數學思想下的方法與技能落實

與老師一起聽課評課聊天是一件幸福的事。今天聽了兩節課，分別是一元二次方程的章節起始課，和一節配方法解方程的課，聽完之後，總感覺似乎欠缺了什麼？歸納起來涉及六個關鍵字：思想，方法，技能。兩節課更多強調的是在方法和技能上的發展，而忽略了數學思想引領教學的作用。於是就得出這樣的一個結論：同一個學習方案，不同教師的教學，就會呈現出深淺不一的教學效果。之所以會產生這種情況，問題就在於教師對數學思想的把握至關重要，好的教師對數學思想的理解深刻，則體現出教學能力立意高和思想明確。

從這節起始課先講吧，這是一個層次比較薄弱的班級學生授課，學生學習進展不大，同樣的學案，由我來實施會是這樣的學習方案：

首先，給出六個方程，其中包括兩個一元一次方程，兩個分式方程，兩個一元二次方程，讓學生辨別這六個方程中，哪一些是學過的方程？並且是哪一類的方程？這是從具體中直觀感知方程類型，其中涉及到學生在腦海中的概念理解。接著提出方程模型來源於生活，來源一些實際的應用問題中，是從實際問題中抽象出來的一種數學模型。因此增加一題簡單的實際應用：要做一個面積為6平方米的長方形宣傳欄，已知長比寬多1米，求長是多少。這裡需要關注師生一起審題，首先這裡有一個大的故事背景，即做一個長方形宣傳欄，在這個故事背景下隱藏的兩個小故事：一個是要求這個長方形面積必須為6平方米；另一個要求是長比寬要多1米。那麼這兩個小故事中存在怎樣的兩個相等關係？如何用字母來表示呢？可以引進未知數（字母）表示以列出方程。這裡做個說明，在聽到的課中，常常會是這樣：因為問題簡單而一帶而過，沒有帶領學生去理解題目的內涵，沒有從教師自身的角度去分享理解題目的含義，引領學生開展數學閱讀。我們勿因簡單而放棄思考，要隨時隨地抓准機會提升學生的數學閱讀能力，特別是層次較低的學生。

其次是歸納和辨析概念。那為什麼要藉助三個方程案例來開展學習呢？很簡單，一元二次方程這個概念是在抽象思想的引領下開展學習的，就是把概念的內涵和外延抽象出來形成概念，在這個思想下，我們採用的是歸納法，而歸納法必須要有3到5個例子作為案例的載體。如果是採用演繹法，這可以類比一元一次方程，快速獲得一元二次方程的概念，但對層次薄弱的學生，相信歸納法會更加貼切適合。等概念提出之後，隨手寫兩個方程，讓學生辨別是否為一元二次方程，並結合剛才的實際問題【x(x-1)=6】提出判斷一元二次方程的前提是：一般把方程化為右邊為0的形式，再藉助概念辨析。於是，順其自然的提出一元二次方程的一般形式，然後對方程各項係數進行工具性的介紹。何為工具，就像十字、一字、六角螺絲刀那樣，介紹一下不同特點，學生了解即可，不需作為重點知識點來呈現，只要教師講解，讓學生了解即可。這裡也包括了方程的解，雖然說解多了，不一樣了，但完全可以在解方程中再去理解。但我們發現很多這樣的課堂，對方程，函數的概念，辨析得非常透徹，對方程的係數也是如此，然而，這裡不是思維的最重要處，而花費了這麼多時間，沒有在能力的立腳處、思維的核心處進行思辨，就會出現本末倒置。

再次是提出如何解一元二次方程？一是從一般形式入手，在一般與特殊的思想引領下，開展研究解方程方法的學習。一般情況下，我們可以把方程特殊化，令b等於0或者c等於0。當b等於0時，是直接開方法的模型，當c等於0，是因式分解法。由此，在研究方法中，從最特殊的地方開始去研究，進而到一般情況，逐步地在轉換化歸思想下開展學習，並順其自然的提出本節課要學習的直接開方法。而在學習的時候，要隨時與舊知識進行呼應，因為在實數章節中，就已經涉及到的直接開方法的思想源頭，因此，在學習中，要進行新舊知識對比，在異同中去發展形成新認知，最後才是技能的熟練運算。

在數學思想的引領下的教學是非常重要的，在另一節課用配方法學習解二次項係數為1或不為1的一元二次方程，如何通過轉換化歸為直接開方法的這種方程形式呢？這是轉化數學思想的引領，需要在教學中對此進行深度研究。比如說，聚焦兩種方程，讓學生開放性的淋漓盡致的去探索，研究，分享，讓轉換化歸思想達到突出，而不是在教師的引導下，一步一步的讓學生跟著走。這樣的課，才會更具有深度。另外，當學生進行經驗探索和分享後，教師要對著問題表述自己的想法，以此來激活學生的思考經驗，重構認知，從而縮小師生的理解差。也就是說，轉換化歸思想來源於學生的經驗和數學的表達交流，而不是教師的給予，應聚焦在某一個問題上的思考，開展真正的思辨，互動的時機應注意落在思維處，讓互動真正的火起來。

值得一提的是，在講題中也必須要非常突出學生的審題。比如說這一道題：

點A的坐標是確定的，點B的坐標含有參量，但是定圓上的一點，橫坐標明確了，點Ｂ是確定的，是圓上的兩點，再加上正切值1/2的條件（沒有這個條件，就需要分類），這個點就確定了。也就是說，從一個動點到兩個點，再到一個定點，這樣的直線BC就已經確定了，所以就不存在分類的情形了。直線BC的解析式是唯一的，而證明這條直線與圓相切，出現了方法的多樣性。而這些多樣性方法在變化的問題背景中是否還適合呢？作為測試講評專題課，必須引領學生一起來探究學習，必須要把靜態的圖形動態化。首先是圓不動，直線在動，直線有平行和旋轉的變化，直線繞點C旋轉，什麼時候能夠和圓相切相交呢？就出現了定值或者取值範圍的情況。進而提出直線的平行移動，又如何探索直線與圓的位置關係呢？然後才是變換背景，把曲線圓換成另外一種曲線，比如說拋物線、雙曲線又如何來判斷直線與這些曲線的交點情況呢？由此讓學生在不同的情境變化的過程圖形中去歸納總結，方法的多樣性存在的一些特性，如何尋找這一些特性來進行解題，是化繁為簡的能力培養，這才是講評專題課的重要目標所在。

在數學教學中，思想是最重要的，體現在概念中，方法和技能均來源於思想的作用。數學根本上是玩概念的，也是玩思想的，技巧微不足道。（改自李邦河院士語）

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