如何證明廣場上總存在一個沒被人盯著的間諜？

深夜必讀！

題目

推理

1、下一個圖形是什麼？

2、小 A 和小 B 玩遊戲。小 A 取出一副撲克牌並去掉大小王，剩下紅色的牌和黑色的牌各 26 張。

洗好牌後，小 A 依次翻開每一張牌，讓小 B 看到牌的顏色。小 B 可以在任意時刻打斷小 A ，並打賭「下一張牌是紅色」。

如果下一張牌真是紅色，小 A 給小 B 一塊錢；如果下一張牌是黑色的，小 B 輸給小 A 一塊錢。

注意，小 B 必須要在某個時刻下賭注，並且機會只有一次；如果他一直沒打斷小 A ，則默認他賭最後一張牌是紅色。

小 B 的最佳策略是什麼？在這種策略下，他有多大的概率獲勝？

計算

3、一張長 10 厘米、寬 9 厘米的長方形紙張可以裁剪成兩個寬 1 厘米的、一模一樣的螺旋形紙帶。那麼，每個螺旋形紙帶的周長是多少厘米？

4、廣場上站著 99 個間諜，間諜與間諜之間的距離互不相等。每個間諜都盯著離自己最近的那個間諜看。

證明：總存在一個沒被人盯著的間諜。

填圖

5、24 根火柴棒擺成了如圖所示的形狀。這些火柴棒組成了大大小小一共 14 個正方形。

請您：

(1) 去掉兩根火柴棒，使得圖中只剩下 7 個正方形

(2) 去掉三根火柴棒，使得圖中只剩下 4 個正方形

(3) 去掉四根火柴棒，使得圖中只剩下 2 個正方形

6、像左圖中的示例那樣，只用兩種不同長度的線段，把圖中的 14 個點兩個兩個一對地連接起來。

答案

推理

1、答案：

這些圖形分別是字母 A 到 J 的「輪廓」——假設我們在從 A 到 J 的每個字母外面拉上一圈橡皮筋，鬆手之後橡皮筋就依次變成了圖中的這些形狀。

2、答案：

乍看上去，小B似乎有很多方法能保證他的獲勝概率大於 50% 。比方說，他可以等到黑牌都翻完了時賭下一張牌是紅色。

不過別忘了，黑牌先翻完不是總能發生的。如果紅色的牌先翻完，他就必輸無疑了。

因此，採取這種策略並不會增加小 B 獲勝的概率。

事實上，這是一個完全公平的遊戲，小 B 沒有所謂的「最佳策略」。

小 B 的任何一種策略效果都完全一樣—— 50% 的概率獲勝， 50% 的概率輸掉。

為了證明這一點，讓我們來考慮這場賭博遊戲的一個修改版：

小 A 把牌一張一張地翻開，小 B 可以在任何時候打斷小 A ，並賭最後一張牌是紅色。

顯然，在剩下的牌裡面，第一張是紅色與最後一張是紅色的概率完全相同。

因此，把原遊戲中的策略應用到新的遊戲中來，獲勝的概率不變。

但很容易看出，新規則下的遊戲是一個非常無聊的遊戲，因為不管小 B 用什麼策略，獲勝的概率總是 50% ——最後一張牌是紅色，小 B 就贏；最後一張牌是黑色，小 B 就輸。

計算

3、答案： 92 厘米。

我們可以用剪拼法把紙帶的拐角「扳直」，並且保持它的周長和面積不變。

這樣的話，整個螺旋形紙帶就可以看作是一個寬為 1 厘米的長條形紙帶。

既然整個長方形的面積是 90 平方厘米，那麼其中一個紙帶的面積就是 45 平方厘米，因而它的周長就是 (45+1)×2=92 厘米。

4、答案：

考慮距離最近的兩個間諜，顯然他們倆正互相盯著。

如果還有別人盯著他們倆中的任何一個，就表明有人同時被兩個人盯著，因此必然存在另一個人沒被人盯著；如果沒有別人在盯這兩個人，那麼我們就可以去掉這兩個人，這對其他人不會產生任何影響。

注意到廣場上的總人數是個奇數，因此如此繼續下去，要麼我們能在某一步找到一個沒被盯著的人，要麼最終就只剩下一個人，而他顯然沒有被任何人盯著。

填圖

5、答案：

（答案不唯一）

6、答案：

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於

http://www.matrix67.com/blog/archives/3549

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