，它們的路徑顯示，基本上比較接近，這裡，初始條件的小小差異，引起的路徑差異也很小，這就是系統演化對初始條件不敏感。

但是，當我們換成一個兩面弧形的，類似運動場形狀的球桌，情況就會大相徑庭。我們發現，撞球只在開始的一小段時間內路徑大致相似，很快就完全不同了。這就是系統演化對初始條件敏感。

所謂系統演化對初始條件的極端敏感，意思是說，兩個初始條件極為相似的系統，演化過程中也會在極短的時間內路徑完全不同。這種初始條件的差異可能細小到我們完全無法分辨，但這樣也毫無用處，只要存在一點差異，就會導致演化路徑的完全不同。

正是由於系統對初始條件的極端敏感，我們要想準確預測一個系統的未來，我們需要極端精確地知道這個系統的初始狀態，否則我們的預測將在極短的時間內就會完全失敗。這個精度要求達到了變態的程度。並且，由於系統誤差是以指數速度被放大的，這意味著，如果我們想要增加對系統有效預測的時間長度，那麼每一秒鐘的預測都需要我們增加一個數量級的精度。這個誤差的放大係數被一個叫做Liapunov 指數的指標所表徵的。這個指數越大，意味著誤差放大的速度越快。

這裡提到了指數放大，指數是一個你很快就會學到的數學運算。關於指數，很多人都知道有著恐怖的放大能力，但是，往往大家對它的感性認識並不強。這裡有一個傳說，就顯示了指數放大的速度。

傳說中，國際象棋是印度舍罕王的宰相西薩.班.達依爾發明的。他把這個有趣的娛樂品進貢給國王。舍罕王對於這一奇妙的發明異常喜愛，決定讓宰相自己要求得到什麼賞賜。

西薩並沒有要求任何金銀財寶，他只是指著面前的棋盤奏道：「陛下，就請您賞給我一些麥子吧，它們只要這樣放在棋盤裡就行了：第一個格里放一顆，第二個格里放兩顆，第三個格里放四顆，以後每一個格里都比前一個格里的麥粒增加一倍。聖明的王啊，只要把這樣擺滿棋盤上全部六十四格的麥粒都賞給你的僕人，他就心滿意足了」，舍罕王聽了，心中暗暗欣喜：「這個傻瓜的胃口實在不算大啊」。他立即慷慨的應允道：」愛卿，你當然會如願以償的！」

那麼，我們來算一算，舍罕王要給他的丞相多少麥子呢？大約30粒麥子重1克，我們按照平均每一粒麥子0.035克的重量的話：

我們看到，剛開始的10格中，放的麥子並不算多，加起來只有不到1kg，但是當放滿20格時，就已經幾十公斤了，當放滿30個，就是幾十噸，平均每增加10格，麥子總重量就增加1000多倍，當放滿棋盤時，已經是6千億噸的重量了。這在當時的印度國，相當於全國2000年的總產量！

所以，當記麥工作開始後不久，舍罕王便暗暗叫苦了，因為儘管開始的麥子很少，但是它增加的速度太快了！國王很快意識到，自己恐怕是兌現不了他許給宰相的諾言了！他的一句慷慨之言，成了他欠宰相的一筆永遠也無法還清的債。

正當國王一籌莫展之際，王子的數學教師知道了這件事，他笑著對國王說：「陛下，這個問題很簡單啊，您怎麼會被它難倒？」國王大怒：「難道你要我把全世界兩千年產的小麥都給他？」這位教師說：「沒有必要啊，陛下，其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數一粒，數完這麼多粒麥子所需要的時間，大約是5800億年。就算宰相大人日夜不停地數，數到他自己魂歸極樂，也只是數出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下不支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜」。國王恍然大悟，當即下令召來宰相，將教師的方法告訴了他。西薩·班·達依爾沉思片刻後笑道：「陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！」

這個，就是指數對一個微小數字的放大速度。

粗略地說，一個自然指數大概每秒鐘可以把誤差放大2.7倍，而每10秒鐘就可以放大1萬多倍，而20秒鐘放大倍數達到了接近5億倍！如果我們認為我們的計算誤差在100%以內都可以容忍的話，我們的觀察精度在0.001%的情況下，我們可預測的未來時間約為11秒。如果我們提高觀察精度，初始條件的誤差精確到0.00001%，則可預測的未來為16秒。如果我們的精度達到0.0000000000000000000000001%呢？我們也僅能預測1分鐘而已！也就是說，我們對未來的有效預測每增加1秒鐘，所需要的觀測精度就要增加一個數量級。以至於，如果我們希望對系統的未來在一個不算太短的時間內（幾分鐘）做出預測，我們連一絲一毫的誤差都無法容忍。這個預測在現實中是不可能的。

為何會出現系統演化路徑對初值極端敏感的情況呢？這是有數學上的原因的。簡單來講，就是我們所用到第3章那種形式的微分，它局部[1]的解都是指數形式的。這就是誤差為何會出現指數放大行為的數學原因[2]。你現在肯定不具備這些數學知識，所以我們暫時就忽略不講了。後面我會提供一個更淺顯的解釋。

暫時地，你只需要知道，這種誤差的指數放大情形，除去幾乎可以忽略的特例，是在每一個系統中普遍存在的。而我們說，指數速度是是極其恐怖的，因為它的擴大是數量級上的，而不是數值上的。它可以在短時間內把初始誤差以數量級的倍數放大。例如，如果每一秒鐘放大2倍的話，那麼延續這種趨勢，10秒鐘就放大1000多倍，每一分鐘就會放大1018倍，這是一個天文數字，甚至天文數字都不足以描述它，這种放大速度，意味著只有一個原子那麼小的初始誤差，在區區1分鐘內就被放大到1000個太陽那麼大！

所以說，誤差差呈指數擴大的情況，就屬於對偏差極端敏感。這種極端敏感的情形在在我們周圍的幾乎無處不在。這就使得我們不可能完成絕大多數的系統精確預測。

系統演化對初始條件極端敏感，這就是確定性混沌理論的最基本特徵。

混沌在自然界中是如此的普遍，遠遠超出了人們平常所意識到的。我們所能用傳統動力學「優雅」「簡潔」地解決的問題，與混沌系統相比，直如鳳毛麟角。可以說，混沌系統幾乎統治了我們周圍的一切現象。在一些很簡單的問題中，例如三體問題（我知道你很喜歡看劉慈欣寫的《三體》，那裡面就提到了混沌的特徵）、復擺、生態系統演化等低維度問題已經表現出強烈的混沌特性了，在高維度問題中，各個維度的Liapunov指數分布更廣，混沌幾乎是無法避免。

總而言之，混沌是一個普遍存在的，為大眾所一致承認的現象，但是，混沌的具體定義卻還沒有達到為學術界一致認可的程度。

那麼，為何會出現這種誤差隨時間以指數速度放大的情況呢？

[1]這裡的「局部」含義指的是，在我們所關注的系統時空附近，具體講，就是在極短時間範圍內，它的運動狀態變化非常小的情況。局部的指數偏離，並不意味著在廣域上一直會指數偏離。雖然它在每一個狀態的局部都保持指數偏離，但是偏離的方向會有所變化，這是非線性系統的性質決定的。當系統的狀態偏離到很遠時，它有可能會「折返」繞回到起點附近。

[2]事實上，對於非線性的動力學系統，根據Hartman & Grobmann定理，在沒有奇異點的時候，對非線性系統的局部線性化不會改變相空間的局部拓撲結構。因而在一個局部，用可以用線性微分方程來逼近非線性方程，而線性微分方程的解一律都是指數形式的。指數的大小取決於雅克比矩陣的特徵值。這就是指數形式的數學原因。

總的說來，特徵值為正，則誤差指數發散，特徵值為負，則指數收斂，特徵值為複數，則震蕩發散或震蕩收斂，特徵值為虛數，則一直震蕩。

對於高維度系統，具有天文數字個數的特徵值，因此出現指數發散的情況幾乎是不可避免的。

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