流固耦合中的量綱分析與相似性論述

節選自我的碩士學位論文《時變側風下計及加速效應和流固耦合的客車空氣動力學探究》，對採用縮比模型來做流固耦合的風洞試驗有參考意義。

0 引言

模型風洞實驗與大渦模擬數值計算常常會採用縮比模型；使用縮比模型的實驗與模擬研究流固耦合效應是否有可行性？縮比模型應滿足哪些要求？這都是需要解決的問題。本文的推導過程以量綱分析法為主要研究方法，目的在於論述縮比實驗與縮比模擬在實際工程應用的可行性。

1 本構方程以及流固關係

流固耦合本質是建立結構與流場兩部分聯繫，就是將流固界面兩側的力Fi與位移xi之間的參數傳遞，方程如下：

固體模型部分變分方程（下標i表示廣義坐標方向）

流場部分宏觀氣動力基本可以如下方程為基礎來表述

通過對以上兩個方程的整理，模型在時變來流下的流固關係基本可以描述為：

2 變數的量綱分析

由量綱分析法的基本概念，以上方程中各個變數的量綱如下：

3 瞬態流固耦合相似性的推導

根據相似性理論，嚴格的相似應當做到「幾何相似」 、 「運動學相似」 、 「動力學相似」三大部分。分析思路是：由流場入手，對各個變數逐一分析。

原始關係：

假設實驗時模型尺寸擴大到α倍，且實驗流體密度與黏性不變，由於Ci、ki不隨模型尺寸而變化，模型按比例放大後，如果相似性成立，則結構與流場關係應當變為：

為了保持流場「動力學相似」 ，則需使Re數不變，必須使來流速度變為原來的α-1倍，即vi∞1=α-1vi∞0。根據「幾何相似」要求，有：投影面積Si1=α2Si0，體積Vi1=α3Vi0。不僅需要使 Re 數不變，由量綱分析上述關係右邊部分，可知遠場來流速度對時間的導數v』i∞1=α-3v』i∞0必須成立，所以時間微分dt1=α2dt。

根據「運動學相似」要求，結合時間微分關係，有：位移xi1=αxi0，模型質點速度x』i1=α-1x』i0，加速度x』』i1=α-3x』』i0。為了使該關係仍然成立，又必須滿足條件：彈性（剛度）係數k1=α-1k、阻尼係數c1=αc、質量m1=α3m。

綜上，模型尺寸擴大到α倍時，要滿足相似率，必須要同時滿足如下條件：

4 對於縮比實驗與數值模擬的意義

4.1 各個變數的實際應用

對於實驗來說，接下來根據上一部分推導出來的等式逐個分析：

時間微分dt1=α2dt：這說明對於縮比模型實驗，外界輸入信號的變化需要加快，且與縮比的平方成正比，輸出的頻譜也會向高頻區平移到縮比的2次方位置上。

遠場來流速度v』i∞1=α-3v』i∞0：縮比模型實驗時，遠場來流速度需要被等比放大；模型越小，流速越高。

遠場來流速度對時間導數v』i∞1=α-3v』i∞：對於恆定遠場來流這一項始終為零，不需考慮。但對於時變的遠場來流速度函數輸入，來流速度被以比例放大到，時間方向被壓縮到縮比的平方。以三種常用工況為例，如果原始比例的遠場風速輸入，與在縮比為1:2時的遠場風速輸入的對比如圖所示。

彈性係數k1=α-1k：這意味著縮比模型的懸架只需要做小尺寸，而不需要改變單位長度上的彈性係數。

阻尼係數c1=αc：縮比模型的懸架只需要做小尺寸，也是容易做到的。

質量m1=α3m：質量與縮比的三次方成正比，意味著只需縮小模型，不需要改動密度，因此材料可以不用替換。

4.2 對實驗試驗的意義

通過上述研究可以發現：風洞實驗的難點不在於縮比模型的製作以及材料的選用（由於縮比的密度不需要改變），而在於控制遠場流速的按倍數放大，且時長（參數變化時間）呈兩次方縮短，模型越小速度越高，參數變化越劇烈，這對於風洞的流速控制要求會很高。因此，在風洞實驗中使用縮比模型並嚴格按照相似率來進行，實現起來是比較困難的。

而針對某些純流場的準定常風洞試驗中縮比易於實現（例如汽車等），是因為其測量的各個係數和參數主要集中於自模擬區內。即使不嚴格滿足相似率，也基本可以反映實際情況。而流固耦合效應和時變來流引起的加速效應在實驗中需要嚴格滿足相似率，較難使用現有的風洞技術和縮比模型來完成工程化的實驗，使用1:1原始比例最為適合。

4.3 對數值計算的意義

數值計算時採用縮比模型的目的在於減小計算量。採用縮比模型做汽車等模型的升阻力係數計算時往往不改變遠場來流速度，所以Re 數事實上是改變的，但其在自模擬區內的升阻力係數幾乎不變，能夠滿足計算要求。

但對於時變來流或流固耦合的數值模擬，縮比模型應保持完整的相似性，Re數不變，來流速度應當滿足本文 7.1.3中的公式，所以在這種計算情況下，邊界層網格尺寸要求同樣會以比例縮小，時間不長也會以該比例的平方縮小，因此計算量不會反生改變。即對於時變來流或流固耦合的數值模擬，縮比模型不會減小計算量。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！