考古學中的數學：鴕鳥蛋的表面積是多少？

你也許會問，誰會在乎鴕鳥蛋的表面積是多少呢？回答是：考古學家。更確切地說，由勒妮·弗里德曼帶領的考古隊，他們正在調查古埃及遺址尼肯（以其希臘名「希拉孔波利斯」更為人所知）。

希拉孔波利斯是古埃及前王朝時期（距今約5000年）的一處中心城市，也是鷹頭神荷魯斯的主要崇拜中心。人們最早在這裡定居的時間很可能還要往前追溯幾千年。長久以來，這個地方一直被視為一片荒蕪的沙漠， 但最近的考古發現表明，在沙漠之下其實埋藏著一處古城遺迹、已知最早的埃及神廟、一家釀酒坊、一處被附近的窯火點燃燒毀的制陶工的房子， 以及古埃及唯一一座已知的大象墓。

我和我妻子曾在2009年以「尼肯之友」的名義去過這個非凡的遺址。並且我們在那裡見到了從HK6區域出土的破碎的鴕鳥蛋殼。完整的鴕鳥蛋當初曾被作為奠基物品，安置在新建築的地基里。千百年之後，這些鴕鳥蛋早已支離破碎，所以首先一個問題是「裡面有多少個蛋」。拼湊蛋殼的計劃（被稱為「矮胖子項目」）事實證明太耗時了。所以考古學家退而求其次，希望通過將蛋殼碎片的總面積除以一個普通鴕鳥蛋的表面積來得到一個估算。

來自希拉孔波利斯的典型鴕鳥蛋碎片

這裡就輪到數學派上用場了。鴕鳥蛋的表面積是多少？或者推而廣之，蛋的表面積是多少？我們的教科書給出過球體、圓柱體、圓錐體以及其他很多幾何體的表面積公式，但沒有蛋的表面積公式。這並不意外， 畢竟蛋的形狀多種多樣。不過，典型的雞蛋形狀與鴕鳥蛋形狀差不多， 並且它也是蛋最常見的形狀之一。

對此，蛋的一個特徵會有所幫助，那就是（大體上看——這個短語你應該加到我下面所做的每個命題之中）它們是迴旋曲面。也就是說， 它們可以通過讓某一特定曲線繞一條軸旋轉而生成。這裡的特定曲線是沿著蛋的長軸切開的「卵形」截面。數學上最知名的卵形當屬橢圓—— 在一個方向上被均勻拉伸的圓。但蛋並不是橢圓，因為它的一頭比另一頭更加圓滑。數學上還有其他更花哨的蛋形曲線，比如笛卡兒卵形線， 但它們似乎也幫不上什麼忙。

如果讓橢圓繞其軸旋轉，你會得到一個迴旋橢球。更一般化的橢球本質上是在三個互相垂直的方向上被拉伸或擠壓的球體。負責此項研究的阿瑟·繆爾意識到，蛋的形狀很像將兩個半橢球拼在一起。如果能求出橢球的表面積，你就可以將它除以2，然後再將兩部分的表面積加起來。

利用兩個橢球湊出一個蛋

橢球有一個表面積公式，但它要用到一個不易理解的量，稱為橢圓函數。幸運的是，由於其產卵器官為管狀，鴕鳥產下的蛋大多是迴旋曲面，這給考古學家和數學家解了圍。迴旋橢球的表面積公式相對簡單：

其中

根據這些知識，並利用對現代鴕鳥蛋和保存完好的古代鴕鳥蛋的測量數據，研究者算得一個蛋的平均表面積為570平方厘米。這看上去相當大，但針對一個現代鴕鳥蛋的試驗證實了這一數據。最後算得在7號建築物的地基里至少有六個蛋，這是所有前王朝堆積中鴕鳥蛋最密集的地方。

你看，你永遠不知道數學何時會派上用場。更多考古細節，可參見：archaeology.org/interactive/hierakonpolis/field07/6.html

來源：遇見數學

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