武俠小說中的數學（二）—如何用增乘開方法開更高次方？

封面圖是郭靖黃蓉~

▍引子

我們先繼續來看小說中的情節，上一次我們說到，郭靖黃蓉二人誤打誤撞來到了瑛姑的小屋，看到她正在計算一道開平方的問題，我們繼續來看小說後面的內容：

這次是求三千四百零一萬二千二百二十四的立方根，她剛將運算元排為商、實、方法、廉法、隅、下法六行，算到一個「三」，黃蓉輕輕道：「三百二十四。」那女子「哼」了一聲，哪裡肯信？布算良久，約一盞茶時分，方始算出，果然是三百二十四。

接下來瑛姑又計算了一道開立方的問題，那麼如何來開一個數的立方根呢？其實上一次我們所講的增乘開方法，不只能用來開平方根，還能用來開立方以及更高次方的根。今天我們就來介紹一下如何用增乘開方法開更高次的平方。

▍小說中的bug

書中所寫故事的時代背景是寫到成吉思汗去世為止，成吉思汗死於公元1127年，而關於賈憲的增乘開方法的提出時間，所能找到的最早的記載是楊輝的《詳解九章演算法纂類》，該書寫於1261年。

也就是說，瑛姑所用的開平方的方法，如果按照時間關係上來看，所用的應該是時間更早的《九章算術》中的開平方的方法；但如果根據書中所寫的瑛姑把算籌擺成「商、實、法、借」四行的話，就應該用的是賈憲的增乘開方法了。

而瑛姑所用的開立方的方法，將運算元擺為六行，又是《九章算術》的方法了，用增乘開方法的話只需要擺成五行就夠了。

增乘開方法是賈憲在《九章算術》中開方的方法的基礎上，對傳統方法進行改進，並推廣到了開更高次方的情況，因此，我們還是主要來介紹增乘開方法。

說了這麼多，今天的主要內容就正式開始啦。

▍先復個習

我們先來複習一下，之前所講的增乘開方法的五個步驟：

估算商；

用商乘借加到法上；

實減去商乘法；

再用商乘借加到法上；

法後移一位，借後移兩位。

只要不斷循環這五個步驟，直到實變為0，所得到的商就是我們的結果啦

開平方與開立方的方法是類似的，我們介紹完開立方的方法之後，再經過類比，推廣出開任意次方的方法。

▍舉個例子

接下來我們還是以小說中的這道題為例來計算，為了便於理解，我把每一步計算所變化的數框了起來~

先將被開方數放到實的位置上，並將1置於下法：

將下法的1每次向前移動兩格，共移動了三次，說明商應當是一個三位數：

接下來正式開始計算啦~

1）估算商的值為3（3的三次方為27，小於34）：

2）用商乘下法置於廉（3×1=3），再用商乘廉置於方（3×3=9）：

3）實減去商乘方（34-3×9=7）：

4）商乘下法加到廉（3×1+3=6），商乘廉加到方（9+3×6=27）：

在用商乘下法加到廉（3×1+6=9）：

5）將方、廉、下法一次向後退1、2、3格：

然後我們就可以開始下一個循環啦

1）估計商的十位為2：

2）商乘下法加到廉，商乘廉加到方：

3）實減去商乘方：

4）商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉：

5）將方、廉、下法一次向後退1、2、3格：

第二個循環結束，開始第三遍啦~

1）估計商的個位為4：

2）商乘下法加到廉，商乘廉加到方：

3）實減去商乘方：

我們驚喜的發現，實變成了0，也就是說，我們所求的34,012,224的立方根就是324啦~

▍開立方的步驟

我們來總結一下，開立方其實也是五個步驟：

1.估算商；

2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方；

3.實減去商乘方；

4.商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉；

5.將方、廉、下法一次向後退1、2、3格。

和開平方的步驟一樣，接下來只要不斷地循環以上步驟，直到實為0，此時的商便是所求的根啦~

▍推廣到開任意次方的步驟

我們先把開平方和開立方的步驟放到一起來對比一下：

從這個表格中我們能夠非常容易的找到規律，從而總結出用增乘開方法開任意正整數次方的方法。

假設我們要求一個數的n次方（n為正整數），那麼我們共需要寫出n+2行，前兩行分別是商和實，其餘的n行我們用N1、N2、···、Nn來表示。

將被開方數放入實這一行，在Nn上的最後一格放上一個1，將Nn上的1向左移動，每次移動n-1格，在下一次移動便會超出實的時候停止，此時1移動的次數便是商的位數。

接下來，我們就可以開始進行五個步驟循環的計算啦~

1）估算商。估計出一個商的第一位數的值，設它為a1，a1的n次方應當小於1上面的實的值，而a1+1的n次方是大於它的。

2）依次從下到上填入數字，Nn中已經填入了1，接下來

Nn-1=a1×1

Nn-2=a1×Nn-1

……

N1=a1×N2

3）更新實。新的實=原實-N1×a1

4）更新從N1到Nn。

第1輪：

Nn-1=a1×1+Nn-1

Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2

……

N1=a1×N2

第2輪：

Nn-1=a1×1+Nn-1

Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2

……

N2=a1×N3

如此不斷循環下去，一直重複到第n-2輪，只剩下一步，Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2為止。

5）將從N1到Nn上的數依次向後移動1、2、3、...n個格。

接下來只要重複上述幾個步驟，直至實變為0為止。

如果是無法開出整數的情況的話，實便永遠除不盡，便可以不斷地重複上述步驟，得到後面無窮無盡的小數啦~

▍參考資料

[1] 金庸. 射鵰英雄傳[M]. 北京: 生活·讀書·新知三聯書店, 1994.

[2] 梅榮照. 賈憲的增乘開方法——高次方程數值解的關鍵一步[J]. 自然科學史研究, 1989, (01): 1-8.

[3] 李兆華. 增乘開方法與賈憲三角形[J]. 中等數學, 1986, (1): 44-45.

* 作者：道和，來源：道和老師教數學，本文系作者投稿。

好玩的數學

微信號：mathfun

好玩的數學以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目標，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！