狹義相對論的數學推導
本章涉及知識點
1、伽利略變換的數學推導
2、狹義相對論的兩個基本假設
3、洛倫茲變換的數學推導
4、狹義相對論的時空觀
5、狹義相對論的數學分類討論
6、狹義相對論案例的求解分析
7、python編程來求解案例
一、伽利略變換的數學推導
在引入相對論之前，我們必須先要了解牛頓經典力學的支柱—伽利略變化。該理論中，牛頓和伽利略認為空間是獨立的，與參考系中物體的運動狀態無關，且時間是均勻流逝的
即伽利略的時空變化是：空間和時間都是絕對的
如下圖實驗所示
其中S和S"是兩個慣性參考系，對任意事件P在S和S"中的坐標分別為（x,y,z,t）和（x",y",z",t"），顯然，我們要研究的時空關係，即是研究空間變化(x和x"、y和y"、z和z"這三個方向)，以及時間變化(t和t")的關係即可。我們假設S"相對於S以平行於x軸的速度v做勻速運動
研究的事件為：以兩個參考系的坐標原點O和O"重合為計時起點，經過時間t後兩個參考系觀察到S系原點的位置關係？
由於我們推導是的伽利略變換，時間是絕對的，所以我們可以得到時間的變化關係為
上面的方程式說明，時間是不受觀察者所在參考系的運動狀態影響，即時間是絕對的
下面我們來看兩個參考系的空間關係，由於運動只發生在x軸，所以我們可以得到y軸和z軸的空間變化關係為
當在S系中觀察S系的原點時，S系的x軸關係為
而在S"系中觀察該點時，S"系的x軸關係為
我們將上面兩個式子整合為
經過上面分析，我們得到了伽利略變換的時空數學方程表達式為
我們對上面的方程式中的每個式子對時間t求導數，可以得到速度變化為
我們在對上面的方程式中的每個式子對時間t求導數，可以得到加速度的變化為
可以看到，在S參考系中牛頓力學F=ma，則在S"參考系中F=ma"也成立，所以伽利略變換是牛頓經典力學的基礎
但是在狹義相對論中，愛因斯坦卻認為時間和空間是相對的，並不是絕對的！現代物理學中電、光、磁現象也是符合相對性原理的，即時間和空間的關係和伽利略變換髮生了嚴重的矛盾衝突，故而我們需要一套新的數學方程組，來調和牛頓的經典力學和愛因斯坦的狹義相對論，而洛倫茲變換就是做這件事的
二、狹義相對論的兩個基本假設
在推導洛倫茲變化之前，我們需要知道狹義相對論的兩個基本假設
（1）相對性原理：一切物理定律的方程式在洛倫茲變化下，依舊保持其數學形式
（2）光速不變原理：在所有慣性坐標系中，真空中的光速保持不變，且光速c是物質的極限速度
有了上面兩個基本假設，接下來我們就可以推導洛倫茲變化
三、洛倫茲變換的數學推導
仍然以推導伽利略變化的實驗來研究，首選我們需要認清一個事實，時間不是絕對的！所以在S和S"參考系中，時間的關係也是相對的，即
這個方程非常重要，這也說明了我們不能從絕對時間出發來推導空間關係，因為時間是相對的
同理，因為運動只發生在x軸，所以我們也可以得到y軸和z軸的空間變化關係為
當在S系中觀察S系的原點時，S系的x軸關係為
而在S"系中觀察該點時，S"系的x軸關係為
注意上式中右側是t"（要和伽利略變化推導區分開），我們整合兩個式子為
由於我們認為時間和空間是均勻的，即時空坐標的變化是線性的，因此我們設K是一個比例常數，可以得到S參考系中任意一個點的空間x坐標為
同理設K"是一個比例常數，我們也可以得到S"參考系中任意一個點的空間x"坐標為
由狹義相對論的第一條相對性假設，慣性坐標系S和S"的數學表達式一致，即二者是等價的，則可以得到比例闡述K和K"的關係為
下面我們需要求解出這個常數K，此時我們還需要一組方程組，由義相對論的第二條光速不變原理，同理我們假設光信號在S系和S"系的原點重合處開始計時，在任意一個時刻沿著x軸前進，則光信號到達S和S"系中的位置橫坐標分別為
上面方程式中的c代表著光速，根據狹義相對論的第二個假設，c不受所在坐標系的運動狀態影響，它是一個常數，是任意物質速度的極限，則我們將上面兩個關於c的方程式左右相乘得到
我們將S系和S"系中的橫坐標(x和x")的表達式也左右相乘得到
我們將上式中的x和x"用ct和ct"帶入整理得
聯立x和x"的兩個表達式，得
至此我們就求出了常數K的表達式，並且由上面的數學推導中可以看出，要保證分母不能為0，且根號里表達式非負，即滿足
這個不等式約束條件說明了光速c是任何物體的極限速度
我們帶入K的表達式，就可以得到x和x"的洛倫茲數學方程為
為了方便以後的推導，我們設r為
我們稱r為洛倫茲因子，可以看到r只與坐標系的運動速度v和光速c有關，是一個常量，則關於S和S"的位置橫坐標變化的數學方程可以寫為
下面我們聯立x和x"的洛倫茲數學方程，來帶入消元分別求解洛倫茲時間的變化方程
消去x得到關於t的變化方程為
我們帶入r計算出右邊括弧里的第一項結果為
帶入右邊第一項括弧的計算結果，繼續化簡t的洛倫茲變化方程為
同上面的解方程方法，我們消去x"就可以得到關於t"的洛倫茲變化方程為
至此，我們以狹義相對論的兩個基本假設為基石，通過求解方程租的方法，推導出了兩個參考系之間關於時間空間變化的數學關係—洛倫茲變化方程（洛倫茲時空數學方程）
從這組方程可以明顯的看出，時間不在是絕對的，而是相對的，時間已經和所處世界的運動狀態產生了聯繫，同時洛倫茲變化也是狹義相對論的基本方程組
四、狹義相對論的時空觀
有了以上關於洛倫茲變化的推導，狹義相對論的時空觀認為：同時是相對的
即在一個慣性坐標系中，不同地點同時發生的兩件事情，在另外一個慣性坐標系中不一定是同時的！
考慮一個實驗，S"為一列高速運動的列車，S為列車站台，有AB兩個觀察員，A站在列車裡跟隨列車一起運動，B站在站台上，列車的天花板上偶遇一盞關閉的吊燈，AB觀察員做同一件事情：同時記錄打開弔燈後，光線照射到車廂左右兩邊的時間，如下圖所示
我們設光線照射到列車左側的事件為P1，照射到列車右側的事件為P2，根據實驗要求，AB觀察員要同時測量吊燈打開後P1和P2發生的時間關係？
（1）對於觀察者A：他的參考係為S"，則A，吊燈都是相對於列車靜止的，則P1事件和P2事件都是同時到達，即P1消耗的時間 = P2消耗的時間
（2）對於觀察者B：他的參考係為S，則吊燈是運動的且運動狀態和S"一致，由於光源射向列車左側(P1事件)的方向與列車的運動相反，而射向列車右側(P2事件)的方向與列車的運動相同，由光速不變的原理，光線會先到達左側，再到達右側，即P1消耗的時間
為此，我們得出一個結論：同時性與參考系的運動有關，即同時是相對的
下面我們用數學方法的推導，來證明這個結論
五、狹義相對論的數學分類討論
假設有兩個事件P1和P2，在S參考系中的時空坐標為
在S"參考系中的時空坐標為
由倫倫茲方程得到事件P1在S和S"參考系中發生的時間關係為
由倫倫茲方程得到事件P2在S和S"參考系中發生的時間關係為
則在S和S"參考系中測得這兩個事件發生的時間間隔為（t2" - t1"）和（t2 - t1），它們的數學關係為
得到不同參考系下兩個事件發生的時間間隔的數學方程後，我們需要分類討論這個方程的可能情況
（1）如果：在S系中P1、P2同時刻發生，但在不同地點發生
上述討論情況翻譯為數學語言即為
帶入時間間隔方程後，就可以得到在該情況下，S"參考系中發生P1和P2的時間間隔為
從上述推導的時間間隔方程中，我們可以得出結論：同樣的兩個事件P1P2，如果在參考系S下同時刻但不同地發生，那麼在參考系S"下將不會是同時刻發生！
（2）如果：在S系中P1、P2同時刻發生，且同地點發生
上述討論情況翻譯為數學語言即為
同理，帶入時間間隔方程後，就可以得到在該情況下，S"參考系中發生P1和P2的時間間隔為
從上述推導的時間間隔方程中，我們可以得出結論：同樣的兩個事件P1P2，如果在參考系S下同時刻且同地發生，那麼在參考系S"下也是同時刻發生！
（3）討論在參考系S下發生某個事件，則該事件在參考系S"中的因果關係
設在S參考系中，邏輯事件為：質點經過△t後，到達位置x+△x處
則由洛倫茲變化得到該質點在參考系S"下的時間方程為
在研究事件的因果關係順序，即要分析不同參考系下事件的時間方程的符號，如果符號相同，則說明在不同參考系下，同一個事件發生的因果關係不變；如果符號不同，則說明在不同參考系下，同一個事件發生的因果關係會發生顛倒
下面設△x對時間△t的導數為u，即
整理質點在參考系S"下的時間方程為
由於c > u、c > v，則比較上式就得到不同參考系下同一個事件發生的因果關係為
從上述推導結果中，我們可以得出結論：在不同參考系下，同一個事件發生的時間方程符號是同號的，即事件的因果關係一致，事件的邏輯順序不會發生顛倒
（4）當參考系S"的運動速度v遠遠達不到光速c時
上述討論情況翻譯為數學語言即為
由於上述不等式的限制，我們的洛倫茲因子將近似趨近於
則在S"參考系下的時間方程將趨近於
顯然，上述方程結果就是伽利略變化方程！
從上述推導結果中，我們可以得出結論：當參考系S"運動的速度遠遠小於光速c時，洛倫茲時空方程就變為了伽利略時空方程，即此時回到了牛頓經典力學！（現實生活中大部分都是這種情況）
同時我們也可以得出另一個結論：洛倫茲方程是連接愛因斯坦狹義相對論和牛頓經典力學的橋樑！
六、狹義相對論案例的求解分析
推導完了狹義相對論中的洛倫茲變化，我們來看以下案例：
案例：在慣性坐標系S中，有兩個事件同時發生，且在x方向上相距1000m，從另一個慣性坐標系S"中觀察這兩個事件在x方向上相距2000m，求在S"系測得這兩個事件發生的時間間隔是多少？
顯然，根據狹義相對論的時空觀，同時具有相對性，且根據第五點的分析，同時不同地方生的兩件事，在別的參考系觀察，這兩件事一定不是同時的，下面我們通過洛倫茲變化來求解這個問題
首先由洛倫茲方程得到這兩件事件在參考系S"中x方向的距離間隔為
我們從這個方程中求解出S"坐標系的移動速度v，則需要用上式變化出v的方程式
可以看到參考系S"的運動速度v是一個關於變數v的二次函數，我們可以用二次函數的求根公式來求解v，注意既然是二次函數，我們就必須依據根的判別式來判斷根的解情況
求解出v之後，我們用洛倫茲方程就可以求出這兩個事件在參考系S"中觀測的時間間隔為
七、python編程來求解案例
通過上述推導分析，我們將數學語言翻譯成Python代碼即可
洛倫茲方程計算在S"中兩個事件發生的距離間隔：
洛倫茲方程計算在S"中兩個事件發生的時間間隔
計算參考系S"的移動速度
初始化兩個事件的各個條件為
求解案例的結果為
從結果中可以看到：當S"的運動速度達到光速的0.8倍時，S"系中的觀察者觀察到S系中的這兩件事情發生的時間間隔大於0，說明這兩件事在S"系中並不是同時發生的！（同時的相對性）
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