陸晨：比特幣和區塊鏈原來就是數學，更確切地說就是代數幾何
作者：陸晨，平安磐海資本有限責任公司首席風險官，擁有美國紐約大學數學博士學位以及註冊金融分析師（CFA）、金融風險管理師（FRM）、國際風險管理師（PRM）等多種專業資質；為上海交大高級金融學院(SAIF) EMBA特邀教授、香港大學SPACE學院客席教授、清華大學澳大利亞麥考利大學應用金融客座教授，亞洲投資者學會風險管理中心執行董事。
從去年以來，人工智慧 AI 區塊鏈Blockchain 和比特幣Bitcoin 風起雲湧席捲整個中華大地，大街小巷無人不談數字貨幣的神奇。我對區塊鏈一直沒有太關注，只是覺得這是一個新的什麼類似於互聯網的東西，和我學習的數學以及工作的金融沒有什麼交集。因此，我一直沒有太重視和了解區塊鏈。但隨著周圍的人和朋友圈裡的朋友無人不談區塊鏈和比特幣，輪番的信息轟炸強迫我一點點增進了對於它們的了解，特別感謝我的朋友圈裡的幾個好朋友的不斷更新的鏈接和相關的學習材料讓我不斷地被動學習幣圈的知識，直到有一天，我突然大徹大悟：比特幣和區塊鏈原來就是數學，更確切地說就是代數幾何！
在那一瞬間，一個詞在我的腦海中閃現：輪迴。我之所以有這個反應，是因為支持區塊鏈的重要底層加密技術是創新的不對稱加密演算法。現在應用最廣泛的不對稱加密演算法是基於橢圓曲線的加密演算法，其核心來自於代數幾何中橢圓曲線上的算術理論。在中本聰的簡明扼要，驚震四座的八頁紙的比特幣論文開篇的摘要 Executive Summary，作為兩個基本假設之一的就是基於橢圓曲線的算術理論是不可逆的，這個原理保證了區塊鏈的不對稱加密演算法的安全性和可靠性。
我在 1989 年末到 1990 年初首次接觸到這一在當時還是鮮為人知的學科：代數幾何，代數曲線，橢圓曲線。傳道授業的老師之一就是前北大校長，著名數學家丁石孫先生。世事滄桑，經過了這麼多年的風風雨雨的變化，我也從學習純數學轉到學習應用數學偏微分方程方向，對於曾經學習的代數幾何知識，基本都要忘卻了；但對於不期而遇的區塊鏈比特幣浪潮突然把我那段封存久遠的記憶又重新喚起，在腦海中激蕩澎湃，丁先生的諄諄教誨又歷歷在目。
今年適逢北京大學建校 120 年周年的校慶，因為我給北大滙豐商學院講授量化投資課程的緣故，收到了老朋友本力老師特意寄來的精美禮物，非常開心。隨後不久，我在另一篇紀念北大校慶文章中，看到一張很久之前的照片，照片是 70 年代後期，數學泰斗陳省身先生在闊別祖國很久之後，和夫人鄭士寧女士回來受到時任中國最高領導人鄧小平先生的接見。丁先生一同參加接見。看到在照片里我的兩位恩師神采奕奕地站在一起，不禁感慨萬千。陳先生和丁先生作為中國數學家的典範，無論從道德操守、個人修養、學術造詣都是我敬仰和學習的楷模，對我的人生產生了巨大的影響。
時任中國最高領導人鄧小平先生接見陳省身先生及其夫人鄭士寧女士等
作為現代數學的一個重要而且有趣的分支：代數幾何研究的就是一組代數方程的零點所構成的集合（稱為代數簇）的幾何特性。在三維空間內的代數簇就是代數曲線或曲面。它從 19 世紀的上半葉開始以天才的數學家Abel 在研究橢圓積分時發現了橢圓函數的雙周期性， 從而開創奠定了橢圓曲線的理論基礎。後來歷經很多世界最偉大的數 學家的努力，包括 Riemann 發展的代數函數論和複分析；傑出的女數學家E.Noether 和她的學生Van·Der·Waerden 引入交換代數和抽象代數； 龐加萊對於複數域上低維代數簇的分類工作；直到進入 20 世紀，更多的偉大數學家投身於代數幾何的最前沿研究：A.韋伊在 40 年代利用抽象代數的方法建立了抽象域上的代數幾何理論；50 年代中期， 法國數學家J.P.塞爾把代數簇的理論建立在層Sheaf 的概念上，並建立了凝聚層的上同調理論，這個為史上最偉大的代數幾何大帝格羅騰迪克隨後建立概型理論奠定了堅實的理論基礎。概型理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的飛躍發展階段。
橢圓曲線上的乘法
在我幼年的時代，北大就是代表中國近代史上科學和民主的聖殿， 從中學政治課上學習的五四青年運動到後面層出不窮的我所敬仰的科學家們都讓我對於北大有著無比的憧憬和嚮往。
在高中的時候，我突發奇想要報考中國科技大學少年班，不幸被高中的數學老師發現，不知何故，數學老師當著全班同學不點名地把我痛斥了一頓，自此波折之後，去合肥的計劃就被擱置且漸漸忘卻了。後來，參加中國高中數學競賽得以進入由世界著名數學家陳省身先生和南開數學研究所合辦的陳省身數學試點班第一期學習。陳老先生已80 高齡還親自為我們上課，講解微分幾何的真諦，誨人不倦。我對數字和分析的悟性很高，但對於幾何一直是一籌莫展。期末考試來臨之際，只有痛定思痛到圖書館刻苦研讀，才茅塞頓開理解了陳老先生對於現代微分幾何、微分流型、纖維叢理論等美妙動人之處。最後竟然考得非常喜慶吉利的 88 分，總算對得起陳老先生的心血。後來總算有驚無險地完成了陳省身數學試點班的四年本科的數學課程，全心全意地準備進入研究生的學習。
就在我本科的最後一學年 ，1989 年的下半年，在陳老先生的倡導提議和努力下，南開數學研究所舉辦了代數幾何年活動，邀請國內和國際的知名代數幾何、代數曲線、交換代數等最前沿的課題的專家學者。 對於我們這些初涉數學奇景，面對浩瀚數學海洋的年輕學子而言，無疑是大開眼界、彌足珍貴的學習機會，我和其他數學試點班的同學都爭相報名參加這難得的和世界名師大家學習的機會。
那一年的代數幾何年由科大校長著名數學家馮克勤教授主持，邀請丁先生、李克正教授等國內外的著名代數幾何的研究學者前來為中國的學子來傳授這一世界最活躍數學研究領域的最新成果。
作為大學四年級的數學本科生，我們對於代數幾何方面的了解是非常有限的，只是在大三的時候開始學習抽象代數，拓撲學和群論的相關理論。對於代數幾何，代數曲線這一博大精深的課題茫然不知從哪裡開始。
我們在上本科時對北大丁先生就早有耳聞：著名的數學家，造詣深厚，教育家，北大的校長。這次在南開代數幾何年中遇到了難得的機會向丁先生直接求教和學習，是我人生生涯的一個里程碑。
89 年末在南開數學研究所初次見到丁先生的印象，完全不同於我們當時報刊上所報道描述的中國數學家弱不禁風的形象，丁先生身材高大魁梧，滿頭銀髮，精力充沛，非常的和藹可親，丁先生平易近人的態度和對於我們提出的很初級淺顯的問題耐心的講解讓我的緊張忐忑的心情頓時都煙消雲散了。對於代數幾何、代數數論、交換群等對我們還很生疏的內容，經過丁先生的耐心講解都變得不是那麼高不可攀、高深莫測了；對一些關鍵的概念和定理的思路，聽了丁先生的分析講解我才恍然大悟，理解了隱藏在字面背後的那些閃光的靈感和跳躍的思維。
代數幾何的解決問題的方式和我們學習傳統經典數學的方式有著很大的區別，在代數曲線和代數簇上重新定義我們過去熟悉的算術操作，從而發現那些妙不可言的幾何特性，用超越空間想像維度的代數語言來刻畫表達，丁先生所研究的代數數論就是揭示這些代數特性最本質的核心部分，數論也一直被譽為數學皇冠上的明珠。
當他得知我強烈的出國留學想法：到世界數學的最高殿堂——美國去進一步學習深造的時候，丁先生非常支持，並且以一個「老留學生」的身份分享了一些他當時在美國哈佛大學做訪問學者的親身經歷。 在哈佛學習期間，已年過半百的丁先生無懼困難和挑戰，集中精力學習最前沿的橢圓曲線的算術理論。丁先生對於學術研究的忘我態度和鑽研精神深深打動了當時在哈佛任教，後來任著名的普林斯頓高等研究院院長 P. Griffiths 教授，他支持丁先生的研究。後來丁先生利用計算機發現了一條嶄新的橢圓曲線，為人津津樂道。
在不同數域上定義的橢圓曲線上，我們還可以相應地定義加法使得橢圓曲線（代數簇）成為一個加法群。對於同一個代數曲線（橢圓曲線），變換底層的數域，研究它們之間的映射是一個非常優美的方法。當下面的基本數域是 Mod p 的有限數域時，我們就得到了代數數論問題，這也恰好是丁先生所專攻的領域；當我們把下面的基本數域變為複數域的時候，我們就得到了黎曼曲面的復幾何的問題，從而代數曲線橢圓曲線成為連接在兩個看似完全不相關的數學領域間的至關重要的紐帶和橋樑：很多的幾何問題又可以轉化為深刻的代數數論問題來解決，反之亦然。特別要指出的就是定義在 Mod p 的有限域之上的橢圓曲線的離散對數問題就是比特幣數字簽名加密演算法的技術支撐。
複數域上的橢圓曲線
丁先生給我的另外一個最突出的印象就是讓人肅然起敬的教育家， 他的那種特有的教育家的氣魄和風範，當我站在他身邊就可以強烈地感受到。知識學習是成人的一方面，更重要的就是個人的修養，既所謂的「做人」，超越了知識層面到了精神和意識層面，強調人的視野氛圍決定了一個人能走多遠。
丁先生於 1981 年被任命為北大數學系主任，後於 1984 年任北大校長。丁先生是數學家、數學教育家，從事代數和代數數論的研究。丁先生除了數學上的成就，他最被人樂於提及的就是他的高風亮節， 為人師表，丁先生本人就是北大精神的最好體現，他推崇的「科學與民主，兼容並包，求同存異」，最重要核心的東西是尊重人，尊重人的個性，尊重人的自由發展。
丁先生力排眾議，遠見卓識地選擇了代數幾何課題作為中國數學趕超世界數學的一個突破點，經過了二十多年的風風雨雨得到了驗證：代數幾何橢圓曲線在理論研究和實踐應用中佔有越來越重要的地位， 特別是在密碼學，乃至最近的區塊鏈和比特幣的底層技術支持。另外一個非常巧合的事情就是當年在代數幾何年中我們學習的主要教材就是 P. Griffiths 所撰寫的代數曲線橢圓曲線的專著，因此向丁先生請教是再恰當不過了。
丁先生支持我的留學深造計劃，耐心詳細地詢問了我的學習的情況和想選擇的數學專業方向，並且親自為我寫了海外留學的推薦信， 讓我對丁先生的誨人不倦，無私奉獻的精神感動不已，也暗自下定決心向丁先生學習在學術上和人品上齊頭並進，做一個具有遠大抱負和崇高思想的人。
丁先生獨有的教育家和數學家的風範，諄諄教誨和他自己嚴以律己寬以待人，以身作則，高風亮節等對我在海外的求學和以後走出陽春白雪般的象牙塔到瘋狂的華爾街上工作產生了很大的影響，我在以後的華爾街的動蕩起伏, 危機四伏的投資交易生涯中都時時以丁先生為自己的榜樣要求自己有強健的體魄，高尚的靈魂和不畏艱難勇於挑戰的態度，堅韌不拔地向著自己的目標不斷前進。
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