自由度與解空間

代數、矩陣與概率論，是工科數學的三門主課。工科的任務主要是解決物理現實問題，而解決物理現實問題常常需要建立數學模型和求解數學模型兩個步驟。

代數中的解方程、計算最大值點、極值、駐點等等，一看上去就是求解數學模型中感興趣的未知數。常見的泰勒級數、羅倫級數、貝塞爾函數、伽馬函數、勒讓德函數等等，都是用來求解某一類數學模型中的感興趣未知數。

矩陣分析是為了更有益於對代數中的方程組求解。矩陣分析中的正交、線性相關、線性無關、特徵值、譜分解等等，都是用來求解某一類具有方程組形式的數學模型中感興趣的未知數。

但是，物理現實和數學模型之間總會存在誤差。於是概率論中引入的一些確定函數被用來描述這種誤差，例如高斯分布。這樣，物理現實和數學模型之間的誤差也有了確定性的數學描述。於是，又可以用代數和矩陣分析的方法完成解方程的過程。

根據以上描述，代數、矩陣和概率論一般都是用來解方程未知數的。那麼在建立數學模型之前，可以針對物理現實進行觀察，分析是不是存在解空間。例如問地球上任意兩點之間是不是存在最短距離？根據我們的體驗，這樣的解空間一定是存在的。於是我們開始建立對應的數學模型，如果模型的解變化多端，則說明我們給模型的自由度太多了，即方程組的個數少於未知數。進一步增加模型的約束，降低模型的自由度，使方程組的個數大於等於未知數，從而模型的解與我們的體驗趨同。

但是，可能存在的現實是已知方程組的個數總小於未知數的情況。於是，在這種情況下，為了找到解空間的可行解，人們引入了隨機、模糊、粗糙等理論。從這點看，隨機，模糊，粗糙，等等都是解決物理現實問題的重要舉措，也是權宜之計。

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