經濟哲學隨筆集之經濟學與數
前言
顯而易見地是，修讀經濟學專業的學生們經常可以在《數理經濟學的基本方法》《動態優化基礎》《基本無害的計量經濟學》和大多數主流中高級宏微觀經濟學教材的前言部分，讀到經濟學家們頗為自信地談論幾何學、矩陣代數、微積分、微分方程和差分方程等數學工具對描述經濟問題的卓越貢獻。那麼數學是什麼，數學與科學發展的關係，以及數學在經濟學中的定位到底應該是怎樣的？這些都是智識上頗有興味的問題。
同樣應該指出的是，這一篇隨筆不是想對方法論做出貢獻，也不是要對傑文斯、瓦爾拉斯和帕累托等數理經濟學派研究成果的指手畫腳，更不是想從《通論》到宏觀計量建模再到微觀基礎演變的梳理。而僅僅是對經濟思想史和方法論諸多文獻的粗淺總結，試圖闡明在研究經濟知識時應當充分考慮的某些觀念。
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Ego
Charlie Puth
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1
數運、數與世界現象、本體的因應
01
五音比而自鳴， 非有神， 其數然也。
——《春秋繁露·同類相動》
????????????無論是陰陽五行這一類古老的玄妙理論還是現代物理學，都是用數這類抽象元素之間的關係來統領各個不同領域中的事物與現象。數不僅是數字、用來進行數學推論的單位，還另有「數運」之原始內涵：我們能從命數、天數、氣數、劫數這類詞中體會得到。數運里數的觀念不盡等同於數學裡的數觀念：數運中的數充滿了感性的象徵，即數與現象的直接聯繫，而數學中的數卻洗凈了象徵意義，彰顯本質世界。
在所謂的數運中，數和命運、和某種超乎人們感知、掌控的客觀物聯繫在一起，如「天高地迥，覺宇宙之無窮，興盡悲來，識盈虛之有數」。尤其在中國，數的觀念是從筮占發展出來的。龜卜、筮佔兩者最重要的區別在於前者是象徵，後者是推衍。龜象自然成紋，個個有別，龜卜無須推衍，只憑直觀，而卦象則是一些類別，分成八類或六十四類或某些類；筮占是通過推衍來進行的。此所謂 「龜，象也，筮，數也」。李零解釋說：「『象』是形於外者，指表象或象徵；『數』是涵於內者，指數理關係或邏輯關係。」所謂「易」，就是筮數的體系，所以孔子說周易「達於數」。
數的觀念體現了本體世界和現象世界的分離。在科學研究中的數使得世界不再被理解為現象/事物間的感應，而是被理解為實在世界的自行運轉以及現象/事物隨之運轉。在感應世界裡，原無內外之別，現象/事物的交互作用，就發生在我們眼前。到理性時代，數脫離了象徵意義，世界的規律作為數，隱藏到現象的背後去了。數自己遵循著自己的規律循環替代。就數的運行決定現象世界而言，數世界才是實在，現象則是數運的展現。
本體世界是不可能被直接看到、被直接經驗到的，我們只能通過推論、論證通達它，通過理智的力量通達它。正是這一點讓理論家們賦予理智和理論以一種更高的地位，因為理智才能通達世界的實在。下面分別從數運和數兩個方面展開來談：
數運是事物的高度概括。數運之為概括，依賴於現象的相似或同構，五行概括了五官、五音、五色。這種對應的同構自有經驗的基礎。正義和自乘似乎有某種聯繫，樂音和弦長更是有明確的關係。所以古人說「同類相從，同聲相應，固天之理也」。然而，真正的數學和科學所要求的卻不是這種現象上的相似，也不是數的結構和現象的直接對應。花瓣的數目是3、5、8、13、21、34……這個奇異的序列是需要解釋的，後來也的確連同生物學中的另一些同類奇異現象得到了解釋，那是研究生物系統的複雜性的成果，而不是我們找到了哪種基因結構和這個斐波那契級數直接對應。自然也許是簡單的，但「自然的那些簡單性並不直接呈現在我們面前，而是以其獨特的、難以捉摸的方式表現出來」。但對於我們的感性來說，看上去相同就是相同，看上去不同就是不同。鳥類、蝙蝠、蚊子的翅膀看上去是一類東西，我們就把它們歸為一類東西。藉助數學之類的推理，我們才穿透現象的攔截，達乎結構性的知識。
今天我們說到的數學，是洗去了象徵的、純粹的數之間的演算。洗去了現象象徵之後，數字本身沒有內涵，數字之間的關係是純粹外部的關係——每一個數的「意義」都由其他的數來界定，而無涉乎數以外的東西。如此獲得自主的數學是「科學的」數學。科學的數學不受現象的束縛，從而獲得自治，可以安然地按照邏輯來發展。從一個算式通往另一個算式是證明，或曰嚴格的演繹證明 (demonstration)。
儘管數運之數和數學之數有重大的區別，但數，無論被理解為數運還是理解為純粹數學，對理論建構都具有基本的意義。數運在陰陽五行理論中的作用，與數學在近代物理理論中的作用頗多相類之處。就像古代的命運、規律觀念坐落在數運之中，我們今天的物理規律最終也要合併到數學中去。從科學的發展來看，洗脫數的感性性質是極大的進步。然而，這一過程同時就剪斷了數字和我們對其他事物的感受之間的聯繫，剪斷了數和自然理解之間的聯繫，數不再具有概念內容，不再是編織在其他概念之中的一些自然概念，我們不再從數字的概念內容來把握它們，它們是一些完全依賴於互相之間的比例關係得到定義的符號，組成了一個完全獨立的自治領域（這也成為像經濟學這種半軟不硬的社會科學的糾結所在）。????????????
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2
科學的發展：從哲學到數運再到數學
02
數的性質似乎能導向對真理的理解。
——柏拉圖
科學史家大都把數學化視作近代科學的主導因素。霍金曾說：「一個物理理論即是一個數學模型。」我們還可以繼續引用柯瓦雷，引用庫恩，以至無窮。在中國，明末清初西方科學漸入東土之際，有識之士也慧眼明見數學的樞機作用，徐光啟是中國人最早領悟並介紹西洋科學的前賢，大概也是他最早認識到西方科學的精髓或基礎在於「度數之學」，四庫全書總目也說：「西洋之學，以測量步算為第一。」
要了解科學的性質，我們就不能不對科學的數學本性做一番考察。
科學是在希臘——歐洲傳統中發展起來的，故而應能設想，數學在源自希臘的西方思想——文化傳統中具有特殊地位。克萊因在《西方文化中的數學》一書的前言里開篇即說：「在西方文明中，數學一直是一種主要的文化力量。」古希臘的智慧取了一種特殊的形態，我們稱之為哲學。然而，應該注意的是希臘人的哲學興趣和古希臘人對數學的偏愛顯然密切關聯。據記載，柏拉圖學院的入口處寫著：不懂數學者不得人內。眾所周知，柏拉圖把算術和幾何視作培養哲學家的最初兩門預備課程，照柏拉圖的說法，「學習幾何能把靈魂引向真理，能使哲學家的心靈轉向上方」。
到中世紀後期和近代中期，隨著理性革命的熱潮，歐洲復興了哲學——科學的熱衷，這個時期對數學的重視越發顯眼。中世紀晚期，柏拉圖主義在一些智者那裡獲得重要影響。尼古拉甚至宣稱，數是事物在造物主心中的第一模型。不過，他仍然認為不可能用數學方式去處理自然。而羅吉爾?培根則相信大自然是用幾何語言寫成的。達?芬奇稱說：「欣賞我的作品的人，沒有一個不是數學家。」哥白尼革命的一個主要動力是新柏拉圖主義的信念：他的體系將揭示上帝創世的和諧對稱的設計。羅吉爾?培根的話經伽利略重述而家喻戶曉：「大自然這部書是用數學文字寫成的。」在科學的數學化進程中，伽利略是轉折點上的人物，因為他遠不止於再次表達了新興科學家的一個基本思想，而是開始實現這一思想。開普勒宣稱世界的實在性是由其數學關係構成的。笛卡爾明言他最熱愛數學，他夢想著要把整個物理學還原為幾何體系——「給我運動和廣延，我將構造出宇宙。」笛卡兒把物質世界還原為由長寬高三維構成的廣延，這當然是因為廣延是可以充分量化的。
畢達哥拉斯第一個提出「數是萬物的原理」。的確，從科學史角度來看，畢達哥拉斯學派佔有突出地位，他提出數是原因、原理，數決定功能。這一見識可以引導我們去把不同結構 (不同原理) 之間的聯繫加以形式化，從而可能產生通向「統一科學」的努力。不過，除了在聲學領域，這一學派在解釋自然時對數的應用不是科學的，而是思辨的或神秘的。在畢達哥拉斯那裡，數是有概念內涵的，每個數都獨立地具有意義，而在此後的漫長的思想歷程之中，人們逐漸學會了從完全的外在性來把握數字，形成了科學的數學語言。
亞里士多德在他的物理學裡也提供了對運動進行數學分析的一些線索，但他總體上否認數學對理解自然現象的作用。適合於數學分析的是位移，但位移不過是諸種變化中最簡單的一種，其他變化，例如植物的生長，很難用數學來加以描述。亞里士多德甚至明確反對在物理學中引進數學，其理由是，物理學是用來研究經驗世界的，而數學卻是脫離了經驗的抽象。反對在物理學中運用數學，會讓現代人覺得驚奇，但亞里士多德的《物理學》是部哲學著作，原本就更該譯作《自然哲學》，它不是要建立一個描述物理世界的形式系統，而是要從概念上解釋物理現象的所以然，數學在這裡的確沒有用武之地。
阿基米德的槓桿原理、歐幾里德的光學、托勒密的數理天文學等等是些真正的異數，今天回顧，他們的確是實證科學的先驅，然而，他們不是希臘認識論（episteme）的代表。天文學、光學、聲學(樂聲學)、靜力學在泛希臘化時期以及後來在中世紀逐漸形成了近代數學化科學的雛形，但它們當時並未對哲學思辨的統治地位構成絲毫挑戰。
哲學和數學的關係到近代發生了根本的轉折，若說在柏拉圖那裡，數學曾經是研習哲學的準備，那麼對伽利略來說，數學是用來取代哲學的，如果哲學還值得研習，那它是為用科學方法研究現實作些準備。
數學化不僅是近代科學諸特徵中最突出的特徵，數學化從本質上規定著近代科學。海德格用他特有的句式說道：「近代科學的基本特徵是數學性的東西，這倒不是在說，近代科學是用數學進行工作的；這倒是要在某種意義上表明，狹義的數學只有根據近代科學才得以發生作用。
在西方思想傳統內部，人們一直看到兩種對立的取向，一是畢達哥拉斯——柏拉圖傳統，他們重數、數學、形式，二是亞里士多德傳統，重經驗、生物學、有機生長。儘管如此，我們仍不難看到柏拉圖和笛卡爾的巨大差別。首先，柏拉圖的正多面體元素儘管體現了把自然數學化的一大步，但它更多是一種形而上學解釋，而不是拉卡托斯意義上的研究綱領。其次，在希臘(以及在中世紀)，主宰數學王國的是幾何，代數始終處於附庸的地位。幾何形態，如三角形、圓、立方體等，是具有質的。這一點曾由亞里士多德格外予以強調。而笛卡爾把質從幾何學中消除了。笛卡爾創建了解析幾何，使代數成為數學王國的君王。通過解析幾何的技巧，很多原本被認定為不同性質的線和圖形被歸約為可以換算的代數公式，從而，「以前一向為幾何學家所避免的許多曲線就有了和比較常見的曲線相同的地位了」。在笛卡兒的幾何學中，在對幾何的這種新的理解中，幾何學本身也不再依賴於形象，圖形只是數學公式的外部表現而已。數學在歐幾里德那裡脫離了感應，在笛卡爾這裡脫離了感性。
自然哲學是所謂定性的，它致力於解釋現象為什麼會發生的原因。例如亞里士多德用大量篇幅嘗試解答為什麼拋向空中的物體會回落到地面上。希臘思想家用自然厭惡真空來解釋虹吸等現象。與之相對，近代科學要求的是定量研究，例如一個落體下落時間與下落速度、下落距離之間的函數關係。伽利略指出，關於原因——原理的玄思並不能夠增加知識，這種玄思的進展不過是一種解釋取代了另一種解釋，哪怕我們用一種較合理的解釋取代了一種較稚弱的解釋，我們的知識並沒有什麼增進。伽利略是對的，自然哲學旨在改善我們的理解，而非主要在意知識的積累。
定量研究得到的是公式。公式不是對現象的解釋，而是採用一種新的語言重新對現象進行描述。這一點之所以常常被誤解，因為數學描述不同於我們通常所說的那些有聲有色的描述，而是在描述現象背後的規律。自由落體定律描述了一個物體怎樣下落，而沒有解釋這個物體為什麼下落，它為什麼開始下落以及是否將繼續下落。
從伽利略和牛頓開始，越來越多的自然現象得以用數學語言來成功地加以描述。一兩個世紀以後，物理學整體上數學化了，「任何近代物理理論實質上是一個數學方程體系」。物理意義逐漸不再是必須詢間的東西。克萊因說，對於這一點，「那些沒有進入到(數學)這座現代德爾菲神秘之城的門外漢是不滿意的，但是現在科學家已經學會接受了。的確，面對如此眾多的自然界的神秘，科學家非常高興把自己隱藏在數學符號之中。」
物理學成為科學的典範。其他學科一一跟進。哈維把定量研究引入生理學，據科恩說，這也是哈維最初能獲得支持的唯一理由。達爾文理論仍是定性理論，不過，生物學中有相當一部分逐漸變為應用物理學和化學的一個分支，而且，概率論不久就被引入生物進化的研究。到20世紀，進化論理論大規模地數學化了。例如，關於群體中的基因頻率在世代交替過程中保持不變的哈迪——溫伯格原理就是通過純粹數學方法得出的。喬治?威廉姆斯說：「在最終意義上，自然選擇涉及的是一個控制論意義上的抽象概念即基因，以及一個統計學意義上的抽象概念即平均表現型適合度。」有多少數學，就有多少科學。物理學是「硬科學」的典範，生理學和生物學仍然不像物理學那樣硬。我們用同樣的眼光看待社會科學，在社會科學裡，經濟學是最硬的科學，社會學之屬努力把數學引人自身，但其「科學性」還遠遠不如經濟學。
Part
3
經濟學中使用數學的爭論及其實質
03
數字沒有說謊,但說謊者在使用數字。
關於數學在經濟學中使用的爭論，其焦點並不完全在數學本身。實質上，它體現了不同人們對於科學包括經濟學的目標與方法的不同認識與理解，這無疑是一個方法論問題。此外，經濟學語言的數學化，也是一個語言層面的問題，而且或多或少還涉及到某些倫理層面。
不同科學之間差異在於其理論前提假設的本質。在純數學中，不存在著矛盾的前提假設，或者說它是建立在公理基礎之上的；在化學、物理學中絕大多數理論前提都成功地經受住觀測和實驗的檢驗，使得這些理論前提變成自然法則而經濟學中一項理論預測總是與特定的形式化內容有關，而一組具體的假設在邏輯上從來沒有像物理學中那樣與理論的內核緊密地聯繫在一起，因此，經濟學中的數學推理則並不依賴於其前提假設是否穩固。在以經驗為基礎的描述經濟學中（我們先拋開規範分析的部分），諸如經常用到的效用最大化或利潤最大化的前提只能說是暫時的假說，而非基於一般或內省的觀測。這主要是因為即便它們為真，能得到檢驗的機會也很少。
如上文所言，現代主義認為，以客觀、嚴謹著稱的數學是科學的標誌，一門科學，與作為典型科學學科的物理學之間的相似性越明顯，它就越容易被描述為一門「硬」科學。因為其他科學學科如果趨向於沿著類似的道路，遵循相同的原則，將具有或多或少的精確性。那麼，經濟學是一門什麼樣的科學？是一門和自然科學等量齊觀的科學，即所謂的硬科學，還是把它看作一類與自然科學不同的科學面對這個問題，傑文斯曾說，「很顯然，經濟學，如果是一門科學，那麼它一定是一門數學科學」。
這種著重強調經濟學偏硬一面的觀點極大地鼓舞了親數理分析的經濟學家。他們認為，通過運用數學，可以使經濟學成為一門精確的或物理學意義上的科學。反過來，如果經濟學是或者差不多是一門硬科學，那麼數學在經濟學中的使用就應該像在物理等自然科學中一樣，多少都不為過分。而另一種觀點則認為，各種學科擁有自己研究方法和基本原理，它們以特殊的方式把理論與經驗聯繫在一起。除了一些關於各自內部邏輯一致性不互相矛盾方面的普遍法則外，能進行普遍應用的原理是很少的。經濟學與經濟研究主題多種多樣，也不可能把對研究的理解、計劃和實施歸納為一個步驟清單或一個通用公式，所以，經濟學無論從本質上，還是從形式上都不是一門硬科學，進而，經濟學中大量、過分地使用數學是多餘的，且無效的，並不能真正地解決現實問題。該觀點著重強調經濟學與現實生活的聯繫。需要注意，這種觀點並不反對經濟學成為一門硬科學，而是質疑經濟學的「硬」度以及經濟學如何成為硬科學。
面對後一種觀點的批評，推崇數理分析的人們總是拿經濟學和物理學進行類比。他們認為，經濟學現在的階段年代至今與年代的物理學特別相似。矩陣代數和量子力學群論的深入運用曾激起對部分實驗物理學家、普通物理學家、甚至一些理論物理學家的強烈抗議。對於當時物理學中數學形式主義的上升趨勢，人們同樣提出了警告。一些數學函數既不被大眾所理解，甚至對新理論的提出者來說也並不完全掌握。然而，隨著時間的推移，這種呼籲減少了，量子力學漸漸得到了承認，並成為物理理論中成功的一部分。樂觀的親「硬」派相信，經濟學的研究對象就是數量和數量關係，經濟學是一門與物理學相似的數學科學，因此數學形式的經濟學研究和物理學研究一樣已是不可抵擋的趨勢。
相反，持後一種觀點的人們似乎對不同學科的研究方法始終保持著清醒的認識。雖然我們都熟知，馬歇爾的局部均衡也類比了物理力學，但他最終認為經濟學的「麥加」在於經濟生物學而非經濟學力學。馬歇爾和施穆勒、都認為經濟力量不是按照力學方式發揮作用的，不是數量的變化所能概括的。經濟學的研究對象遠比力學複雜，往往並不服從於簡單的力學規則，經濟進步更來、自於變異和演化。這種經濟對象的不確定性、異質性以及不斷的流變使經濟學對象的邊界是不確定的，也無法以精確界定的概念來把握，從而也就不能保證數學、運用的合理性。奧利弗?法夫羅也指出，儘管經濟學模型與硬科學中的實驗極其相似，換句話說，數學模型是使得經濟學與硬科學最相似的東西，但明顯妨礙經濟學成為硬科學的也正是數學模型。模型是實驗的替代品的觀點認為數學模型是理解經濟現實的惟一方式，但是這只是一種幻覺。因為經濟學模型是嚴格建立在其基本假設之上的，而這些假設卻並非完全符合現實，只要經濟學拒絕弱化它的基本原理，拒絕向著導致與協調相關的決策過程發展，它將會繼續陷入在它自己模型陷阱中。馬蘭沃進行了一個總結，經濟學與自然科學仍保持相當大的距離，原因有二，一是經濟學中經濟現象的表述不可能像自然科學中的現象那樣精確；二是經濟學與自然科學學科所採用的方法是有很大區別的，從根本上說，經濟學研究方法不同於實驗科學中所採用的研究方法。
以自然為基礎的理論研究，本質上是一種發現，即使物理上的發明，歸根結底是發現了物質世界的某種特性。不像物質世界那樣幾乎不發生改變，人類社會一直是在變化之中，這才是真正意義上的一種「發明創造」，儘管歷史存在著有相似之處。所以，以人以及社會關係為基礎的經濟學研究既包括像自然科學那種「發現」的研究實證研究或數理推導，還涉及對人的行為以及由此引發的社會進步的規範研究。經濟學的假說體系不僅應該具有客觀性，而且還應該在接近嚴格中肯的理論的同時具備實際應用方面的優點。這也就是說，除了像自然科學那樣進行解釋和預測外，經濟學還應給我們提供理解。這種規範研究由經濟學本質所決定的，恰恰是作為社會科學的經濟學的一大優勢，是自然科學所不具備的。因此，對於「發現」的研究，經濟學向自然科學學習是無可厚非的，但是它不可能成為一門硬科學，而且也沒有一定要和硬科學攀親的必要。
就數學的使用上，經濟學界存在著一元論的傾向。這與前面提到的親「硬」派的觀點密切相關。因為「現在數學的影響是如此的根深蒂固，以至於在許多人看來，任何以數學表述的思想都必然是正確的，同時要使事物是正確的、可靠的和富於洞察力的或科學的或至少是給予科學地位的，它們就必須用數學表述」。傑文斯就曾主張，經濟學一定是數學的，只因為它論及數量。他強調「只要經濟寫作是科學的，它們就必須使用數學。因為它們論及經濟運行的量以及這些數量間的關係，……，無論所論及的事物是多，還是少，它們之間的關係和法則在本質上一定是數學的。供需法則討論的完全是商品的數量問題，表達的是與價格有關的量的變化」。傑文斯不僅從量的觀念上判斷經濟學必須使用數學，而不是其他的研究方法，甚至還抱怨他同時代的經濟學家雖然在研究以數學特徵為核心的所有量以及這些數量間的關係，而所使用的語言卻不斷地背離其推理的數量特徵，即報怨他們沒有使用數學來從事經濟學研究。與傑文斯量的判斷不同，Henry Moore則認為經濟事實間的相互依賴性促使經濟研究中必須使用數學分析。他指出，「在處於變化的社會中，對於經濟問題全面論述必須認識到所有類型經濟變化的相互依賴性，通向理性預測和調控的惟一的方法與數學的特徵相符」。戈森也曾堅持，數學方法是惟一正確的方法，必須在經濟學中加以全面地貫徹。
或許傑文斯、瓦爾拉斯等人最初對經濟學中使用數學的推崇並不帶有一定的功利性，只是抱著對科學求真的態度，但經濟學發展到今天，一部分人對數學的使用卻走向了極端。他們認為沒有數學的經濟學不能稱其為經濟學，彷彿數學成了經濟學作為一門學科的充分條件認為沒有數學模型經濟理論不能稱其為理論認為經濟學論著中數學運用的越高深，模型越複雜，越體現論著的高水平、高質量，彷彿數學水平高低成了衡量經濟學水平高低的一個標準。
數學不是惟一的研究方法。數學本身沒有錯，但使用數學的經濟學家正在犯錯。這種過分強調數學一元論的主張最終只能導致經濟學中數學的濫用或偽數學的滋生。目前，「在國際經濟學界發表的論著中，數學模型的濫用導致了研究質量的下降」，里昂惕夫批評說，「一頁頁專業的經濟報刊充斥著數學公式，誘使讀者從一組或多或少似乎有理實則任意的假定得出精確的，用數字表示，但又不符合實際的理論結論」。這似乎與西方的那句格言—「數字沒有說謊，但說謊者在使用數字」—有相似之處。布勞格也評價道，「當你讀一篇運用這些名詞的論文時，文中涉及的所有關係都是數學關係所有的結論都是在數學上得出的但對於這些數學變數、概念、函數關係是否與對現實世界的觀察相吻合卻並不加以考慮」。
相反，對於數學在經濟學中的使用，世紀初馬歇爾等人就提出過忠告，而門格爾的反話更加擲地有聲。門格爾曾在寫給瓦爾拉斯的信中說，「我們不僅研究經濟現象的數量關係，也研究其性質或本質。我們怎能藉助數學方法獲得後一類知識比如價值、租金、利潤、勞動分工、金銀複本位制等等的性質呢」，奧地利學派拒絕數學方法，並不是由於他們的無知，而是基於對經濟理論的「本質主義」認識。門格爾所關注的是經濟現象的本質或其性質，追求起源—因果解釋，用其兒子小門格爾的話來講，數理經濟學家只限於討論函數關係，而奧地利學派經濟學家則要求做出因果性解釋。和門格爾相類似，馬歇爾使數學在他的研究中處於次要地位，甚至在某些特別適用數學的情形中，仍盡量避免在寫作普通經濟學大眾讀物中使用數學。但是他與門格爾的出發點不同。根據庇古，馬歇爾不信任數理經濟學的原因在於，真實生活中的變數如此之多，如此相關，用數學語言來表述它們的任何嘗試都將使問題極其複雜，而為了使問題可控而採取的省略都將產生不真實的解釋。例如，馬歇爾認為，經濟學研究的人並不是抽象的經濟人（不能將人視為不變的常量），而是具有感情、本能和習慣的現實生活中的人。1906年，馬歇爾寫道，「我日益感覺到……處理經濟學假說的優秀數學理論很可能不是優秀的經濟學」。他說「現在，這樣的數理經濟學被運用地過度了」。和馬歇爾一樣，梅納德?凱恩斯也認為經濟學中的數理分析被過度使用了。
事實上，從方法論的層次性上看，數學方法和心理分析、案例分析、比較分析等一樣屬於第三層次的方法論，是經濟學的技術方法，即為了使經濟學理論精確化、趨於完善，而對特定研究對象所採用的技術性的具體方法。誠然，形式化在經濟學中發揮重要作用，數學在邏輯方面的錯誤幾乎為零，但這並不意味著數學永遠都不會犯錯誤。真正的大錯誤往往出現在前提假設的公式化階段。邏輯並不能防止偽假設、曲解事實或者不相關假說的公式化的問題出現。因此，這種形式化對於經濟學不是最根本的要素，作用也不是最重要的，它只是使分析變得有條理的一種可能的工具，必須與其他方法結合起來才能使用。對於一些問題，形式化的抽象分析是令人滿意的，而對另些問題，案例分析或歷史分析等方法可能更適用。有些經濟學家似乎並不考慮這一點，將本來可以用通俗易懂的語言說明的問題，有意或無意地用一大堆複雜的數學公式表達出來，而得出的結論卻是普通的經濟學常識。這不能不令人懷疑這些經濟學家是否帶有了功利性的色彩。羅雪爾指出，「一些科學家嘗試以代數公式表達經濟學規律……但無疑的是，數學表達方式是處理的事實越複雜，這種表達方式的優勢越會化為烏有」。
最關鍵一點，正如內維爾?凱恩斯所說，我們無法斷定除數學形式之外，重要的基本經濟真理不能得到詳述。薩繆爾森則更進一步，他認為在深層次的邏輯上拋開所有策略性的和說教式的問題散文體文字和數學是嚴格一致的。一個典型的例子是傑文斯的效用理論是數學應用於經濟學最突出的成果之一，然而，沒有清晰地運用圖表和數學公式，門格爾實際上也已經獨立地研究出了同樣的理論。
我們不應混淆目的與手段的區別（關於科學的目的和手段的關係，是嚴格意義上的哲學問題）。這種以犧牲對現實經濟運行的理解為代價而去追求數學意義上的嚴格和精確的方法論，幾乎使數學不再只是一種工具，而成為了經濟學的本質或目的。這就變成了為數學而數學。對於過分注重形式化推理，並把這種推理本身作為一種明確的目的。實際上，模型這種嚴格的分析形式目的在於證實各種研究的內在邏輯一致性並對它們的本質提供可能認識。因此，模型只是所有可能的解釋模式中的一種，所有形式化的東西都是為了某種特定目標而設計的，而且，它們也不比文字語言的分析更重要。
數學描述完美符合定義的抽象的存在，但這個存在卻被剝奪了其他屬性。這是反對把數學應用於社會科學的最基本的理由之一。齊曼問道：IQ相加的算術運算能有什麼意義呢？87+133=110+110在智力範圍內沒有對應物。塔西奇直白說：「圖靈機這種抽象的計算機被專門設計來捕捉我能夠計算的所有對象，但不是我能夠做的所有事情。圖靈肯定沒有把他的模式運用到對人類婚慶儀式的詳細研究之中。」就像語言不能窮盡我們身處其中的世界的生動與豐富，數學語言觸及不到很多日常事實。它就事物之可測量的維度加以述說。數學的普遍性絕不是數學的普遍適用性，例如，「對於探討科學的實際變化的歷史學家來說，數學是一個不良先例，一個無論如何都不能推廣的例子」。
回過頭來看，聲稱數學具有普遍性是浮面之見。數學的確建立了某種普遍的聯繫，然而它破壞了另一種統一的聯繫。我們在數字中看到了炮彈、地球和行星運動的一致性，而不是在感覺、經驗之中。世界不再是統一到人的象中，而是統一到數字中。如柯瓦雷所云，感性的Cosmos瓦解了，代之以 「理智的統一性」庫恩應和道：「最後，分崩離析的亞里士多德宇宙被一種全面而融貫的世界觀所取代，人類自然概念的發展進入了新的篇章。」
Part
4
一個不是結論的結論
04
我們都是時間旅行者，為了尋找生命中的光，終其一生，行走在漫長的旅途上。
——安迪·安德魯斯
只要經濟學方法論的討論存在，那些關於數學在經濟研究中使用的爭論就不會停止。經濟學也正是在對科學的不斷探索中，在對不同理論觀點的交流、討論、反思、再反思中進步的。經濟學發展到今天，沒有人能否認數學對經濟學的貢獻。數學是一個有益的工具，即使是持批評意見的學者，也並不是反對在經濟學中應用數學，而是反對數學的「濫用」。
判斷數學是否存在濫用現象，大體上有兩種主張：第一是量化的標準，基於數學使用的「量」的判斷。整體經濟學文獻中數學形式化的文獻所佔的比例越大，或者，單篇文獻中數學形式化的程度越高，數學濫用越嚴重。目前絕大多數人對於數學濫用的批評都是基於這一標準。該標準易於觀測，但屬於感性認識，不具有真正的說服力。精通數學者因其寫作風格認為不是在濫用數學，而非數學者有可能恰好相反。第二是「卡爾多—希克斯」改進與研究的問題相結合的標準。如果用了數學比不用數學好，那麼，即便是「連篇累牘」的模型與公式，也不應是濫用。反之，如果可以不用數學而用了數學，甚至用了數學還不如不用數學，只有一個公式或圖表，也是濫用。同時，還要視經濟學研究的問題不同而區別對待。對於諸如一般均衡存在性證明、納什均衡存在性證明等不直接涉及具體經濟問題，但又對分析和解決經濟問題具有重要意義的純理論研究，需要數學才能闡述得更清楚，不能算作數學的濫用對於與現實經濟問題緊密聯繫的應用經濟學研究，要看變數能否量化，數據能否得到，而且能否得出有意義的結論。如果不滿足上述三個條件，最好不用數學對於涉及經濟政策制定的研究，由於不可能把所有影響結果的因素都提煉出來，即使提煉出來，也很難找到它們之間的定量關係，這類研究要慎用數學。該標準著重具體問題具體分析，不足就是尺度難以把握。如何判斷好還是不好，本身就是一個價值判斷。任何評價都離不開人的主觀偏好，偏好的差異表現為評價標準的差異。此外，如果就純理論研究而言，不僅包括需要數學證明的技術性純理論，還包括其它的非技術性純理論基礎研究，不能簡單地把純理論研究中的數學都認為是合理的。
理論經濟學、應用經濟學之分表明，經濟學研究是有層次性的。其理論與應用分支中展示的是某種具有完全不同的形式化性質的知識。因此，在研究方法上，我們不就應說經濟學的一種方法、唯一的方法，而只能說它的諸多方法。科學的目標和方法之間，後者是由前者來指引的，這意味著理論經濟學和有關國民經濟的應用經濟學的諸方法不可能是相同的。因此，在考察經濟學研究中數學濫用的標準時，應該既考慮經濟學研究的層次性基礎研究、專題研究、對策研究，又考慮一定的量化指標，對數學使用的成本與收益作綜合考察，構成一個成本——收益分析標準。考慮經濟研究的層次性，目的是更準確地量化成本與收益，因為研究類型不同，使用數學的成本和收益的構成不同。總體而言，如果在經濟學中使用數學的收益特別是理論進步大於成本，那麼數學就會推動經濟學向前發展，數學沒有被濫用如果收益等於成本，那麼經濟學中數學的用與不用沒有什麼區別，但仍然不算濫用如果收益小於成本，那麼不僅是數學濫用的問題，數學還有可能會阻礙經濟學的發展。
事實上，成本—收益分析的標準也是一個動態的標準。隨著經濟學的發展和經濟學教育對數學訓練的加強，其成本與收益可能會發生一定的改變。此外，當科學哲學發展出了新的理論，而數學形式主義不再佔據方法論的主導地位時，人們有可能不需要討論這個問題就會做出調整，少用數學或不用數學。當然也可能不會出現這種情況，而是未來的經濟學家可能覺得現在經濟學中數學的使用不但沒有濫用，甚至還用得還不夠。最終何種程度的數學使用是濫用，何種不是，要看它是否推動了經濟學理論的進步，恐怕只有讓歷史和時間來評斷。
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