剛滿30歲的他，是數論與幾何的未來

撰文：神龍見首不見

Peter Scholze（彼得·舒爾茨）， 1987年12月11日生於德國德累斯頓。中學時代曾代表德國隊四次出戰國際數學奧林匹克競賽，獲得三金一銀，之後進入德國波恩大學學習，在三學期里完成本科學業，兩學期獲得碩士學位，隨後師從數學家 Michael Rapoport 進行博士研究並於2012年畢業。

○ Peter Scholze。| 圖片來源：Nyani Quarmyne

波恩大學在其博士畢業之後立即聘其為正教授，使得Peter Scholze成為德國史上最年輕的正教授。迄今為止，他所獲的獎項包括克雷研究獎、歐洲數學學會獎、費馬獎、奧斯特洛斯基獎和拉馬努金獎等等，不出意外他也將獲得即將公布的數學界最高榮譽——菲爾茲獎。

Peter Scholze的履歷足以使人驚艷，但這仍不能反映他的工作的傑出。他早已是那種用自己名字裝飾獎項的人，而不是反之。頭銜不能反映他的價值，唯一了解他的方法就是通過他的工作。

算術與幾何的統一

Peter Scholze工作的領域我們稱其為算術幾何，這是一個用幾何方法研究數論問題的領域。數字1、2、3、4............作為數學最基本的對象早已滲透進每個人的生活，但卻並非每個人都意識到其背後隱藏著神秘的寶藏。數字背後那精緻無比的結構，在我看來其壯麗不亞於宇宙中最恢宏的景象，而其部分展現出的與物理最深刻的相似性，那種聯接兩個截然不同的世界的神秘紐帶，刺激著人類想像力的極限。

算術幾何作為一個分支旨在探索數字背後隱藏的幾何結構，進而理解幾何與數字本身。19世紀的學者們已經注意到數字與幾何之間的非凡聯繫，他們夢想能找到統一兩者的方法。這一夢想在20世紀中葉逐步成為現實，奠基於德國哥廷根學派發展的代數，以及義大利學派發展的幾何，André Weil（安德烈·韋伊）、Oscar Zariski（奧斯卡·扎里斯基）以及後來的Alexander Grothendieck（亞歷山大·格羅滕迪克）建立了現代代數幾何的基礎，其將許多算術問題包含進了幾何的框架，為我們提供了新的強大的洞察力。

一個人們很早就意識到的聯繫源於整數和一元多項式，它們具有非常相似的性質，比如它們都能做質數分解。一元多項式有很明顯的幾何解釋，它是一條曲線（代數維度為1，如果我們試圖畫出它的圖形，則其為維數2的曲面，因為複數的維數是2）。這讓我們猜測整數應當在某種意義上是一條曲線，Grothendieck的幾何框架給出了這樣一種解釋，這條曲線上的每一點對應於一個素數。這一解釋在很多方面很成功，結合Grothendieck發展的代數幾何及代數拓撲工具，它給出了強有力的新方法去處理算術上的問題。

然而，一些基本的問題在Grothendieck的框架里仍然得不到解決。一個非常根本的問題在於曲線上每一點都是相似的，它們都起源於同一種代數對象（曲線定義其中的域），而整數上不同的點，即不同的素數卻並不相同。換句話說，不同素數應該起源於同一種結構，有時我們稱其為「一個元素的域」，然而這一對象卻並不能被滿意地構造。

「鑽石」

Peter Scholze的工作很大程度上可以看作局部構造這條想像中的曲線。對曲線上的每一點，即每一個素數，Scholze給出了它在曲線上的任意小領域的嚴格構造。為此Scholze必須發展一套全新的幾何學，他稱其為「鑽石」（diamond）。在一次會議中，Scholze解釋其命名為鑽石的理由，這些對象無法直接觀測到，我們只能通過無數不同的側面去觀察，但當我們把所有側面放在一起，他組成了一個完整的結構，就像鑽石的每一個切面共同構成了鑽石本身。

「鑽石」的發展深深根植於Scholze之前於其博士論文中發展出的一套幾何學，他稱其為狀似完備幾何學（perfectoid geometry），在這裡他把另一位傑出的德國數學家，菲爾茲獎得主Gerd Faltings的工作系統組織成一套理論體系，新的框架結構澄清了許多過去模糊不清的對象，並成功被Scholze及其合作者應用於解決許多懸而未決的猜想。

我們要重點提一下Scholze關於朗蘭茲綱領的工作，在這裡他用他的狀似完備幾何學提供了一種全新的方法去看待一類深刻根植於朗蘭茲綱領的幾何對象——志村族，並與其他9位合作者共同推廣了Wiles關於費馬大定理的工作。另一個不同但相關的工作在於局部推廣志村族的定義，並將其應用於局部朗蘭茲綱領，這是Scholze發展「鑽石」理論的初衷。法國數學家Laurent Lafforgue（洛朗·拉福格）於一元多項式的情形證明了朗蘭茲綱領從而獲得了2002年的菲爾茲獎，近年來他的弟弟Vincent Lafforgue（文森特·拉福格）用新的幾何方法推廣了他的證明，Scholze的目標在於局部推廣這一方法到整數情形。Lafforgue兄弟的方法都能在Grothendieck幾何的框架下完成，然而整數情形卻不能被置於其中，這是Scholze發展他的新理論的初衷。這一計劃由Scholze於14年在伯克利宣布，迄今為止還未完成，然而由其發展出的數學已經蔚為壯觀，並深刻滲透到了其他領域。

○ 羅伯特·朗蘭茲因在「提出了連接表示論和數論的極具遠見的綱領，稱為」朗蘭茲綱領「，被授予2018年的阿貝爾獎。| 圖片來源：Dan Komoda/Institute for Advanced Study

代數幾何的拓撲理論

Scholze工作的另一個不同的方向在於代數幾何的拓撲理論，我們稱之為上同調理論，這裡的核心問題在於不同上同調理論的聯繫，Grothendieck稱之為motive理論。這裡稱其為motive夢想更為準確，因為大量極為困難的猜想阻礙了其實現，百萬問題之一的霍奇猜想就是其中之一。Scholze對局部數域的深入洞察使其能夠在這一特殊情形繞開Grothendieck的道路，用一種嶄新的方式看待motive理論。他發現所有上同調理論共同組成了一個幾何對象，而其可以被放進他所開闢的框架下研究，而其亦是與其關於朗蘭茲的工作有機結合在一起的。這正是Scholze工作的特點，他總是能抓住最本質的東西，找到最合適的角度，使得不同現象間的深刻聯繫浮出水面。

日本數學家望月新一在一篇評論中寫過，算術幾何過去的發展可以歸結為兩個大的方向：朗蘭茲和Motive，而他所開創的遠阿貝爾幾何（anabelian geometry）的新理論開闢了第三個不同的走向。第三點是否成立也許有爭論，但前兩點毫無疑問是算術幾何這一領域的最核心問題，而Scholze在兩者都做出了革命性的貢獻，並且推進了兩者的融合。

○ 望月新一提出了著名的「ABC猜想」的證明，但幾何沒有人能看懂他的論文。| 圖片來源：Jacob Aron/NewScientist

對比Scholze和望月新一是很有意思的，兩者都做出了革命性的貢獻，開闢了新的框架並解決了大的問題。不同的是，Scholze的工作被數學界很快吸收，全世界這一領域的學者學生都爭先恐後地學習，去年在美國亞利桑那關於Scholze理論的冬季學校創紀錄地吸引了近四百人，以年輕的博士生和博後為主，同時也包括了一批成名的學者，而望月新一的理論至今都沒有被主流數學界完全理解並承認。這並非因為望月新一的理論更深刻難以接近，Scholze的理論無論深度廣度都毫不遜色。

○ Peter Scholze參與玻恩大學舉辦的一場關於幾何的研討會上。| 圖片來源：Nyani Quarmyne

斯坦福大學的Brian Conrad曾評論說Scholze的工作以一種最清晰最服務的態度傳達最深刻的思想，同時Scholze本人的平易近人亦極大幫助了其思想被吸收，而望月新一的論文晦澀難懂及他本人對旅行的抗拒阻礙了其思想的傳播。另一個原因在於，Scholze的理論非常根本，很明顯它補足了我們理解世界的拼圖中長期缺少的一塊，它能夠立刻應用到許多不同的問題中，而望月新一理論的前景並不明朗，數學家們對花時間學習它感到疑慮。

數學也許是個人英雄主義最後的舞台之一，而Peter Scholze毫無疑問站在舞台的最中央，能站在歷史的前排欣賞也許已經是一種榮幸。

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