德國就是比墨西哥菜？「極大似然估計法」騙過了全世界的賭徒和球迷

概率與似然

一對好夥伴

世界盃已經進行了半個多月了，早已經有黑眼圈了。

這屆世界盃真是冷門頻發，轉折不斷，可謂精彩紛呈，有人歡喜有人憂。有人中大彩，有人上天台。

（你個幾百塊錢的就不要擠上來了）

世界盃球賽的結果是如此錯綜複雜，以致於很少有人能夠準確地預測出每一場球賽的結果。

在這種變幻莫測的運動賽事中，當然離不開概率。今天，超模君就從世界盃球賽的角度來簡單介紹下概率以及他的好基友——似然。

那麼先來說大家是如何判斷一場比賽的結果呢？

一般大家會通過各種信息，如比賽隊伍雙方世預賽或者其他賽事的輸贏情況、進球數等等判斷雙方的綜合實力，將這些已有的信息稱之為參數。根據這些參數，就可以對比賽結果進行推測，得到比賽各種結果的可能性，這就是概率。

舉個相對簡單的例子，一場球賽開賽前，裁判會通過擲硬幣的方式決定雙方的場地選擇權。

把硬幣的正面朝上出現的概率稱為硬幣的參數。假設硬幣是完全公平的，則硬幣正面與反面出現的概率是相同的，都是0.5，即硬幣的參數是0.5。

於是可以推測，投擲10次硬幣，出現5次正面朝上的概率是：

這種根據已有信息即參數推測結果的各種可能性的方式就是求概率。

那麼似然又是什麼呢？

「似然」這個詞是對英文likelihood的一種較為貼近文言文的翻譯，用現代的中文來說就是「可能性」。

概率是在已知一些參數的情況下，預測接下來的觀測所得到的結果。

而似然則是用於在已知某些觀測所得到的結果時，對有關事物的性質即參數進行估計。

比如說，在擲硬幣之前，我們並不知道硬幣是否是公平的，對硬幣自身的性質即參數一無所知，但我們可以根據擲硬幣的結果推測出硬幣的大致參數，這就稱作似然。

再粗略舉一個比賽中的例子，小組賽F組德國對陣墨西哥。根據德國是上屆世界盃的冠軍，而墨西哥止步於十六強，可以推測德國隊綜合實力比墨西哥隊強的概率為「高」，即參數為「高」。

進一步收集更多的信息，發現德國在預選賽取得全勝的優異戰績，墨西哥則是5勝2平1負。所以，進一步推出參數為「很高」。

再看看先前兩隊的交戰情況。歷史上，兩隊在世界盃交手3次，德國保持不敗。1978年世界盃小組賽德國6-0大勝墨西哥。1986年世界盃1/4決賽，兩隊120分鐘戰成0-0，點球戰德國4-1勝出；1998年世界盃1/8決賽，德國2-1逆轉墨西哥。於是，可以認為參數最大的可能性為「極高」，也就是說，德國隊最有可能比墨西哥要強很多。

這種通過已有結果信息，對原參數進行推斷，稱作似然。而推測出最可能的參數值，稱為極大似然估計。

我們會有這樣的感覺，當已有的結果信息越多時，即實驗結果越多，得到的參數可能就越明確。

再舉個例子，出乎人的意料，強大的德國隊敗給了墨西哥隊。如果只根據這一結果對參數進行推測，就推出了參數最有可能為「低」，即德國隊綜合實力最有可能沒有墨西哥隊強。

這種說法顯然有些片面，但這就是似然的本質邏輯。

實際上，當實驗結果越來越多時，推測出的參數值就會更精準。

我們對擲硬幣的例子進行具體分析，擲10次硬幣，發現有6次正面朝上。

我們對該硬幣的性質一無所知，所要推測的就是其最可能的參數值。假設這枚硬幣是完全公平的，即硬幣的參數是0.5，由此計算出以上實驗結果出現的概率為:

當然，硬幣也有可能是不公平。設硬幣的參數為0.6，則實驗結果出現的概率是：

可以看出，參數為0.6使得實驗結果出現的概率要比參數為0.5時的大，即以0.6作為參數的可能性更大，該硬幣更傾向於是不公平的。

為了進一步推出最可能的參數值，進行極大似然估計。設硬幣的參數為，則似然函數為：

作出似然函數的圖像：

從圖像中可以看出，參數值為0.6時，概率最大。D(0.6,0.25)為極值點。當參數值大於或小於0.6時，概率逐漸遞減。0.6為最可能的參數值。

所以要進行極大似然估計，就是要找到似然函數的極值。

增加實驗次數，設已知50次投擲結果，求出現30次正面朝上時硬幣的參數，似然函數的圖像如下：

從圖中明顯可以看出，似然函數大於0的範圍收縮了，也就是說，可以選擇的參數值的分布更加集中了。

隨著已知實驗結果的增多，我們對事物的性質越來越了解，參數也會越來越明確。

極大似然估計法教會了我們世界壓強隊更容易贏，但卻沒告訴我們這屆世界盃愛爆出冷門，你看，德國、阿根廷、葡萄牙、西班牙都回家了，其他所謂的強隊還會遠嗎？

本文由超級數學建模編輯和整理

部分資料來源於網路

轉載請在公眾號中，回復「轉載」

-----這裡是數學思維的聚集地------

「超級數學建模」（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆了解各種思維，做個好玩的理性派。60萬數學精英都在關注！

「徵稿啟事」

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！