平面向量基本定理
王琦（北京市第五中學）
教學內容解析
本節課是《普通高中課程標準實驗教科書?數學4》（人教A版）第二章第三節的第一課時（2.3.1）「平面向量基本定理」．平面向量基本定理屬於概念性知識．
平面向量基本定理是在向量知識體系中佔有核心地位的定理．一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎，坐標表示使平面中的向量與其坐標建立起了一一對應的關係，這為通過數的運算處理形的問題搭起了橋樑；另一方面，平面向量基本定理是平行向量基本定理由一維到二維的推廣，揭示了平面向量的結構特徵，將來還可以推廣為空間向量基本定理．因此，平面向量基本定理在向量知識體系中起著承上啟下的重要作用．
筆者認為該定理之所以用「基本」命名，主要是基於以下幾個特點。
（1）給定平面內兩個不共線的向量，通過線性運算，可以構造出該平面內的所有向量；
（2）通過線性運算構造平面內所有向量，至少需要兩個不共線的向量；
（3）平面內任意向量的問題都可以轉化為基底中兩個向量之間的問題，從而化任意為確定，化未知為已知；
（4）選定基底後，平面內的任意向量與有序實數對一一對應，為通過數的運算處理形的問題搭起了橋樑，實現了形與數的統一．
《普通高中數學課程標準（實驗）》對本節課的要求是了解平面向量基本定理及其意義，筆者認為這是因為平面向量基本定理的理論性非常強，而對定理的應用又主要體現在向量線性運算的幾何意義以及坐標運算上，直接應用極少．
但是，對平面向量基本定理的探究既是對前面所學向量線性運算知識的綜合應用和對平行向量基本定理的推廣，又為後繼的平面向量坐標表示奠定了理論基礎，充分展現了數學結構體系的嚴謹性和邏輯性，探究過程有助於學生體會數學思維的方式和方法，有利於培養學生進行數學思考和數學表述的能力．
平面向量基本定理的驗證過程是向量的分解，是兩向量進行線性運算的逆過程，是對學生逆向思維的訓練．在平面向量基本定理的證明過程中，需要用到平行向量基本定理，同時，平行向量基本定理也是平面向量基本定理在一維時的特殊情形．這裡體現了特殊與一般的辨證觀點．
平面向量基本定理將平面內任意向量的問題轉化為一組基底的問題，從而使問題簡單化和程序化，體現了化歸與轉化的數學思想．平面向量基本定理將平面向量與有序實數對建立一一對應，搭起了數與形的橋樑，是利用向量進行數形轉化的理論基礎．
因此，筆者認為本節課的教學重點是對平面向量基本定理的探究和理解．
教學目標設置
1.課程目標
向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，是溝通代數、幾何與三角函數的重要工具，有著極其豐富的實際背景．因此，平面向量的課程目標如下。
（1）了解向量豐富的實際背景；
（2）理解平面向量及其運算的意義；
（3）能用向量語言及方法表述和解決數學及物理中的一些問題，提高學生運算和解決實際問題的能力．
2.單元目標
（1）通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；
（2）通過實例，掌握向量加、減法的運算，並理解其幾何意義；
（3）通過實例，掌握向量數乘運算，並理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；
（4）了解向量的線性運算性質及其幾何意義；
（5）了解平面向量的基本定理及其意義；
（6）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；
（7）會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；
（8）理解用坐標表示的平面向量共線的條件；
（9）通過物理中「功」等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義；
（10）體會平面向量的數量積與向量投影的關係；
（11）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；
（12）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關係；
（13）經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何和物理等問題的工具，提高學生運算和解決實際問題的能力．
3.課堂教學目標
（1）理解平面向量基本定理中關鍵詞的含義；
（2）經歷平面向量基本定理的形成過程，體會從提出問題，到觀察猜想，再到驗證推理，然後概括總結，進而完善發展的數學研究過程；
（3）通過與平行向量基本定理的比較，提高對知識體系的整體認識；
（4）體會平面向量基本定理的價值．
學生學情分析
在前兩節中，學生已經學習了向量的基本概念、線性運算以及平行向量基本定理等知識。學生在物理課上也學習過矢量的合成與分解．這都為本節課的學習作了一定的鋪墊．但向量的分解是對向量線性運演算法則的逆用，這對學生的思維具有一定挑戰。此外，對定理中任意性和唯一性的理解和驗證也是學生學習的一個難點．這些都需要教師引導突破．
筆者所任教的班級學生各學科的基礎都比較紮實，但思維的靈活性和深刻性仍有待提高，對於思維力度較大的問題仍需教師引導探究，學生對問題嚴謹且完整的表述能力仍需培養．
因此，本節課的教學難點在於平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性．
教學策略分析
為了更好的突出教學重點，突破教學難點，完成教學目標，筆者採用引導啟發的教學方式，通過複習引入、逆向設問、直觀感知、實驗操作、定理雛形、完善定理、定理辨析等環節，循序漸進地將問題逐步引向深入，引導學生完成本節課的目標，體會學習數學的方法．
為了突破難點，筆者採取了以下措施。
（1）針對存在性的難點，也就是分解向量的難點，通過學生黑板演示交流，對幾種典型的情況分別作圖並完成線性表示；通過教師追問和點評，抓住向量加法法則中三個向量的位置關係，提煉一般做法．
（2）對於定理中「任意性」的驗證，筆者引導學生分三步進行。首先，將平面內的任意向量簡化為起點在某定點(與基底共起點)的任意向量；然後，使向量方向不變，只改變大小，從數與形兩個角度發現，只要在該方向上有一個向量能夠用給定向量的線性運算表示，那麼與之同向的向量就都可以用給定向量的線性運算來表示；最後，就只需改變向量的方向，也就是讓向量繞其起點旋轉起來，分析其旋轉一周過程中的不同情況即可．在驗證「任意性」的過程中，筆者在學生板演分析之餘，採用多媒體輔助教學，藉助幾何畫板軟體的動態演示，讓學生更加直觀地理解定理中的「任意」．
（3）對定理中「唯一性」的討論筆者引導學生從定性的存在到定量的幾組將定理精細化，並從形的角度(貼近學生思維)和數的角度分別對唯一性進行證明，使學生進一步體會向量是集數形於一身的數學概念．
本節課在猜想的形成，以及對定理中的存在性、任意性、唯一性的驗證和證明過程中，問題思維力度大，師生互動多．因此，筆者在設計本節課時，根據學情對每一個活動做好了充分的預案，針對學生的不同反饋，靈活地進行引導啟發；對每一個問題的提出，注意了設問的梯度和問題的明確性，針對解決過程設計好提示和追問，使具有不同認知基礎的學生都能得到相應的收穫．
與此同時，由於定理的形成和理解難度較大，在授課過程中，筆者對學生表現出的積極因素給予適時適度的鼓勵，當學生遇到知識漏洞和思維障礙時，本著循循善誘的原則進行幫助．
【設計意圖】
（1）說明當給定的兩個不全為零的向量共線的時候，只能表示與他們共線的向量，從而形成定理中的「不共線」；
（2）說明當給定的兩個向量不共線時，只能表示與他們共面的向量，從而形成定理中的「這一平面內」；
（3）區別「無數個」與「任意一個」，從而猜想定理中的「任意」．
預案：學生認為兩個給定的向量可以表示無數個向量而非任意一個，此時可以引導學生思考哪些向量無法表示；
學生容易忽略「平面內」的限定，認為兩個給定的向量可以表示任意一個向量，這與此前學生數學學習中對三維空間研究較少有關，其難以突破二維空間的思維局限，此時，教師可以給出反例，讓學生體會。
學生容易忽略共線的特殊情況，認為同一平面內兩個給定向量可以表示該平面內任意一個向量，此時可以追問學生「無論這兩個向量如何給定，都可以表示平面內任意一個向量嗎？」；
由問題1的討論，有些學生容易想到當一個向量是零向量時，無法表示平面內任意向量，有些學生會想到當兩給定向量共線時，無法表示平面內任意向量，教師需要引導學生認識到「不共線」的限定就排除了含零向量的可能．
活動1：讓學生表述猜想：通過同一平面內兩個不共線向量的線性運算可以表示這一平面內任意一個向量．
【設計意圖】
【設計意圖】
（1）從定性研究到定量研究，使學生體會科學研究的一般思路；
（2）對唯一性的論證，一方面從形的角度用作圖方法說明，貼近學生思維，培養論證表達能力，另一方面從數的角度用同一法及反證法證明，培養邏輯思維能力，同時使學生進一步體會向量是集數形於一身的數學概念；
理解當基底選定後，平面內的任意向量與有序實數對(λ1，λ2)一一對應，為後面向量的坐標表示做鋪墊．
預案：
（1）大部分學生會利用作圖過程進行分析，但容易想當然，缺乏從定義、公理、定理出發進行嚴謹邏輯推理的意識，這就需要教師抓住契機進行培養；
（2）高一年級的學生還沒有學習反證法，同一法在課標當中也沒有涉及，所以從數的角度嚴格證明對學生來講是個難點，如果沒有課外的補充學習，學生很難想到這種證明方法，因此這裡的處理方式是教師引導，且對證明不做規範性要求．
完善平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任意向量a，存在唯一一對實數λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．
設計意圖：將教材定理中的「有且只有」寫作「存在唯一」，減少理解障礙．
教師解釋定理的價值，深化學生對定理的認識：
阿基米德曾經說過，給我一個支點，我可以撬起地球．
通過平面向量基本定理，我們可以說，給我兩個不共線的向量，我可以通過簡單的線性運算，構造出該平面內的所有向量；給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內任意向量的問題都化歸為這兩個向量的問題，從而化任意為確定，化未知為已知；給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內的向量與有序實數對建立一一對應，搭起數與形之間的橋樑，為用數的運算來刻畫形的問題創造了可能．我只需要兩個不共線的向量！
【設計意圖】
（1）借用阿基米德名言的句式，引起學生興趣和注意；
（2）通過排比，強調平面向量基本定理的重要價值；
（3）說明這兩個不共線向量的重要地位，引出基底定義．
給出基底的定義：我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底(base)．
【設計意圖】給出基底的英文單詞，base有基礎的意思，更容易讓學生理解基底是構建平面內所有向量的基礎．筆者認為這也體現了平面向量基本定理中「基本」的含義．
追問：表示平面內所有向量的基底有多少組？需要滿足什麼條件？
問題4：這個定理與平行向量基本定理有什麼聯繫？
設計意圖：
（1）使學生理解二者的聯繫，即平面向量基本定理是平行向量基本定理由一維到二維的推廣，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一維時的特殊情形，這裡體現了特殊與一般的辨證觀點，在這種視角下，平行向量基本定理中的「非零向量」也可以稱為一維空間上的一個基底，由它生成了與之共線的所有向量；
（2）使學生體會聯繫地看待事物，而非割裂地看待知識，將新知識納入到自己的知識網路中，提高對知識體系的整體認識．
提出課後思考問題：三維空間的基底應該如何選取？
小結反思，布置作業
1．小結
本節課我們從一個具體問題的探究提出了研究的方向，從猜想到驗證得到了定理的雛形，從存在到唯一完善了定理的內容．
平面向量基本定理是將平面向量任意化歸為確定的理論依據，是由幾何到代數的橋樑．
希望同學們通過這節課能夠體會一個數學概念從起因到發生，再到雛形，然後逐步發展及完善過程中蘊含的合理的思維方式．
設計意圖：
課標中對平面向量基本定理的要求是了解，而本節課花了較大的精力去發現、驗證和理解，一方面是希望學生能夠認識到這個定理的價值，另一方面是希望學生通過這節課的探究，經歷一個數學概念形成的過程，體會其中蘊含的合理的思維方式．所以在小結中筆者希望學生能夠理解教師的意圖．
作業：
必做作業：校本作業(十九)。
課後思考：
（1）試利用三角形法則對定理進行驗證；
（2）要想表示三維空間內的任意向量，筆者們最少需要幾個怎樣的向量作為基底呢？
【設計意圖】必做作業是對課內知識的鞏固，課後思考是讓學有餘力的生能夠有充分的發展空間
