揮之不去的「幽靈」

最新 07-01

要說十七世紀數學最偉大的發現，一定要數「微積分」了。微積分的誕生，創造性地把數學推到了一個嶄新的高度。它宣告了古典數學的基本結束，同時標誌著以變數為研究主體的近代數學的開始。微積分的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。然而針對微積分的基礎---無窮小，而發生的激烈討論卻持續長達一個半世紀，這被後人稱為數學史上的第二次數學危機。

這次危機的萌芽出現在大約公元前450年，古希臘哲學家芝諾提出了很多悖論，其中最著名的一個就是「阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜」：如果阿基里斯跑到了現在烏龜所在的地方，這段時間裡烏龜就會又向前走了幾步。如果阿基里斯又跑到了那個地方，烏龜就又會再往前挪一挪，以此類推，所以阿基里斯永遠也追不上烏龜。這說明了古希臘人已經注意到了「無窮小」。芝諾本來是藉此來反駁時間和空間的連續性問題，令他沒想到的是，這個悖論卻在2000年之後在數學界引起了一場軒然大波。

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阿基里斯）

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牛頓）

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牛頓出生時的房子）

公元1665年，也就是清康熙四年，那一年康熙11歲，英國人牛頓（1643年---1718年）22歲，牛頓剛剛獲得劍橋大學學士學位。就在那一年，距離中國7000公里之外的英國卻爆發了一場前所未有的大瘟疫，有超過10萬人死在這次大瘟疫之中，而牛頓幸運地躲過一劫。為了預防大瘟疫，劍橋大學關閉了，這讓牛頓無學可上，他只能回到林肯郡的家裡生活。在此後的兩年時間裡，牛頓在家裡閑來無事便繼續做研究，並最終發現了使他名垂青史的偉大發現--無窮級數、萬有引力定律和微積分。可惜的是，牛頓並沒有把他發現的「微積分」公開發表，只把其中的一些結果告訴了他的同仁，直到1704年才第一次公開敘述了他自己的微積分版本---流數法。令牛頓沒有想到的是，他的這種做法竟引起了後來著名的「微積分優先權」之爭。

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萊布尼茲）

我們再把目光轉到同一時期的德國，萊布尼茲（1646年---1716年）出生於萊比錫，並在那裡學習了法律，神學，哲學和數學。1666年，萊布尼茲博士畢業，但是學校拒絕授予他法律專業的博士學位，因為他太年輕了，只有20歲。畢業後，他成為漢諾威的一名外交官。萊布尼茨博學多才，在政治學、法學、倫理學、神學、哲學、數學、歷史學、語言學諸多方向都留下了著作，因此他被看作是最後一位偉大的全才，被譽為17世紀的亞里士多德。萊布尼茨於1675年完成微分學的手稿，並於1684年發表，而積分學結果發表於1686年。這兩篇論文中討論了微分與積分，使用了我們現在所使用的積分符號，以及dx與dy，而這些符號因其優越性一直沿用至今。

數學家和哲學家們一直對無窮這一概念爭論不休，特別是在微積分的定義中更是如此。人們又回到無窮大和無窮小的問題上來。

牛頓死後不久，英國大主教貝克萊於1734年發文對微積分公然進行了攻擊，貝克萊說「什麼是流數術？它是無限小增量的速度。那麼什麼是這些無限小增量呢？它們既不是有限的量，也不是無窮小量，什麼都不是。我們怎麼能不把它叫做消失的量的幽靈呢！」「無窮小到底是不是0？」貝克萊的批評一針見血，擊中要害。

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貝克萊）

當時一些其他數學家和學者，也批判過微積分缺乏必要的邏輯基礎。例如，羅爾曾說：「微積分是巧妙的謬論的彙集。」

這也反映了創造和批判之間的關係：創造新的事物要求有非凡的想像力和觀察力，可是敏銳的批判分析能力也未必不需要。對於數學這種邏輯學科來說，常常是在含糊的邏輯上進行大膽的嘗試和飛躍，而嚴密的邏輯證明，就留給後人去進行吧。

第二次數學危機的解決，應該說是從波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄里赫利的工作開始，而由魏爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。

波爾查諾是波希米亞的教士和哲學家，他是微積分嚴格化的先驅，他第一個給出了連續函數的嚴格定義；阿貝爾，挪威數學家，年僅16歲就證明了二項式定理對所有的數字成立，擴展了歐拉的研究：只對有理數成立。阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；柯西，法國著名的數學家，他在1821年的《代數分析教程》中從定義變數出發，認識到函數不一定要有解析表達式。他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變數，無窮小量是以零為極限的變數。並且定義了導數和積分；狄里赫利，德國數學家，給出了函數的現代定義。