詩解數學問題

三個用詩解答的數學問題。

1

傳說上古伏羲氏時，有龍馬從黃河裡跳出來，背上負著河圖；有神龜從洛水裡跳出來，背上負有洛書。伏羲氏根據河圖、洛書演化成八卦。洛書便是最早的幻方，用現代數學語言解釋，就是用1~9九個數字，填在九個格子里，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數字的和都等於15。

我國宋代數學家楊輝用一首詩總結了幻方的編排方法：

九子斜排，

上下對易，

左右相更，

四維挺出。

第一步：九子斜排，把1~9按下圖排列出來。

第二步：上下對易，把上下兩個數9和1對換。

第三步：左右相更，把左右兩個數3和7對換。

第四步：四維挺出，把4，2，8，6四個數突出來。

這樣就構造出一個三階幻方。

2

《孫子定理》上載有「物不知數」問題：「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」

我國明朝大數學家程大位用四句詩概括了這類問題的解決方法：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝，

七子團圓正半月，

除百零五便得知。

這首詩就是解答此類問題的金鑰匙，它被世界各國稱為中國剩餘定理或孫子定理，是我國古代數學的一項輝煌成果。

下面我們就來破解一下這首詩的奧秘。

三人同行七十稀：把除以3所得的餘數用70乘。

五樹梅花廿一枝：把除以5所得的餘數用21乘。

七子團圓正半月：把除以7所得的餘數用15乘。

除百零五便得知：把上述三個積加起來，減去105的倍數，所得的差即為所求。

列式為：2×70＋3×21＋2×15=233，233－105×2=23。

3

17世紀的法國數學家加斯帕在《數目的遊戲問題》中講了這樣一個故事：15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其餘的人才能幸免於難，於是想了一個辦法：30個人圍成一圓圈，從第一個人開始依次報數，每數到第九個人就將他扔入大海，如此循環進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法，才能使每次投入大海的都是非教徒？

這是「約瑟夫問題」的另一個版本，這個問題並不難，有趣的是，有一位名叫凱吉的人，作了以下的詩句來解答這個問題：

From numbers aid and art,

never will fame depart.

將這道詩的母音 a、e、i、o、u 用數字標示 a=1、e=2、i=3、o=4、u=5，把詩里的母音列出，寫下對應的數值：

o u e a i a a e e i a e e a

4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 2 1

然後將教徒以表示，非教徒以表示，如圖，從符號※開始，照上列數字順時針交互排列教徒及非教徒，首先是教徒4人，然後是非教徒5人，接著教徒2，接下來都照上列數字交互排列，然後從第1人開始，每9人就去除1位的話，最後被去除的都是非教徒。

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參考資料：

[1] 中國兒童數學百科全書，中國大百科全書出版社.

[2] 這才是最好的數學書，上冊，笹部貞市郎，北京時代華文書局.

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