基於節點的局部網格生成演算法及其應用研究——張偉偉
論文題目：基於節點的局部網格生成演算法及其應用研究
英文題目：Node-based Local Mesh Generation Method and Its Applicatio
作者：張偉偉
指導教師：聶玉峰
培養院系：理學院
論文研究方向：有限元並行計算、網格生成技術、泡泡布點方法
研究背景與意義
工程和科學領域中的很多物理現象可以通過偏微分方程來描述和建模。由於求解區域、便捷條件及材料特性等多種因素的影響，通常很難得到這些偏微分方程組的解析解，只能退而求其次用計算機技術進行數值模擬。
現有的偏微分方程數值解法主要包括有限元方法、有限差分法、有限體積法及邊界單元法等。結合了Ritz-Galerkin 方法和基於單元的分片多項式插值逼近而誕生的有限元方法，已在眾多的科學研究及工程技術領域取得巨大成功。有限元方法有如下顯著的優點：① 靈活的網格單元可以離散複雜的求解區域；② 基函數的形式簡單，大多是多項式；③ 基函數滿足ker Kronec 條件，邊界處理方便。儘管多邊形或多面體也有被用作離散單元, 但當前主流的網格生成方法一般仍採用三角形元或四邊形元離散二維的求解域和三維的表面區域, 採用四面體元或六面體元離散三維求解域。隨著計算機技術、數值求解理論及相關應用學科的發展, 人們對數值模擬真實性的需求也不斷提高。為適應這樣巨大的挑戰, 網格生成作為數值模擬全過程的關鍵一環,研究與複雜幾何區域或複雜物理過程相匹配的網格生成技術是非常有必要的。
主要研究內容
主要研究方向
各向異性網格生成方法和以映射法為代表的曲面有限元網格生成方法、自適應有限元網格生成中常用的三種方法、現有的並行網格生成演算法分類。
主要研究內容
（一）並行的泡泡布點方法研究
節點分布的優劣對數值解的精度有重要影響，目前已有許多學者對節點的布置方法進行研究，然而這些工作主要集中於串列演算法的設計，在並行實現上並沒有太多的討論分析。本文針對泡泡布點方法 （針對無網格和有限元方法中的布點需求,借鑒分子動力學方法和泡泡網格化方法的思想和處理技術,提出一種單純的布點方法），提出了並行化實現的框架。泡泡布點方法通過引入鄰接鏈表存儲周圍節點的信息，避免了泡泡網格化處理過程中不斷地網格重劃分，能夠生成疏密過渡自然的、高質量的節點集。在二維並行節點布置時，提出了基於 METIS 軟體包的區域分解方法，並將每個子域上的節點分為三類：本地節點、邊界節點和外部節點。同時，給出了相鄰處理器在動態模擬時的數據通信的組織與管理，並通過數值算例討論了該並行方法可擴展性、並行性和加速比等，旨在將來研究基於節點的並行有限元求解大規模問題時起到一些啟示作用。
（二）基於泡泡布點的局部網格生成方法及其應用
在基於節點局部網格生成時， Yagawa 等提出的諸如基於探索圓的局部Delaunay三角剖分演算法等，都一直難以擺脫網格的不一致性問題； 聶等 針對任意分布的節點集，提出局部網格生成方法，該方法雖然適用範圍廣，但需要建立桶數據結構進行鄰近節點的查找，而且節點集是作為已知信息輸入，關於如何高質量地生成區域內的節點集並未提及。本文基於泡泡布點方法給出一種全新的基於節點的局部網格生成方法BLMG（Bubble-type Local Mesh Generation），該方法只需根據 Delaunay 外接圓準則刪除每個計算節點的鄰接鏈表中極少數的非衛星點，便可快速得到該節點對應的單元片。BLMG 簡單高效，生成網格與 Delaunay 三角剖分網格一致，而且有利於並行化的實現。同時，用橢圓泡泡代替圓泡泡進行動態模擬，提出了各向異性的 BLMG 方法，並基於映射法將各向異性的 BLMG 方法應用到參數曲面網格化問題，得到滿足由黎曼度量控制的網格尺寸要求的網格。
（三）橢圓型偏微分方程的 BLMG 自適應有限元方法
自適應有限元方法憑藉其高效的特點，在眾多科學與工程問題中得到廣泛應用。本文借鑒了兩類常用的殘差型後驗誤差估計子，提出了基於 BLMG 的自適應有限元演算法。根據計算得到的後驗誤差估計子，給出了一種修正網格尺寸函數的方法，並討論了閥值參數的選擇對自適應求解精度的影響，獲得了一組較為合理的閥值參數。最後，通過數值算例驗證了本文提出的方法具有指數型的收斂速度，在同一框架內可以同時實現網格的加密和稀疏，且在所有的細化層網格均保持高的質量。同時，通過與高度優化的自適應有限元方法的比較，說明了本文方法能以較少的自由度取得所要求的逼近精度。
（四）定常 Stokes 方程的 BLMG 自適應方法研究
本文探討了基於 BLMG 的自適應混合有限元演算法的可行性與有效性，並用其求解 Stokes 問題。數值算例表明，利用兩種類型的後驗誤差估計子進行求解時，均能得到較高的收斂率，驗證了基於 BLMG 的自適應方法的靈活性，它不依賴於具體指定的估計子。同時，將本文的方法與自適應有限元軟體包 FreeFem++相比較，驗證了基於 BLMG 的自適應技術生成的網格在局部加密區域過渡更加自然，在解梯度變化大的地方能更好地捕捉解的奇異性行為。
主要研究成果
(1) 將由泡泡運動建立離散點集問題看作是在粘性介質中離子運動的平衡問題，優化設計離子運動控制方程的數值求解方法、粘性控制係數以及離子作用力的大小，使得離子快速趨於平衡，並得到高質量分布的節點集。
(2) 提出並實現了藉助 METIS 區域分解的並行泡泡布點方法，該方法能夠將區域分解成任意個數的子域，具有很好的可擴展性和並行效率，且子域交界面附近的節點在並行布點後光滑過渡，不需要額外處理。泡泡並行化的實現有效地減少並行有限元方法前處理過程的時間消耗，提高基於節點的並行有限元求解體系的效率。此外，泡泡布點方法生成的節點既可用於有限元前處理過程，也可以直接應用於無網格分析，具有廣闊的應用前景。
(3) 基於泡泡布點方法生成的高質量節點集, 藉助鄰接鏈表構建了局部網格生成方法，用全局優化網格的惟一性消除局部網格生成時可能產生的不一致性，計算簡單高效，具有天然的並行性。同時根據牛頓第二運動定律，用橢圓泡泡代替圓泡泡進行動態模擬，提出了各向異性的局部網格生成方法並將這種方法應用到參數曲面網格化問題中，得到滿足度量矩陣要求的網格。
(4) 借鑒已有的後驗誤差估計技術，建立基於 BLMG 的自適應有限元演算法。通過在網格尺寸函數中引入加密和粗化因子閾值，在同一框架下實現了網格不同程度的加密和放粗，避免設計額外的粗化步驟。將基於 BLMG 的自適應有限元演算法應用到橢圓型問題和 Stokes 問題的求解中，驗證了該方法的可行性和魯棒性，它能夠用盡量少的自由度達到所要求的逼近精度，且得到最優的收斂速率。
代表性學術成果
文案整理丨蒲紫凌
美編丨又清
