有趣而又怪異的未解數學問題：香腸猜想

這是我最喜歡的未解數學問題之一，並且它絕對怪異，相信我。

作為熱身，假設你要把平面上許多相同的圓打包，要求用儘可能短的曲線將它們緊緊包在一起。對於七個圓，你可以試著包成長條「香腸」：

包成香腸狀

但假設這次你要使曲線內的整個面積（包括圓以及圓之間的空隙）儘可能小。如果每個圓的半徑為1，則香腸的面積是27.141。但還有一種更好的打包圓的方式，即包成中間一個圓、外面六個圓的六邊形。這時其面積是25.533，比香腸的面積更小。

包成六邊形

有趣的是，如果把圓替換成相同的球，並用面積儘可能小的曲面將它們緊緊包在一起，則對於七個球，長條香腸狀比六邊形的體積要小。只要不超過56個球，這種香腸模式包出的體積都是最小的。但對於57個及以上的球，體積最小的排列方式會更圓一些。

在四維或更高維數下，情況就沒有那麼直觀。對於低於50000個的任意四維球體，將球體緊緊包 在一起並給出最小四維「球體」的排列是香腸狀。但對於100000個四維球體，香腸狀就不是最佳選擇。因此，為了包出最小體積，需要用到一長細串球，直到四維球體數目實在太多。尚沒人知道這個數目要到多少，香腸狀才不是最佳選擇。

真正有趣的變化很可能出現在五維。你可有會猜測，對於五維，香腸狀是最佳選擇，直到包裹的球體到，比如500億個，然後某種更圓一點的形狀會包出更小的五維體積；而對於六維，類似的臨界點會出現在，比如29恆河沙（註：恆河沙是漢字文化使用的數量單位，通常指10的52次方到10的56次方的數量值。）個，諸如此類。但在1975年，拉斯洛·費耶什·托特提出了香腸猜想：在五維或更高維數下，最小體積的包裹球的方法總是香腸狀，而不論所包的球體數目有多大。

1988年，烏爾里希·貝特克、馬丁·亨克和約爾格·威爾斯證明了，對於任何大於或等於42維的情況，托特的猜想都是正確的。到目前為止，這是我們所能得到的最好的結果。

本文節選自英國沃里克大學數學教授伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）的科普巨作《數學萬花筒（修訂版）》，書中大部分內容獨立成篇，你可以從幾乎任意一處著手閱讀。

轉自好玩的數學

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