數學中的無窮大和無窮小究竟是什麼？

自數學發展以來，無窮大就一直困擾著人類。我們必須認識到，無窮大不是一個具體的數，而是一個想法，它只存在於抽象中。

無窮大很奇怪

無窮大不能是一個具體的數，比如說是x，我們可以根據加法的邏輯，x加一，就創造了一個新的無窮數。之後我們還可以再加一，生成一個更大無窮數。實際上，我們可以無窮大加上無窮大，創造出所有無窮的無窮，然後我們可以再加上一，循環往複。

無窮大的反面被稱為無窮小，它的性質也同樣奇怪。與整數不同的是，實數不是固定的，它們的分裂性質使我們能夠在任意兩個數之間找到並創造無數個數。

一個數可以被多次組合，多次分割。在0和1之間可能有100個數，從0.01到0.99之間甚至是幾百萬個，只需要在小數點後加0，一直分割這個數，就會產生許多新的數。因此，雖然0.00000000000000001 看起來很小，但可以把它除以10，從而創建一個新的無窮小的0.000000000000000001。

因此，就像無窮大一樣，無窮小隻存在於抽象中，但它的不確定性質不僅對數學家來說是非常令人不安的，對物理學家來說也是這樣。

無窮小的誤差

數學是我們用來表達物理思想的語言，所以在我們對現實本質的認識中，數學上的不一致意味著物理上的不一致。這個不一致是由於我們不確定無窮小的值，無窮小的值一直被用來推導許多關鍵的公式。事實上，數學的一個分支都建立在無窮小的基礎上，如果沒有它，物理學的進步就會很緩慢。

舉個例子，圓的面積公式。開普勒通過將一個圓分成多個三角形來計算它的面積。因此，圓的面積就是每個三角形的面積之和。一個圓可以被分成有兩個直徑的四個三角形，然而，這些三角形的邊並不能正確地近似曲線（排除了一些空間），所以計算的面積是錯誤的。

為了減少這個誤差，我們可以畫出更多的直徑來創造更多的短邊三角形。雖然誤差以這種方式減少了，但仍然不為零。因此，我們進一步將圓分成越來越多的三角形，直到沒有空間被排除在外。然而，為了完全消除這個錯誤，我們必須將它劃分為無限多個三角形。因為一條直線可以被解釋為一個大圓的一部分，我們可以說，這個圓是由無限的線組成的，這是由無限三角形無窮小的底邊來逼近的。

人們可能會注意到，三角形的序列讓人想起了中國扇子。所有三角形都面積相等，我們可以通過分散或拉伸這個面積來把扇子變成一個大直角三角形。它們的周長改變了，但是整個面積仍然是一樣的。這個直角三角形的頂端是圓的圓心，它的高度是扇形的長度，即圓的半徑，底邊是圓的周長。面積是1/2乘以底乘以高，也就是1/2乘以r乘以2πr ，等於πr^2。這是正確的答案，但結果仍然是錯誤的。這些底邊必須真正是無限小的，所以即使開普勒畫了非常非常小的三角形，我們知道他還可以畫得更多。當他停止畫三角形的時候，他就留下了空間，雖然真的是極小的空間，但仍然不是零。曲線沒有完全近似，圓的面積計算是有點錯誤的。雖然這可能會讓數學家感到不舒服，但大多數人忽略了這些差異。

由萊布尼茨和牛頓獨立發明或發現的微積分，也是建立在無窮小的基礎上的。這條數學分支是關於曲線，關於變化的。例如，當我們對一個函數做積分運算時，我們實際上是計算它所畫曲線下的面積。然而，就像計算一個圓的面積一樣，我們通過近似無窮小的矩形曲線來計算它。矩形越細，誤差就越小。

一個矩形的面積是它長度，即曲線上的那個點在y軸上的值乘以它的寬度，即我們稱之為dx的無窮小單位。我們計算每個矩形的面積並對它們求和來確定曲線下的面積。這在物理上很有用，例如，一個物體速度曲線下的面積給出了位移值，但是結果不應該是錯誤的？就像圓的面積一樣？

微積分出現後，這個難以根除、無法解決的問題困擾了數學家們兩個世紀，直到「極限」的概念被改善。在牛頓和萊布尼茨的研究中，極限是絕對的，但在19世紀早期，它們被修改和重新定義。這些新觀念在數學上是嚴謹和一致的。雖然極限使得數學家最終擺脫無窮小，但我們還沒有解決的是無窮大。

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