豆瓣評分9.4，數學領域超級經典

說到數學領域的經典圖書，你可能會在腦海中列出很多。比如圖靈新知出版過的《普林斯頓微積分讀本》《具體數學》《線性代數應該這樣學》等。今天我們要說的這本，也是一本數學領域的超級經典，它就是「數學界的莫扎特」、智商超過220、UCLA數學系終身教授，最年輕菲爾茲獎得主——陶哲軒的作品《陶哲軒實分析》。

我們之前出版過陶哲軒的《陶哲軒教你學數學》，收錄了陶哲軒15歲時參加奧數競賽的解題思路，感興趣的小夥伴可以查看：智商大於220，9歲進大學，15歲寫書分享數學思維，31歲獲菲爾茲獎……。而今天這本同樣是陶哲軒的數學著作。這本書第一版在豆瓣獲 9.4 分好評，深受讀者喜愛。大家普遍認為，陶哲軒的書寫得很友好，闡述了面對不同數學題目時自己的思路、想法，是授人以魚不如授人以漁的典範！以下摘錄了幾位讀者對這本書的評價。

豆瓣評分9.4

來自豆瓣讀者@ mxd1037622332對第一版的評論：

首先向陶致敬！不僅僅出於對陶過人的能力，也出於他治學嚴謹並且從學生角度出發寫書的良苦用心。但是對這本書，我想說明另一種觀點。這是一本讀起來相當令人愉快的書，我感受到的主要由以下三點：

1.文筆是面向學生的，對於種種數學處理都會不厭其煩地說明其思想、出發點等等，並且把大量的證明留給讀者。

2.論述極為嚴謹，幾乎不允許在證明中對知覺的直接使用。也因為嚴謹性的需要，陶將非常多有深度的內容納入了本書（例如公理化集合論）。

3.陶從哲學以及語義學的深度來評價分析學的對象，其他教材中，我見過能達到這本書的選材的深度以及嚴謹性（其實還要差一點）的只有卓里奇的那兩卷本，但思想深度上仍不及這本書。

但是，除非你是陶的學生，我不推薦你初學分析時就讀這本書。這本書的缺點也正是它的優點的必然結果。

1.過於嚴謹（甚至可以說有一點點苛刻）的論述使得內容的主體難於被初學者掌握。同時，我們並不能認為我們把所有定理都能證明一遍就說我們真正地懂分析，畢竟數學既不能認為僅僅是為了實用而創造的，也不能認為是為了給數學家們娛樂（我確定數學對於陶而言不僅是工作，而且是娛樂）而創造的。

2.這本書的一些術語與概念似乎是陶自己創造的（頂級數學家都有這樣駕馭數學的能力），這自然能體現陶「動手做分析」的教學理念，但是這對於天資不是那麼出色的初學者們是否適合呢？根據前幾篇前輩們的書評，陶幾乎沒有參考其他書，完全按照自己的理解寫的。這與大眾化的數學是否會存在一些兼容性問題呢？

個人認為，這是一本頂好的練習證明或者提拔思想時用的書。但是作為系統性的分析教材至少對於像我這樣的庸才不太合適。可能卓里奇的風格更適合我。

—— 這位小夥伴給出了非常客觀的評價，從兩個方面分析了這本書。或許書中的內容對於一些初學者可能有點難度，但是這種數學思維應該是每一個學習數學的人都具備的，至少這一點是相通的。

另外，知乎上，在「《陶哲軒實分析》 里的內容是屬於數學分析還是實分析？為什麼有人推薦用這本書來入門數分？」 的回答中，首贊答案是這樣說的。

作者：張樂陶

來源：知乎

鏈接：https://www.zhihu.com/question/33001251/answer/73486102

因為這是一本同時結合了：

1.極高的現代數學觀點，但——

2.極基礎的數學手段

依照最樸實而嚴謹的邏輯，處理整個分析學體系的神書。這是數學教科書寫作的良心！

其實，這樣令人動容的場面我也看到過——那是1748年，我曾看到過史上最偉大的數學天才之一寫過一本書，內容也是在用他那絕代高端的頭腦去整理對他而言相當低端的工作，只為了幫助學生克服當時教學上的困難，那本書叫《無窮分析引論》，作者名叫萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）。可惜，著作付梓之際，他已雙目失明，無緣得見。但這部教科書毫無疑問是不刊且不朽的傑作，以至於二百年後的大師韋伊也感慨不已。

「今天的學生從歐拉的《無窮分析引論》中所能獲得的益處, 是現代任何一本教科書都不能比擬的。」

——安德烈·韋伊（1906-1998）

而這「上一次的福音」，距今竟是幾近三百年前的往事了……特侖蘇今日的努力，直追歐拉當年的慈悲。偉大天才對莘莘學子那深摯的愛心，一脈相承！

註：根據陶哲軒的英語名字Terence Tao, 大家親切地稱他為特侖蘇·陶。

作者：Terence Tao

譯者：李馨

亞馬遜原版 4.8 星好評

源自華裔天才數學家、菲爾茲獎得主陶哲軒 UCLA 教學講義

本書主要介紹數學分析中的一些內容，以構造數系和集合論開篇，逐漸深入到級數、函數等高等數學內容，舉例詳實，每部分內容後的習題與正文內容密切相關，有利於讀者掌握所學的內容。本書在附錄部分還介紹了數理邏輯基礎和十進位，突出了嚴格性和基礎性。

作譯者簡介

作者 陶哲軒

1975 年出生，享譽世界的澳籍華裔天才數學家，智商超過 220，被譽為「數學界的莫扎特」。12 歲獲得國際數學奧林匹克競賽金牌（這項紀錄至今無人打破），2006 年獲得數學界的諾貝爾獎——菲爾茲獎，2007 年當選英國皇家學會會士。曾與本?格林合作解決了 2300 年前由歐幾里得提出的與「孿生質數」相關的猜想，在調和分析、偏微分方程、組合數學、解析數論、算術數論等多個重要數學研究領域都取得了卓越成果。陶哲軒15歲時所著的 Solving Mathematical Problems （《陶哲軒教你學數學》）是一本數學解題思路科普書，同樣廣受讀者喜愛。

譯者 李馨

畢業於北京理工大學數學與統計學院，具有多年高等數學、線性代數及概率論授課經驗。

目錄

第1章　引言　　3

1.1　什麼是分析　　3

1.2　為什麼要做分析　　4

第2章　從頭開始：自然數　　12

2.1　皮亞諾公理　　13

2.2　加法　　20

2.3　乘法　　25

第3章　集合論　　28

3.1　基礎知識　　28

3.2　羅素悖論（選學）　　38

3.3　函數　　40

3.4　象和逆象　　46

3.5　笛卡兒積　　50

3.6　集合的基數　　55

第4章　整數和有理數　　60

4.1　整數　　60

4.2　有理數　　65

4.3　絕對值和指數運算　　69

4.4　有理數中的間隙　　72

第5章　實數　　76

5.1　柯西序列　　77

5.2　等價的柯西序列　　80

5.3　實數的構造　　83

5.4　對實數排序　　89

5.5　最小上界性質　　93

5.6　實數的指數運算，I　　97

第6章　序列的極限　　101

6.1　收斂和極限定律　　101

6.2　廣義實數系　　106

6.3　序列的上確界和下確界　　109

6.4　上極限、下極限和極限點　　111

6.5　一些基本的極限　　117

6.6　子序列　　118

6.7　實數的指數運算，II　　121

第7章　級數　　124

7.1　有限級數　　124

7.2　無限級數　　132

7.3　非負數的和　　136

7.4　級數的重排列　　140

7.5　根值判別法和比值判別法　　143

第8章　無限集　　147

8.1　可數性　　147

8.2　在無限集上求和　　153

8.3　不可數集　　158

8.4　選擇公理　　161

8.5　有序集　　164

第9章　R 上的連續函數　　171

9.1　實直線的子集　　171

9.2　實值函數的代數　　176

9.3　函數的極限值　　178

9.4　連續函數　　184

9.5　左極限和右極限　　188

9.6　最大值原理　　190

9.7　中值定理　　193

9.8　單調函數　　195

9.9　一致連續性　　197

9.10　在無限處的極限　　202

第10章　函數的微分　　204

10.1　基本定義　　204

10.2　局部最大值、局部最小值以及導數　　209

10.3　單調函數及其導數　　211

10.4　反函數及其導數　　212

10.5　洛必達法則　　214

第11章　黎曼積分　　217

11.1　劃分　　217

11.2　分段常數函數　　221

11.3　上黎曼積分和下黎曼積分　　224

11.4　黎曼積分的基本性質　　227

11.5　連續函數的黎曼可積性　　231

11.6　單調函數的黎曼可積性　　234

11.7　非黎曼可積的函數　　236

11.8　黎曼{斯蒂爾傑斯積分　　237

11.9　微積分的兩個基本定理　　240

11.10　基本定理的推論　　243

第12章　度量空間　　251

12.1　定義和例子　　251

12.2　度量空間中的一些點集拓撲知識　　258

12.3　相對拓撲　　262

12.4　柯西序列和完備度量空間　　264

12.5　緊緻度量空間　　267

第13章　度量空間上的連續函數　　272

13.1　連續函數　　272

13.2　連續性和乘積空間　　274

13.3　連續性和緊緻性　　277

13.4　連續性和連通性　　279

13.5　拓撲空間（選學）　　281

第14章　一致收斂　　286

14.1　函數的極限值　　286

14.2　逐點收斂和一致收斂　　289

14.3　一致收斂性和連續性　　292

14.4　一致收斂的度量　　294

14.5　函數級數和魏爾斯特拉斯M判別法　　296

14.6　一致收斂和積分　　299

14.7　一致收斂和導數　　301

14.8　用多項式一致逼近　　303

第15章　冪級數　　310

15.1　形式冪級數　　310

15.2　實解析函數　　312

15.3　阿貝爾定理　　317

15.4　冪級數的乘法　　319

15.5　指數函數和對數函數　　322

15.6　說一說複數　　325

15.7　三角函數　　331

第16章　傅里葉級數　　336

16.1　周期函數　　336

16.2　周期函數的內積　　338

16.3　三角多項式　　 341

16.4　周期卷積　　343

16.5　傅里葉定理和Plancherel定理　　347

第17章　多元微分學　　352

17.1　線性變換　　352

17.2　多元微積分中的導數　　357

17.3　偏導數和方嚮導數　　360

17.4　多元微積分鏈式法則　　366

17.5　二階導數和克萊羅定理　　368

17.6　壓縮映射定理　　370

17.7　多元微積分的反函數定理　　372

17.8　隱函數定理　　377

第18章　勒貝格測度　　381

18.1　目標：勒貝格測度　　382

18.2　第一步：外測度　　384

18.3　外測度是不可加的　　390

18.4　可測集　　392

18.5　可測函數　　398

第19章　勒貝格積分　　401

19.1　簡單函數　　401

19.2　非負可測函數的積分　　405

19.3　絕對可積函數的積分　　412

19.4　與黎曼積分的比較　　415

19.5　富比尼定理　　417

附錄A　數理邏輯基礎　　421

A.1　數學命題　　421

A.2　蘊涵關係　　425

A.3　證明的結構　　429

A.4　變數與量詞　　431

A.5　嵌套量詞　　433

A.6　關於證明和量詞的一些例子　　435

A.7　相等　　436

附錄B　十進位　　438

B.1　自然數的十進位表示　　438

B.2　實數的十進位表示　　441

文末福利

本期送出3本《陶哲軒實分析（第3版）》，小夥伴說說你學習數學中都遇到過哪些難題，最後都是怎麼解決的？或者說說最讓你難忘的數學公式是什麼？為什麼？截止 2018.6.30 22：00。歡迎小夥伴們暢所欲言。

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