歐拉恆等式-上帝創造的公式

01

上帝創造的公式

每門自然學科都有對其影響深遠的定理和公式，發現並完整給出這些定理、公式的人不斷推動著這門學科的發展，對現實生產或其他學科研究提供相應理論上的支撐，從而在實踐中取得突破。

今天我們要介紹的是歐拉公式eix=cosx+isinx，它在複變函數、拓撲學以及初等數論等領域均有應用，對數學、物理都有重要影響。其中當x=π時，變成eiπ+1=0，稱為歐拉恆等式，被數學界譽為「數學中的天橋」，更被數學家們評價為「上帝創造的公式」。這個公式之所以令人著迷，主要有三個原因：

第一，它將兩個超越數（自然對數底數e和圓周率π）聯繫到一起；

第二，同時包含了虛數單位i和自然數單位1；

第三，包含了數學界偉大的發現。

大家是不是好奇發現了這個偉大公式的歐拉到底是個什麼樣的人？

02

近代數學先驅

歐拉，全名萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），瑞士數學家和物理學家，近代數學先驅之一。

1707年4月15日生於巴塞爾，13歲時入讀巴塞爾大學， 19歲博士畢業；

25歲得到了歐拉-麥克勞林求和法；

27歲推廣了f(x)、sin、cos、tan等符號；

34歲解決七橋問題，並發表圖論領域最早文獻；

37歲給出歐拉恆等式；

41歲出版《無窮分析引論》（對數學影響最大的七部名著之一）；

43歲給出多面體公式（拓撲雛形）；

48歲出版《微分學》；

歐拉平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學等課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學經典著作。歐拉對數學研究如此廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。

1783年9月18日於彼得堡逝世，享年76歲。在18世紀，歐拉在科學界享有泰山北斗般的崇高地位。

▲歐拉多次出現在郵票上

▲歐拉出現在紙幣上

03

歐拉公式的性質與應用

這裡我們先簡單介紹歐拉公式的一般形式eix=cosx+isinx在複變函數領域的兩個性質：

性質一

令x=2kπ，則

eix=ei2kπ=cos(2kπ)+isin(2kπ)

=1　(k∈Z)

不難看出，在複數域內，指數函數是周期函數，並且基本周期為2πi。

性質二

因為eix=cosx+isinx，

所以e-ix=cosx-isinx。於是有

sinx=(eix-e-ix)/2

cosx=(eix+e-ix)/2

不難看出，正弦函數是奇函數，餘弦函數是偶函數。

從學術性的角度，歐拉公式可以用來解決數學計算中的冪乘、求方根、初等函數求值、求積分、倍角和半形的三角變換等，也將物理學中的圓周運動、簡諧運動與波聯繫在了一起，歐拉公式實質是將圓周運動在複平面上的統一成了指數形式，加上時間的維度，隨著時間的改變，圓周運動產生了一條螺旋線，它的實數部分是餘弦函數，虛數部分便是正弦函數。

回到歐拉恆等式，假設1是發展的當前刻度值，事物不受控制且以指數e速度隨變數向前i發展，則在一定周期(π)後回到原點，則可以表示某一事物的發展速度v與發展周期t的關係為vit+1=0。

本文到這暫告一段落，謝謝各位讀者。

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