《函數項級數的基本概念、收斂域與解析性質》內容小結、題型與典型題

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一、函數項級數相關的基本概念

設函數un(x)在集合D?R上有定義，稱

為D上的函數序列(或函數列).稱

為定義在集合D上的函數項級數.

如果對於任意一點x∈I?D，均存在u(x)，使得

則稱函數序列{ un(x)}在點x處收斂，u(x)稱為函數序列{ un(x)}的極限函數，I稱為函數序列{ un(x)}收斂域.

如果對於任一點x∈I?D，均存在S(x)，使得

則稱x為函數項級數的收斂點，I稱為該函數項級數的收斂域，並且稱函數S(x)為I上的函數項級數的和函數.

若用Sn(x)表示函數項級數前n項的和，即

則稱Sn(x)為函數項級數前n項部分和函數.並稱

為收斂域上的余項函數，並且有

如果對於任一點x∈I?D，級數

發散，則x為函數項級數的發散點，I稱為該函數項級數的發散域.

二、函數項級數收斂域求解思路與步驟

因為函數項級數的收斂域其實就是由所有收斂點構成的，而對於每個收斂點對應的函數項級數的收斂性的判定，其實對應的就是常值級數收斂性的判定，所以函數項級數的收斂域的計算一般基於常值級數判定的方法，常用的是基於取項的絕對值的比值審斂法與根值判別法。所以基本步驟為：

步驟1：由比值判別法或根值判別法計算

步驟2：令|ρ(x)|1，該區間內的點不僅是函數項級數的收斂點，而且是函數項級數的絕對收斂點構成的集合(這個集合如果是一個區間，則稱為函數項級數的收斂區間)；而|ρ(x)|>1的點構成的集合則是函數項級數發散點構成的集合。

步驟3：令|ρ(x)|=1，如果計算得到該方程的根為k=1,2,…，然後對這些點單獨使用常值級數的其它判定方法判定對應的常值級數

收斂性，把其中收斂的點記作，發散的點記作。

步驟4：收斂域等於I1∪.即函數項級數的收斂域和發散域分別為：

收斂區間+收斂的端點=收斂域

發散區間+發散的端點=發散域

【注】以上方法與步驟僅僅是通用的簡單的方法，並不適用於所有函數項級數收斂域的判定.

三、函數項級數的解析性質

1、點態收斂（按點收斂）

2、一致收斂與一致收斂的M判別法

3、函數項級數一致收斂，則其和函數連續、並且可以逐項可導和逐項積分，即

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《常值級數斂散性判定》的基本思路與步驟

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