數學家告訴你：何時謹慎觀察，何時果敢行動？

最新 07-10

文章節選自《演算法之美：指導工作與生活的演算法》

假設你想在市區中心的單位附近租個房子，你會怎麼做呢？是左顧右盼，謹慎一些，還是立刻先下手為強？

理論上講，認真調查、仔細斟酌是理性消費者的一大特徵，但是諸如北上廣這樣的殘酷市場，並沒有給你留下多少權衡的機會和時間。

隨便逛街買個衣服，你尚且可以反覆權衡再做出決定，但是在租房子上面，你並沒有這個特權——你必須迅速做出決定：要麼捨棄其他所有可能的選擇，就選定當前正在看的這套房子，要麼掉頭就走，再也不要回頭。

那麼，如何才能在眾多選擇中，做出最優判斷呢？答案就是，37%。

37%

繼續挑選與立刻下手之間的最佳平衡點

當然，租房子還有其他要考慮的因素，諸如社區環境、你的預算、是離公司近一些還是遠一些、近多少又遠多少……我們簡單起見，姑且假設，你唯一關心的就是盡最大可能增加挑中最理想公寓的機會。你的目標是把「看過的好房子被人挑走」與「還有好房子沒來得及看」這兩種遺憾的發生概率降至最低。

?於是，你立刻發現自己陷入了兩難境地：如果沒有衡量的標準，如何判斷一套公寓是否是最合適的呢？如果你不先看一些公寓（這些公寓將被你放棄），又如何確定衡量標準？你收集的信息越多，越能在最合適的機會出現時準確地認出它，但是你已經與最合適的機會失之交臂的可能性也越高。

那麼，到底該怎麼辦？如果收集信息的行為會危及結果，那麼怎樣才能在掌握足夠多信息的基礎上做出明智決定呢？這個令人極其為難的情境近乎於一個悖論。

好消息是，這個平衡點已經被數學家找出來了。

答案就是37%。

作者布萊恩·克里斯汀和湯姆·格里菲思，在新書《演算法之美》這本書中提到：如果你希望選中最合適公寓的可能性達到最大，那麼在看前37%的房子時不要做出任何決定（如果你準備花一個月的時間挑選房子，那麼在前11 天不要做出決定）。這段時間你是在為制定標準做準備，因此看房子時把銀行卡放在家裡吧。

但是，過了這個時間點之後，你就要做好隨時簽約的準備（包括準備好定金等），一旦你對某套房子的滿意程度超過之前看過的所有房子，就立刻下手。在繼續挑選與立刻下手之間做出的這種妥協，並不僅僅是一種直覺，而是已經得到證明的最優解。

為什麼是37%？——著名的「秘書問題」

找房子的問題屬於數學上的「最優停止問題」（optimal stopping），也就是如何在面臨一連串選擇時，做出最優決定。最優停止問題經常會改頭換面，以不同的形式出現在我們的生活當中。而它最大的難點，不在於選擇哪一種可選方案，而是確定自己需要考慮多少種可選方案。

「37%法則」源於所謂的「秘書問題」——最優停止問題中最著名的一類難題。秘書問題的情境與我們前面考慮過的租房難題十分相似。

假設一堆人申請一個秘書崗位，而你是面試官，你的目標是從這堆申請人中遴選出最佳人選。你不知道如何給每一名申請人評分，但是可以輕鬆地判斷哪一名申請人更加優秀。(用數學語言來表述，就是說你只能看到序數，即申請人相互比較的排名，但是無法看到基數，即在一般性評分標準下的得分。)

你按照隨機順序，每次面試一名申請人。你隨時可以決定將這份工作交給其中一人，而對方只能接受，於是面試工作就此結束。但是，一旦你否決其中一名申請人，就不能改變主意再回頭選擇他。

在選擇秘書時，遴選程序停止過早或者過晚都會導致不理想的結果。停止過早，最優秀的申請人還沒有得到亮相的機會;停止過晚，就說明你在為一位根本不存在的更優秀的申請人保留這份工作。要取得最理想的結果，顯然需要在兩者之間找到最合適的平衡點，在甄選時既不可遲遲不決，又不可草草收手。

如果找到最優秀申請人是你追求的唯一目標，那麼在整個面試過程中，只要不是已有申請人當中的最優秀人選，你都不會接受。但是，僅僅達到「目前最佳」這個條件，還不足以說服面試官。

比如說，第一名申請人毫無疑問就符合這個條件。一般而言，我們有理由相信，隨著面試程序不斷進行下去，出現「目前最佳」申請人的概率將不斷下降。例如，第二名申請人是截至目前最優秀申請人的可能性是50%，第五名的可能性只有1/5，第六名的可能性只有1/6，以此類推。

因此，隨著面試工作的深入，目前為止最優秀申請人一旦出現，必然會令人眼前一亮(別忘了，根據定義，這名申請人比之前所有申請人都更加優秀)，不過，這種可能性在不斷降低。

所以說，看到第一個目前最優秀申請人就欣然接受(也就是說，面試第一名申請人之後就結束面試程序)，顯然是過於草率了。在一共有100名申請人時，也不能因為第二名申請人比第一名申請人更優秀就迫不及待地選擇他，因為這種做法同樣有些操之過急。那麼，我們到底該怎麼辦?

?憑直覺，我們可以找到幾種應對的辦法。例如，當第三次(或者第四次)出現勝過前面所有的申請人時，就把工作機會交給他。或者，在連續多個申請人都不理想的情況下，一旦出現一名目前為止最優秀的人選，就毫不猶豫地接受他。

?但是，事實證明，所有這些相對來說似乎有道理的策略都算不上是最明智的做法。如果只有一名申請人，這個問題就非常簡單——接受她的申請!如果有兩名申請人，無論你如何選擇，你成功選到優秀人選的概率都是50%。你可以接受第一名申請人(此時，她是半程最優秀申請人)，或者拒絕她，而拒絕第一名申請人就意味著接受第二名申請人(她也是半程最優秀申請人)。

如果有第三名申請人，情況就一下子變得有意思了。如果隨機選擇一名申請人，得到理想結果的概率是1/3，也就是33%。有兩名申請人時，我們沒有辦法取得比碰運氣更好的結果。那麼，在有三名申請人時，會怎麼樣?

?事實證明，我們可以取得更理想的結果，而其中的關鍵就在第二場面試。在面試第一名申請人時，我們沒有任何信息——她肯定是目前最優秀的申請人。在面試第三名申請人時，我們沒有任何能動性——我們只能將工作機會交給這名申請人，因為我們已經拒絕了其他人的申請。

但是，在面試第二名申請人時，我們既掌握了一些信息，又有一定的能動性——我們知道她與第一名申請人相比孰優孰劣，同時我們既可以接受她，也可以拒絕她。如果她比第一名申請人優秀，我們接受她，反之就拒絕她，那麼會產生什麼樣的結果?事實上，在有三名申請人時，這是最理想的方案。令人吃驚的是，在有三名申請人時採用這個方法，與有兩名申請人時選擇半程最優秀人選的方法相比，效果不相上下。

在有4名申請人時，窮舉所有可能的情況之後就會發現，我們仍然應該在面試第二名申請人時採取行動；如果一共有5名申請人，我們應該等到面試第三名申請人時才採取行動。

隨著申請人數不斷增加，觀察與行動之間的分界線正好處在全部申請人37%的位置，從而得出了37%法則：在考察前37%的申請人時，不要接受任何人的申請；然後，只要任何一名申請人比前面所有人選都優秀，就要毫不猶豫地選擇他。

事實證明，利用這種最優方案，我們選中最優秀申請人的概率為37%。方案本身與出現理想結果的概率正好相等，這是這類問題表現出來的令人奇怪的數學對稱性。

上表列出了申請人數不同時的秘書問題最優解決方案。從中可以看出，隨著申請人數不斷增加，取得理想結果的概率(以及從觀察期切換到行動期的時間點)在37%左右。（其實，應該是略低於37%。準確地說，考察申請人的最優比例是1/e，其中e是複利計算中經常出現的數學常數，等於2.71828……。但是，如果你記不住e的12個小數位，也無須著急。只要這個比例在35%與40%之間，取得最理想結果的可能性就非常接近於最高值。）

?採用最理想的方案也會有63%的失敗率，這是一個令人警醒的事實。在面對秘書問題時，即使我們採取了最理想的行動方案，在大多數情況下也會遭遇失敗，也就是說，大多數情況下我們都無法選中所有人選當中最優秀的那名申請人。

對於把愛情視為尋覓「真命天子」的人來說，這確實是一個壞消息。不過，也不完全都是壞消息。直覺告訴我們，隨著申請人數的不斷增加，選中最優秀申請人的可能性將穩步下降。例如，如果採用隨機選擇的方式，在申請人總數為100時，我們得到理想結果的可能性是1%，在總人數為100萬時，可能性就會降到0.0001%。

但是，令人意想不到的是，秘書問題的計算結果不會發生變化。如果採用最優停止理論，在100人當中選中最優秀申請人的可能性是37%。而總人數是100萬時，無論你相信與否，你得到理想結果的可能性仍然是37%。因此，申請人總數越多，最優演算法理論就越有價值。的確，在大多數情況下，大海撈針都會無功而返，但是，無論「海洋」多麼遼闊，最優停止理論都是最理想的工具。

?《演算法之美》強調，最優停止問題經常會改頭換面，以不同的形式出現在我們的生活當中。

比如，在駛入停車位之前，需要繞整個停車場多少圈？在商業風險中何時套現脫身？在擇偶上，何時觀望，何時步入婚姻殿堂？當你再次面對這類問題時，至少可以通過數學方法來解決。藉助並不繁複的演算法，我們不僅可以解決找房子的問題，生活中遭遇的所有最優停止問題都可以被妥善處理。