數學與物理橋樑下的鳥瞰

最新 08-03

文：Natalie Paquette

翻譯：安宇森

譯者序：

本文作者NataliePaquette是加州理工學院的一名博士後研究員。這篇精彩的文章涵蓋了數學物理的諸多領域，介紹了其中令人拍案叫絕的科研進展。通過拓撲場論，Donaldson理論，枚舉幾何，魔群月光等方向，展示了數學和物理之間深刻的相似性，體現了物理學的思想對於數學發展的啟發。是一篇不可多得的數學物理科普佳作。

弦理論是一個引力的量子理論。Albert Einstein的廣義相對論可以從弦論的方程中自然的衍生出來。這個結果是自洽的，因為它的計算並不會導致發散。弦理論也許是唯一自洽的引力的量子理論。如果它是對的，那麼它將具有巨大的價值。無論它是不是對的，弦理論都無疑是數學中許多驚人的想法的來源。這是非常奇怪的一件事。因為之前總是數學影響物理學。當愛因斯坦努力的想要表達廣義相對論的時候，他發現他需要的工具早在60年前就已經被黎曼創造出來了。這是個典型的例子。並且數學家在物理學家開始用群論之前早就發現了它。而在弦理論中，這卻是反過來的。物理學將它尊貴的想法提供給了數學。這個結果就是Greg Moore所說的物理數學。

拓撲場論：

我們總是在平直的空間背景下發現物理。彈力球是圓的，但是桌子是平的。在地球表面做實驗的時候，我們認為地球的曲率是可以忽略的，將三維的歐式空間作為我們的背景。從球面推到環面，再繼續推廣，我們可以在更多的形狀上研究物理系統。這些提供了一個不同且令人興奮的理解物理的方式。一個被束縛在有磁場流通過的球上的電子只能佔據特定的量子化的能級。相似的，一個環面有兩個非平庸的環路（cycle）。弦的纏繞數記錄了它在每個環路（cycle）中繞了多少次。

量子力學是一回事，狹義相對論是另一回事。這些理論不是自然的共存的。正統的量子力學不允許粒子的產生和湮滅。狹義相對論支持它們。我們需要引入場來處理這個不一致。量子場論是滿足狹義相對論的量子力學系統。標準模型是一個量子場論。物理學家總是給量子場論以額外的對稱性。例如，超對稱理論要求粒子是配對的。對於每個玻色粒子總有一個費米子作為超夥伴。

超對稱場論有一個令人沮喪的障礙。假設一個超對稱量子場論定義在一個一般的彎曲流形上。牛頓物理的歐式度規和狹義相對論的洛倫茲度規被流形自己的度規代替。超荷對應於守恆的Killing旋量。在平空間下Killing旋量方程的解有很多，但是在彎曲空間下這個解變的非常的有限。它們太有限了，以至於一般情況下是沒有解的。將一個平空間的超對稱場論推廣到一般的彎曲流形上破缺了所有的超對稱。卡拉比－丘流形，它們是滿足特定的平直性質-----里奇平直性，一種弱化了的平直性的流形。它們允許有守恆的Killing旋量。

但是球面沒有這樣的解。

上世紀80年代，Edward Witten給物理學家介紹了拓撲扭變。一個扭變可以成功的將超對稱場論耦合到彎曲流形上。選取正確的扭變，Killing旋量方程的非平庸解就會出現。這很大程度上是一種營救措施，我們拯救了一部分在平空間中發現的超對稱。扭變理論中的物理觀測量就是非扭變理論中出現的觀測量的子集。儘管非扭變理論中的觀測量，在諸多因素中，依賴於背景流形的精確幾何結構，出現在扭變理論中的子集只依賴於流形拓撲方面的細節。

這是重要的，並且在數學上也是重要的。

拓撲扭變場論有時也被叫做上同調場論。這個扭變給這一個理論提供了格拉斯曼或者反對易的標量對稱性Q。物理可觀測量在這個對稱性的上同調中。度規的變形對於Q運算元是恰當的，它立刻強化了理論的關聯函數的度規無關性。對於Q操作閉的場的關聯函數某些時候可以通過強大的超對稱局域化的技術來精確計算。

這些可以計算的關聯函數是拓撲或者幾何的不變數。即使不考慮物理，這些不變數依然是許多數學課題的焦點。

Edward Witten

Donaldson理論：

四維幾何具有豐富的特殊結構。數學家的第一要務是通過對四維流形進行分類來給這個豐富的結構賦予秩序。不是每件事都馬上要做。關鍵的事情要先做。例如什麼時候兩個流形是拓撲等價的，即同胚的。在1982年，Michael Feedman展示了兩個流形是同胚的當且僅當它們在（上）同調格子里有著相同的相交形式（intersection form）。其次重要的是，同胚的流形不一定是微分同胚的。作為光滑流形它們不是等價的。光滑性給流形之間提出了新的層面上的問題。如何分辨相互之間同胚但不是微分同胚的流形和相互之間微分同胚的流形？1983年，Donaldson在四維光滑流形中引入了一系列的不變數，用以區分同胚但不是微分同胚的流形。Donaldson不變數有著嚴格的幾何定義，但是它們卻受到了楊米爾斯規範理論的瞬子構形的啟發。這個構形是理論的運動方程的解。在數學家之間，這個解叫做反自對偶聯絡。

給定一個李群G和M上的一個主叢P。聯絡是A，這個量可以和平移的概念結合起來。物理學家把A叫做規範場，就像所有其他的場一樣，A在路徑積分中是允許漲落的。M上還有其他自然的矢量叢。通過應用G的主叢，這些是和G的表示相關的伴叢。它們的聯絡可以從A誘導出來。物理學家把這看作物質場。A的曲率是一個叫做規範場強的二形式，它可能會分解成自對偶和反自對偶的分量。如果一個場強是完全反自對偶的，那麼它們在M上的積分是一個正整數，叫做瞬子數。反自對偶聯絡使楊米爾斯作用量取極小值，因此不同的瞬子數標誌著不同的拓撲分支，或者叫做場構形空間中的不同區域。對於一個固定的瞬子數，對於可能的反自對偶（ASD）聯絡存在一個抽象的幾何空間－－瞬子模空間。在最簡單的情況下，模空間的方向對應於一些參數，例如瞬子的空間位置。

Donaldson用微分形式的積分定義了他的拓撲不變數。微分形式的積分並不比高等微積分更為複雜，但是Donaldson對於這些技術的使用給人最為印象深刻的一點是，他決定在反自對偶（ASD）聯絡的模空間下計算這些積分。Donaldson也構造了一個映射來從M的同調群中得到合適的微分形式。

在理解Donaldson不變數的過程中，物理學家挖到寶了。他們提供了一個實際的計算，和在完成證明中需要的幾個重要概念。M上的Donaldson不變數能夠被整理成Donaldson-Witten生成函數。「Donaldson－Witten」中的Witten是EdwardWitten，唯一一個得到了菲爾茲獎的物理學家。

在1994年，Witten給數學家引入了楊－米爾斯的扭變超對稱版本，將這個理論放在了彎曲的四維流形上。這個結果是Donaldson-Witten理論。Donaldson不變數變成了扭變楊米爾斯的關聯函數。每個關聯函數用來計算Donaldson-Witten生成函數的一個係數。Witten清楚具體的展示了拓撲場論中規範不變的多項式，以及它們的Q對稱性，是如何生成Donaldson映射的像中所有的微分形式的。

Seiberg和Witten之後做了一個關於超對稱規範理論的漂亮的工作，發現它們的行為等價於一個描述弱耦合磁單極的場論。這兩個看上去不同的物理系統之間的等價性叫做對偶。它們在場論和弦論中到處都是。這個系統的一種描述是容易研究的，而另一種通常不是。

Seiberg和Witten的工作導致了一類新的可以計算的幾何不變數，叫做Seiberg-Witten不變數，它計數了磁單極方程的解。Witten描述道，這些不變數表達了Donaldson不變數能提供的所有信息，但是它們簡單的磁單極描述使得Donaldson不變數的許多性質非常的平常並且很容易計算。隔了幾周之後，Donaldson寫道：「長時間的問題解決了，新的預想不到的結果發現了，已知的結果有了新的證明，研究的新天地打開了。」

深刻而困難的數學想法的極端簡化的版本是從理論物理中獲得的。數學家從沒想過可以得到它，而物理學家從沒想過可以給出它。

鏡像對稱：

弦理論是在一個空間維度下延展的，並且在時空中運動。隨著它的運動，弦在時空中掃出了一個二維面，它的世界面。弦世界面的上的場論即是共形不變的又是超對稱的。共形對稱性和系統的尺度不變性有著密切的聯繫。不論是放大還是縮小，這個系統總是不變的。

枚舉幾何是用來計數自然的幾何問題中解的數量的學問。在公元前200年，Apollonius想要知道如何尋找在一個平面上和三個給定的圓同時相切的圓的個數。總共有8個。如果Apollonius活到現在，他可能想要問有多少個面可以被鑲嵌到一個高維的流形里，例如卡拉比－丘流形。

在一個卡拉比－丘流形上傳播的弦可能會通過它對於復曲線的個數非常敏感這一點來探索這個幾何。這個信息非常的有用，因為就是這些數列舉了弦的世界面可能鑲嵌進卡拉比－丘流形上的可能的方式。考慮一系列從黎曼面（或者叫世界面）到卡拉比－丘流形X的映射。描述它的二維的量子場論叫做超對稱－非線性sigma理論。二維的玻色場可以理解成X上的局域的坐標。費米場和規範場映射到相應的叢的截面上，作用量中的耦合常數是和X相關的幾何參數。玻色動能項的耦合常數就是X上的度規。

弦理論針對於枚舉幾何有很多可以說的，如果它能夠在sigma模型里分離出編碼流形上曲線數量的數據的話，就可以說的更多。

有這個提取過程的印象，我們可以將非線性sigma模型進行拓撲扭變。二維的拓撲扭變是可能的，有A扭變和B扭變兩種方式，有A(X)和B(X)兩種理論。它們都是拓撲場論，可以用自身相應的方式和Donaldson-Witten理論進行對比。它們的關聯函數和二維的世界面上的度規是沒有關係的。另一方面，根據扭變，這些關聯函數有著不同的時空解釋，每一個對應於在非扭變模型里映射的不同的子集。A扭變將變數局域在了一個X上的全純映射中。而B扭變，局域化選取了常數映射。

儘管兩個扭變產生了看起來非常不同的理論，後來發現A和B扭變的區別只是符號的差別。在一個非扭變的理論中，有一個sigma模型之間的同構映射，區別僅在於符號。一個sigma模型有一個靶空間卡拉比－丘流形X.另一個則是卡拉比－丘空間Y。這個等價性叫做鏡像對稱性。Y是X的鏡像。在扭變理論的層次上，這個等價性變成了等式A(X)=B(Y),.因為常數映射很容易去研究而全純映射不那麼容易，在B(Y)中計算物理量是計算A(X)中的物理量的一個有力的方法。

這導致了Gromov-Witten不變數，它直接和計數曲線有關。鏡像對稱的威力第一次在簡單的卡拉比丘流形五次型（quantic）中展現了出來。在流形中曲線的計數可以通過曲線的等級簡化，然後變成一個用來表達每一級曲線數目的生成函數。曲線越複雜精巧，它的等級越高。隨著等級的升高，曲線的數目會激增。等級1的曲線就是直線，在五次型卡拉比丘空間中直線的數目很容易計算。這由Hermann Schubert在19世紀末就得到了。在五次型中有2875個復直線。在1986年，SheldonKalz確定了五次型包括609250條等級為2的曲線。

枚舉幾何的進展是緩慢的，計算很快就變得非常繁瑣。如果任何人想要通過蠻力來數等級為3的曲線的數目，那麼他的工作將是極其艱辛的。

Philip Candelas等人在1990s開始研究五次型(quantic)上的弦論。他們是由鏡像對稱性指引的。指定五次型為X，它的鏡像是Y。考慮A（X），拉式量有一項是Q恰當的，因此在算符的上同調類中是平庸的。剩下的項是一個凱勒形式的積分，凱勒形式是一個微分形式。正是這一形式允許我們測量卡拉比丘流形X中的環的體積。A（X）只依賴於凱勒形式。A（X）上的關聯函數退化到全純映射空間下的積分，這正好和Gromov－Witten不變數一致。Sigma模型要求一個困難的非微擾修正的無窮級數。因為鏡像對稱性的魔力，它們一定等價於B（Y）上的一個量，它們退化到恆等映射空間中的積分。這些積分正好就是經典下精確叫做周期的量，這個量依賴於Y的復結構。凱勒結構控制著流形或者子流形的尺度，其上的復結構和它的形狀。Candelas等人能夠計算Y的周期積分，用一個大膽的叫做鏡面映射的變數替換，通過在全純映射的等級下一級一級的做，來將答案進行展開來提取Gromov－Witten不變數。

緊接著就是物理數學的令人眩目的演出了

Candelas等人用鏡像流形中漫步的時候，數學家正在努力用他們複雜的工具和一系列天才的計算機程序來計數等級為3的曲線。Geir Ellingsrud and Stein Str?mme猜測有2,682,549,425個這樣的曲線，解析的計算方法和證明這時沒用了，而簡單粗暴的方法勝出了。他們在伯克利的數學研究機構展示了這個結果。那是1991年，Candelas和他的同事表示異議，這個數是317206375.數學家很懷疑。在鏡像對稱性中，物理學家用了數學家沒有聽說過的技巧。他們的計算依賴於一個非凡的猜想，在一個卡拉比丘流形中的經典的周期積分等價於另外一個完全不同的卡拉比丘流形中計數的曲線數目。這個命題，如果是對的，就是革命性的。Ellingsrud和Stromme謹慎的檢查了他們的工作，然後在計算機程序中發現了一個錯誤。

他們宣布他們的修正：物理學勝利了。

丘成桐先生

魔群月光猜想：

高能物理學家用對稱性來編織他們的理論。超對稱和共形對稱是其中的例子。一個物理理論的很多方面，像是粒子激發，是要求它們和系統的對稱性相容來限制的。群理論無處不在。

有限群包含有限個元素。一般來說，有限群可以分解成正規子序列，在這個序列中每個群都是下一個群的正規子群。有限單群是沒有非平庸的正規子群的那些有限群。它們是有限群的基本組成元。有限單群類似於素數。隨著有限群理解的深入，數學家表達了想要將它們分類的願望。在幾十年的繁瑣枯燥的合作之後，2004年，他們完成了這件事。有限單群分類為18個被理解的很好的群，例如素數階的循環群，還有26個額外或者叫做散在的單群。在散在單群中，最大的就是魔群，魔群中包含了1054個元素。許多其他的散在的單群可以作為這個怪物的子商群被實現。散在單群是奇特的結構，它們在數學中是否具有更深層次的意義依然是有待研究的。

這個問題的答案和魔群的表示密切相關，一個表示是將一個抽象的群用線性空間的變換具體化，因此將一個抽象的群中的元素和一個矩陣結合起來。矩陣的大小是表示的維數。不可約表示構成一個不可分割的表示的完備集，所有其它的表示都可以通過類似直和這樣的簡單操作從它們構造出來。魔群有194個不可約表示。每個群都有一個一維表示對應於平庸的群操作。在平庸的表示之後，魔群第二小的不可約表示是196883維的，第三小的是21296876維的等等。這些不是能夠激發數學家通過精確構造來進行思考的數字。魔群和它作用的自然的對象，直到魔群月光猜想發現之前，依然是神秘的。

模形式在數論中很自然的產生，它們定義在上半複平面上的函數f(τ)。它在τ被一個模群SL2(Z):f(γ.τ) =(cτ+d)kf(τ)上的元素γ的作用下是協變的。這是一個2 × 2矩陣群，每個元素都是整數且行列式為1.半整數的k叫做模形式的權重，c和d代表在矩陣γ第二行中的兩個整數元素。模形式是重要的數學對象。這個形式的展開式的係數經常是數論學家感興趣的整數。這些整數等式的證明有時可以通過之前模形式滿足的泛函等式進行證明。J函數是一個在模變換下不變的特殊函數，它按照權重為的模形式進行變換。J函數，實際上，是所有這一類模不變函數的生成元，因為它們都可以由J函數多項式的比表示出來。

接下來一件令人驚奇的物理數學的特徵事件發生了，最初由群論學家JohnMcKay在1978年注意到的。當閑著沒事翻翻數論書的時候，他發現j函數並且觀察到它的傅立葉展開從一個有趣的因子1開始，然後是196884，但是196884=1+196883，這是魔群的頭兩個不可約表示維數相加得到的維數。他寫信給John Tompson，而John Tompson發現j函數的下一個因子是21,493,760 = 21,296,876 +196,883 + 1.

這個優雅的數論結構能夠給出最大的散在單群的信息嗎？它看上去是令人震驚並且奇怪的。因此得名：魔群月光猜想。

數學家John Conway和Simon Norton，首先通過問一個模對象的特定的類如何編碼魔群的數據來將魔群月光猜想表達出來。他們猜想，我們可以對每個魔群上的共軛類賦予一個模函數，這個共軛類在特殊的，虧格為的SL2(R)的子群G的變換下是不變的。如果是這樣，他們的傅立葉展開可能包括魔群的表示的信息。它們的係數是群元素的特徵標，模函數和恆等類相聯繫，那就是J函數.

一系列的猜想以魔群月光猜想而出名。

然後在1992年，它們由Richard Borcherds證明了。他的證明中的一些元素直接受到弦論的啟發。他也引入了許多新的數學結構，廣義的Kac-Moody代數，這些反過來導致了有趣的物理。許多魔群月光猜想的物理內容，和Borcherds的證明的核心組成部分，來自數學家對於共形場論的完善。在數學中，共形場論叫做頂點運算元代數。澄清魔群月光猜想的頂點運算元代數是由Igor Frenkel，James Lepowsky，Arne Meurman三人構造的。而翻譯到弦論的工作由LanceDixon，Paul Ginsparg，JeffreyHarvey.完成。對於弦論學家，j函數是一個專門的東西，是一個能級上的粒子狀態數目的配分函數。魔群在頂點運算元代數上通過一個對稱性來作用。它和哈密頓量對易並且保持基態不變，儘管真空上的激發態通過對稱性的表示來組織起來。

配分函數的模不變性物理上是自然的。考慮一個閉弦圈的世界面上的共形場論。世界面具有圓柱型的拓撲。為了計算配分函數，圓柱的兩頭融合形成一個環面。歐式的時間坐標起到了有限的溫度的作用——這是在量子力學和量子場論中都經常使用的一個認同。模群SL2(Z)是將環面看成是一個拓撲空間後其上的對稱群，因此給同胚變換的類指定的群將環面映射到自身。這些對稱性不影響背後的物理。這是我們熟悉的在量子力學中計算點粒子不依賴於世界線的參數化這一基本事實在弦理論下的擴展。物理上的一致性要求關於環面的一個任意的參數化不影響像配分函數之類的可觀測量。配分函數在SL2(Z).下一定是模不變的

另外一個魔群月光的模函數，和SL2(R)的虧格為的子群有聯繫，當虧格為的群是SL2(Z)的子群時，它也有一個共形場論的理論理解。它們的模不變性的論證和剛剛給出的物理論證是一致的。對於虧格為但不在SL2(Z)里的SL2(R)的子群，相關函數的模不變性沒有明顯的解釋，不論是物理上的還是數學上的。Borcherds，當然，證明了這個猜想，但是他的證明中的這部分關於虧格為的性質，需要暴力的驗證，而不像是概念上的解釋。它在神秘的月光猜想中一直就是一個重要的謎團。就在最近Daniel Persson, Roberto Volpato和我提出了關於魔群月光中虧格為的性質的一個概念上的解釋，我們用到了雜化弦中時空的性質。這個構造將Borcherd證明中的代數的部分在物理上夯實了。

魔群月光的觀察最終是弦論時空和世界面上的對稱性的自然結果，產生了令人震驚的代數結構。許多年前，Eugene Wigner問了一個如何解釋數學在物理中難以置信的有效性的問題。相比於回答這個問題，因為問出了這個問題使得他的文章是很有影響力的。今天，可能我們可以寫一個類似的文章，來尋求為什麼物理在數學中那麼有效的解釋。如果數學和物理在許多層面上是等價的，那麼它們的不同將不是內容上的而是技巧上的不同。最終會展示出他們都通向唯一的一個實在。

這麼想想是不是非常可愛？