巴比倫的數學

美索不達米亞的歷史可以上溯到有文字記載的最古老的歷史，公元前3100年，蘇美爾人就開始在這個地方建立城邦。統治者歷經更替，公元前539年波斯帝國摧毀了巴比倫，公元前332年征服者亞歷山大將希臘文明帶入這片區域。這一地區的部落和城邦分布在幼發拉底河（Euphrates）和底格里斯（Tigriss）河附近。文明和文字在此地沒有中斷過，由於實用的緣故，數學一直按著自己的步調緩慢發展，直到古巴比倫滅亡楔形文字的地位衰落，之後古希臘的文明又和兩河流域的文明產生融合。

美索不達米亞地區的文明

數學在巴比倫人生活中的地位可能與現今相仿，雖然在建築，農業和商業中是必需品，但並不是人人需要全部理解，天文曆法等知識也只有神職人員負責。當時的書寫系統（writing system）並不完善，數字元號並不像現在的阿拉伯數字那麼簡單易懂。巴比倫人並不需要像現代一樣複雜的微積分知識，由於工業並未出現手工藝也粗糙，複雜的現代數學即便發明也沒有用武之地。對於他們來說算數和幾何能夠解決絕大多數的問題。此地的數學發展並非像古希臘人那樣注重形式和精確性，實用性引導著專業人員的思考。

我們對兩河流域文明的理解源於近百年來出土的石板。石板的製作工藝比較簡單，在泥土未乾的時候用蘆葦筆刻畫符號，然後晒乾。石板可以放到水中溶解並重複利用。古人並沒有想要長期保存文字信息，只有意外被火烤過的那些石板留存了下來。當然對於重要的文書，他們還是會用窯燒制。這種可重複利用的材料並非只有石板，古羅馬人使用蠟版寫字，筆還是使用蘆葦筆，寫完後刮一下就可以再利用。石板可能是當時除了石刻之外第二好的信息保存技術，古埃及人發明的莎草紙並不容易保存，粗陶器能保存很久不會氧化不會鏽蝕，。楔形文字是石板上常見的符號。

楔形文字的石板

Stylus，一般用蘆葦製成，中世紀仍在使用

為數字單獨設計符號是一個重要的事情，數字是抽象的東西，並不像牛羊等家畜一樣可以用圖畫作為符號。進位制系統（Positional Notation）是現今通用的記數系統（Numeral System），比如十進位逢十進一，或者計算機系統中的二進位系統。我以前曾經問過「一進位系統是否存在?」，是有的。Tally mark 是一種用橫線或豎線來計數的系統，而不需要像二進位那樣需要 0 和 1 兩個符號。

Tally mark，一種一進位系統，監獄的犯人常用

楔形文字中的數學符號使用60進位，可能是因為60能被2、3、5整除，做分數除法比較方便。此外如果貨幣用2、3、5等面值也容易計算找零。楔形文字本身還能看出 Tally mark 的影子，具體楔形文字如何書寫，網上能找到教學視頻，這裡就不做說明了。由於沒有發明零的符號（這個符號在公元7世紀由印度人發明）楔形文字的數字會有歧義問題，比如603可能解釋為63，具體要看上下文。

楔形文字的數學符號

進位制系統有很多優點，其中之一是能夠表記各種大小的自然數而不需要發明新的符號。羅馬數字的問題在於如果要表示很大的數字，就要發明新的符號（digits，用於表示單個數字的符號），這種做法限制了實際運用。此外進位制系統的加法和乘法表更加簡單，所以當羅馬人把算數當作高等教育內容的時候，我們這個時代小學就學完了。

巴比倫人的實用主義為加減乘除等算數運算設計了特殊的表示方法。乘法使用了分配律簡化計算，除法依賴於倒數表，轉換為乘法來計算。為此他們也涉及到了分數的表示。

巴比倫人使用一部分無理數，比如根號2的近似值。建築設計的時候需要處理三角學，避免不了這些問題。此外他們可能並沒有意識到無理數和普通分數的區別，雖然給出的是無理數的分數近似值，但可能沒有無限不循環小數的概念。

巴比倫人能處理一些帶有多個變數的代數問題，能處理二次方程。一部分原因是他們需要理解天文現象，進行天文觀測。巴比倫人處理幾何問題直接轉換成代數方程求解，而石板上似乎很少有幾何圖形（沒有發現圖片）。雖然他們知道一些畢達哥拉斯數，但是卻沒有畢達哥拉斯定理，有種雖然到門口但卻沒進去的感覺。為了解決代數方程的表示問題，巴比倫人有自己的未知數符號。巴比倫人的數學缺乏像希臘人那樣系統化的推理過程和證明，這是比較常見的。古希臘人的形式方法是個異類。

巴比倫的的數學用於計算長度、面積、體積，在商業上計算價格、稅、利率和複利。大量有數學記載的石板都是關於經濟問題的。建造運河、水壩和灌溉設施需要計算材料的用量，需要用幾何方法設計工程建築的結構。需要計算計算糧倉的體積，公共建築的佔地面積，土地的劃分。項目施工需要計算的人力以及天數。

蘇美爾人的天文學以及後來幾代王國的天文學的都偏於性質的描述。此後的天文學逐漸注意到要通過記錄天體運行的數據，量化用於計算。巴比倫的天文學關注太陽、月亮和可見行星的運動規律，記錄天體運動，制定星曆表，並給出計算每年的特定時間天體在什麼位置的公式。大約公元前419年的時候，有人記載了星座和黃道十二宮。

天文學有許多用途，一個是制定曆法，曆法由太陽月亮和地球的相對位置決定，曆法又決定了農業種植的日期和宗教日的時間。巴比倫人使用陰曆，用月亮來計算年和月，但是由於月亮本身繞地周期不是整天，而且農業種植和地球的公轉周期有關，這樣的曆法相對複雜。巴比倫人知道夏至日、冬至日、春秋分點的時間。這一曆法被後來的古希臘人和古羅馬人沿用，直到公元前45年，凱撒頒布了儒略曆。

美索不達米亞平原上的數學發展思路以實用為主，由於缺乏形式化方法，他們並不能將數學當成一門獨立的學科，因此無法研究複雜的數學理論。使用數學理論來更新工程方法的思路是不存在的。當希臘化時代開始後一切都改變了。

——

後記：我重新開始寫作是想搞明白概念的起源、流變和潛化。人類社會是由概念構建起來的，又在不斷構建新的概念。而概念並不是憑空想像的，和實際的應用密不可分，抽象的概念看似無用，其實是 beg for application。我在半年的學習思考後嘗試建立起一套新的看待世界的方法。這個公眾號會記錄我關於理念的思考和對於應用的體會。我的目的並非從維基百科或者專業學術書中牙牙學語，而是從中找到被忽略掉的事實，並加以運用。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！